S1 S2 x

TS2
Devoir à la maison corrigé
I Figure d'interférence produite par une seule étoile.
I -1 Rappels
I
I-1-a Les chemins optiques entre un point objet et son
image donnée par un système optique sont indépendants du
parcours. (AoAi) = cste
I-1-b Pour un point objet à l'infini non sur l'axe.
Quelque soit le point Hj de la surface d’onde le chemin
optique (HjA) est constant.
I-2 Eclairement dû à St 1
I-2-a Si nous considérons les sources S1 et
S2 éclairées par la lumière d’une étoile sur
l’axe. S1 et S2 sont en phase.
Nous avons le schéma ci-contre.
La différence des chemins optiques :
= (S2M) -(S1M)
= (S2H)+ (HM) – (S1M). Or (HM)= (S1M).
1= S2H = S2Horienté dans le sens de propagation de la lumière=S1S2∗sinu
I-2-b Nous avons dans les conditions de Gauss
tanu=sinu=u=x
f
donc
1=S1S2x
f
I-2-c L'éclairement résultant E1(x) est donné par :
E1x=2E0 1cos
Où
est le déphasage entre les deux ondes au point M
=2
E1x=2 E0
[
1cos2S1S2x
f
]
Étoile double corrigé p 1 / 3
Ao
Ai
Ao
Ai
Hj
Surface d’onde

I-2 Eclairement dû à St 2
I-3-a La différence des chemins optiques pour l'étoile St2 est :
2=H ' M−S1M
car H et S1 sont sur la même surface d'onde.
2=xS1S2
fS1S2
I-3-b la fonction d'éclairement
E2x
est comme pour la question I-2-c
E2x=2 E0
[
1cos2
S1S2x
fS1S2
]
II Etoile double
II-1 Utilisation des ordres d'interférence
II-1-a Dans le plan focal de la lentille nous avons superposition de deux figures
d’interférence. Les deux étoiles sont des sources incohérentes, donc les éclairements
s’ajoutent.
Nous avons coïncidence si les maximum d’interférence se correspondent. Il y a
brouillage si le maximum de l’une des figures d’interférence correspond au minimum
de l’autre.
Si p1 (
p1=1
) représente l’ordre d’interférence pour l’étoile St1 et p2 représente
l’ordre d’interférence pour l’étoile St2. L’un est un nombre entier (interférence
constructive) lorsque l’autre est un un nombre demi-entier (interférence destructive).
La différence des deux ordres d’interférence doit être un nombre demi-
entier.
p1=S1S2x
fet p2=S1S2x fS1S2
Donc nous avons brouillage si :
p2−p1=S1S2
=m1 2m∈Z
II-1-b Nous écartons progressivement les deux trous. Le premier brouillage a lieu pour
S1S2 = 10 cm, calculez la valeur de  en radian puis en seconde d'angle.
La première valeur de m pour laquelle nous avons brouillage est m =0
donc
 = 
2S1S2
Application numérique :
 = 550 nm =0.55 10-3mm
S1S2 = 102mm
 = 0.275 10-5 rad = 0.57 ‘’
(le pouvoir séparateur de l'œil est de l'ordre de 1')
Étoile double corrigé p 2 / 3

II-2 Utilisation des fonctions d'éclairement.
II-2-a L'éclairement résultant Er donné par les deux étoiles, qui sont des sources
incohérentes entre elles, est la somme des deux éclairements.
Sachant que
cosacosb=2cos
ab
2
cos
a−b
2
On a
Er=4Eo 1cos
S1S2
cos
2S1S2x
fS1S2
Nous pouvons écrire :
Er = 4Eo (1 + V(S1S2 ,  ) cos( (x)))
avec le facteur d’éclairement
VS1S2,=cos
S1S2
et
x= 2S1S2x
fS1S2
L’amplitude de variation de la fonction d’éclairement est 4Eo V(S1S2 ,  )
Il y a brouillage lorsque le facteur d’éclairement est nul
cos a = 0 si
a=
2mm∈Z
La première valeur correspond à m =0
S1S2
=
2
S1S2
=1
2
= 
2S1S2
Étoile double corrigé p 3 / 3