Un cours de trigonometrie

TRIGONOMETRIE
I Cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu
1) Définition du cosinus
Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté adjacent à cet
angle par la longueur de l’hypoténuse.
cos (angle) = Longueur du côté adjacent à cet angle
Longueur de l'hypoténuse
Exemple : ABC est un triangle rectangle en A, le cosinus de l’angle CBA
a est égal à BA
BC .
On écrit : cos (CBA
a)= BA
BC
2) Définition du sinus
Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté opposé à cet
angle par la longueur de l’hypoténuse.
sin (angle) = Longueur du côté opposé à cet angle
Longueur de l'hypoténuse
Exemple : ABC est un triangle rectangle en A, le sinus de l’angle CBA
a est égal à AC
BC.
On écrit : sin (CBA
a) = AC
BC

3) Définition de la tangente d’un angle aigu.
Dans un triangle rectangle, la tangente d’un angle aigu est égale au quotient de la longueur du côté opposé à cet
angle par la longueur du côté adjacent à cet angle.
tan (angle) = Longueur du côté opposé à cet angle
Longueur du côté adjacent à cet angle
Exemple : RMP est un triangle rectangle en M, la tangente de l’angle MRP
a est égal à $PM$
$RM$.
On écrit : tan (MRP
a) = $PM$
$RM$
Remarques
Le cosinus, le sinus et la tangente sont des nombres sans unités.
Le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont compris entre 0 et 1.
La tangente d’un angle aigu est un nombre positif qui peut être plus grand que 1.
Pour retenir ces formules, on retient SOH - CAH -TOA
II Propriétés
Le nombre x désigne la mesure d’un angle aigu quelconque.
Démontrons la formule (cos x)² + (sin x)² = 1
(cosx)² + (sinx)² = 1
tan x = sin(x)
cos(x)

Comme RST est un triangle rectangle en T, cos(x) = TS
RS et sin(x) = TR RS
Donc (cosx)² + (sinx)² =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
RS
TS
2 +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
RS
TR
2
(cosx)² + (sinx)² = TS²
RS² + TR² RS²
(cosx)² + (sinx)² = TS² + TR²
RS²
Or le triangle étant rectangle (en T), on peut appliquer le théorème de Pythagore : TS² + TR² = RS².
Donc (cosx)² + (sinx)² = TS² + TR²
RS² = RS² RS² = 1
Démontrons la formule tan(x)= sin(x)
cos(x)
On a : sin(x) = TR
RS ; cos(x) = TS RS et tan(x) = TR TS
Donc sin(x)
cos(x) =
TR
RS
TS
RS
= TR
RS × RS TS = TR TS = tan(x)
Application
On sait que sin (x) = 0,936.
Sans passer par la détermination de la mesure de x, calculer cos(x), puis tan(x).