S1 S2 x
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TS2 Devoir à la maison corrigé I Figure d'interférence produite par une seule étoile. I-1 Rappels I I-1-a Les chemins optiques entre un point objet et son image donnée par un système optique sont indépendants du parcours. (AoAi) = cste I-1-b Pour un point objet à l'infini non sur l'axe. Quelque soit le point H j de la surface d’onde le chemin optique (HjA) est constant. Ao Ai Ao Hj Surface d’onde I-2 Ai Eclairement dû à St1 I-2-a Si nous considérons les sources S 1 et S2 éclairées par la lumière d’une étoile sur l’axe. S1 et S2 sont en phase. Nous avons le schéma ci-contre. La différence des chemins optiques : = (S2M) -(S1M) = (S2H)+ (HM) – (S1M). Or (HM)= (S1M). 1 = S 2 H = S2 Horienté dans l e sens de propagation de la lumière=S1 S 2 ∗ sinu I-2-b Nous avons dans les conditions de Gauss tan u=sin u=u= donc 1= I-2-c x f S 1 S2 x f L'éclairement résultant E1(x) est donné par : E1x =2 E0 1cos Où =2 est le déphasage entre les deux ondes au point M [ E1 x =2 E0 1cos2 S 1 S2 x f ] Étoile double corrigé p 1 / 3 I-2 Eclairement dû à St2 I-3-a La différence des chemins optiques pour l'étoile St 2 est : 2 =H ' M−S1 M car H et S1 sont sur la même surface d'onde. 2= x S1 S2 S1 S2 f I-3-b la fonction d'éclairement E2 x est comme pour la question I-2-c [ E2 x=2 E0 1cos2 ] S 1 S2 x S1 S2 f II Etoile double II-1 Utilisation des ordres d'interférence II-1-a Dans le plan focal de la lentille nous avons superposition de deux figures d’interférence. Les deux étoiles sont des sources incohérentes, donc les éclairements s’ajoutent. Nous avons coïncidence si les maximum d’interférence se correspondent. Il y a brouillage si le maximum de l’une des figures d’interférence correspond au minimum de l’autre. Si p1 ( p1= 1 ) représente l’ordre d’interférence pour l’étoile St 1 et p2 représente l’ordre d’interférence pour l’étoile St2. L’un est un nombre entier (interférence constructive) lorsque l’autre est un un nombre demi-entier (interférence destructive). La différence des deux ordres d’interférence doit être un nombre demientier. S 1 S2 x S1 S2 S S x p1 = 1 2 et p2= f f Donc nous avons brouillage si : p2−p1= S1 S2 1 =m m∈Z 2 II-1-b Nous écartons progressivement les deux trous. Le premier brouillage a lieu pour S1S2 = 10 cm, calculez la valeur de en radian puis en seconde d'angle. La première valeur de m pour laquelle nous avons brouillage est m =0 donc = 2 S 1 S2 Application numérique : = 550 nm =0.55 10-3mm S1S2 = 102mm = 0.275 10-5 rad = 0.57 ‘’ (le pouvoir séparateur de l'œil est de l'ordre de 1') Étoile double corrigé p 2 / 3 II-2 Utilisation des fonctions d'éclairement. II-2-a L'éclairement résultant Er donné par les deux étoiles, qui sont des sources incohérentes entre elles, est la somme des deux éclairements. a b a −b cos Sachant que cos acos b= 2 cos 2 2 On a E r =4 E o 1cos S 1 S2 2 S 1 S 2 x S 1 S2 cos f Nous pouvons écrire : Er = 4Eo (1 + V(S1S2 , ) cos( (x))) avec le facteur d’éclairement et x = V S1 S2 , =cos S1 S2 2 S1 S2 x S1 S2 f L’amplitude de variation de la fonction d’éclairement est 4E o V(S1S2 , ) Il y a brouillage lorsque le facteur d’éclairement est nul cos a = 0 si a= m m ∈ Z 2 La première valeur correspond à m =0 S1 S2 = 2 S1 S 2 1 = 2 = 2S1 S2 Étoile double corrigé p 3 / 3
