Chapitre 18 Arithmétique

Chapitre 18
Arithmétique
Objectifs
Dans Zet K[X]qui sont des anneaux euclidiens :
– Définir la notion de congruence.
– Recherche des diviseurs communs : algorithme d’Euclide.
– Notion d’éléments premiers entre eux : théorème de Bezout et ses conséquences.
– Notion de Pgcd et de Ppcm.
– Notion d’éléments premiers (ou irréductibles), décomposition en facteurs premiers.
Plan
18 Arithmétique 199
I) Divisibilité........................................... 200
1) Rappels ........................................ 200
2) Diviseurscommuns.................................. 200
II) Élémentspremiersentreeux................................. 201
1) ThéorèmedeBezout................................. 201
2) Conséquences..................................... 202
III) Le plus grand diviseur commun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
1) Définition....................................... 202
2) Propriétés....................................... 203
IV) Le plus petit multiple commun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
1) Définition....................................... 203
2) Propriétés....................................... 204
V) Éléments irréductibles, décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
1) Définition....................................... 204
2) Décomposition en facteurs irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
3) Applications ..................................... 206
VI) Exercices ........................................... 206
Dans ce chapitre, l’anneau (A,+,×)désigne (Z,+,×)ou (K[X],+,×). Pour a∈A, on note |a|:
la valeur absolue de asi A=Zet |a|= deg(a)si A=K[X]. Pour a∈Anon nul, on note ˜a: la
valeur absolue de asi A=Zet le polynôme anormalisé si A=K[X].
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Divisibilité 200
I) Divisibilité
1) Rappels
– Division euclidienne dans A:
Soient a, b ∈Zavec b6= 0, alors il existe q, r ∈Zuniques tels que a=bq +ravec 06r < |b|.
Soient A, B ∈K[X]avec B6= 0, alors il existe Q, R ∈
kk[X]uniques tels que A=BQ +Ravec deg(R)<deg(B).
– Soient a, b ∈A, on dit que bdivise alorsqu’il existe k∈Atel que a=bk, lorsque b6= 0 ceci
revient à dire que le reste de la division de apar best nul. Notation : b|a.
– Quelques propriétés :
–b|a⇐⇒ a∈bA={kb / k ∈A}.
– Si a6= 0, alors b|a=⇒ |b|6|a|.
– Si a|bet b|aalors a=λb avec λinversible des A[on dit que aet bsont associés].
– Si b|aet b|calors ∀u, v ∈A, b |au +cv.
– Si nb |na et si n6= 0, alors b|a.
NDéfinition 18.1 (congruences)
Soient a, b, n ∈A, on dit que aet congru à bmodulo nlorsque n|a−b. Notation : a≡b(mod n).
Ithéorème 18.1
– La relation de congruence modulo nest une relation d’équivalence.
– Soient a, b, c, d, n ∈A, si a≡b(mod n)et c≡d(mod n)alors :
ac ≡bd (mod n)et a+c≡b+d(mod n).
On dit que la relation de congruence est compatible avec les opérations.
2) Diviseurs communs
NDéfinition 18.2 (diviseurs communs)
Pour b∈A, on note Dbl’ensemble des diviseurs de b. Si a, b ∈A, on note Da,b l’ensemble des
diviseurs communs à aet b, on a donc Da,b =Da∩Db, cet ensemble contient toujours les inversibles
de A.
Remarques :
– Dans Z: si b6= 0, alors Dbest un ensemble fini, plus précisément Db⊂[[−|b|..|b|]]. Par contre
dans K[X]l’ensemble Dbest infini mais l’ensemble des degrés des éléments de Dbest fini.
–D0=A, Si λest inversible alors Dλ=U(A).
– Si aet bsont non nuls : Db=D˜
b(on en déduit que Da,b =D˜a,˜ b).
Ithéorème 18.2
Soient a, b, q, r ∈A, si a=bq +r, alors Da,b =Db,r.
Conséquence : Le théorème ci-dessus fournit un algorithme pour la recherche des diviseurs communs
àaet bbasé sur la division euclidienne : c’est l’algorithme d’Euclide 1, voici son principe :
1EUCLIDE (300 av. J.C. – 275 av. J.C. environ) : on ne sait pratiquement rien de sa vie, il était vraisemblablement
grec. Son œuvre est colossale et son ouvrage fondamental « Les éléments » regroupe toutes les connaissances de l’époque,
il faudra près de vingt siècles pour dépasser son œuvre.
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Éléments premiers entre eux 201
On remarque que si b= 0 alors Da,b =Da. On peut supposer désormais que b6= 0 et on cherche à
calculer D=Da,b :
Étape 1 : on effectue la division euclidienne de apar b:a=bq1+r1avec 06r1< b si A=Z, ou
deg(r1)<deg(b)si A=K[X]. On a D=Db,r1, donc si r1= 0 alors D=Db, sinon on passe à l’étape
2 :
Étape 2 : on effectue la division euclidienne de bpar r1:b=r1q2+r2avec 06r2< r1si A=Z,
ou deg(r2)<deg(r1)si A=K[X]. On a donc D=Dr1,r2, donc si r2= 0 alors D=Dr1, sinon on
passe à l’étape 3 :
Étape 3 : on effectue la division euclidienne de r1par r2:r1=r2q3+r3avec 06r3< r2si A=Z,
ou deg(r3)<deg(r2)si A=K[X]. On a donc D=Dr2,r3, donc si r3= 0 alors D=Dr2, sinon on
passe à l’étape 4...
– Si A=Z: la suite des restes obtenus est une suite strictement décroissante d’entiers positifs,
elle est donc nécessairement finie, i.e. il existe un entier n>1tel que rn= 0, l’ensemble cherché
est donc D=Drn−1(avec la convention r0=b).
– Si A=K[X]: la suite des degrés des restes obtenus est une suite strictement décroissante
d’entiers positifs, elle est donc nécessairement finie, i.e. il existe un entier n>1tel que Rn= 0,
l’ensemble cherché est donc D=DRn−1(avec la convention R0=b).
Da,b est l’ensemble des diviseurs du dernier reste non nul.
II) Éléments premiers entre eux
1) Théorème de Bezout
NDéfinition 18.3
Soient a, b ∈A, on dit que aet bsont premiers entre eux (ou aest premier avec b) lorsque les seuls
diviseurs communs sont les inversibles de A,i.e. Da,b =U(A).
Dire que aest premier avec brevient à dire que le dernier reste non nul dans l’algorithme d’Euclide
est un inversible de A.
Remarques :
– Dans Z:aest premier avec bssi le seul diviseur commun positif est 1.
– Dans K[X]:aest premier avec bssi le seul diviseur commun unitaire est 1.
– Si aest premier avec b, alors au moins un des deux est non nul, sinon l’ensemble des diviseurs
communs est A.
–aest premier avec assi aest un inversible.
Ithéorème 18.3 (théorème de Bezout2)
Soient a, b ∈A, alors aet bsont premiers entre eux ssi il existe u, v ∈Atels que au +bv = 1.
Les entiers uet vsont appelés coefficients de Bezout (non uniques en général).
2BEZOUT Étienne (1730 – 1783) : mathématicien français, l’un des précurseurs de la géométrie algébrique.
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Le plus grand diviseur commun 202
2) Conséquences
Ithéorème 18.4
Si aest premier avec bet si aest premier avec c, alors aest premier avec le produit bc. On en
déduit que si aest premier avec c1,...,cn, alors aest premier avec le produit c1×...×cn.
Ithéorème 18.5
Si aest premier avec c, si a|bet si c|b, alors ac |b.
Ithéorème 18.6 (théorème de Gauss)
Si a|bc et si aest premier avec c, alors a|b.
III) Le plus grand diviseur commun
1) Définition
Soient a, b ∈Znon tous deux nuls (i.e. a6= 0 ou b6= 0), on sait que Da,b =Droù rest le dernier
reste non nul dans l’algorithme d’Euclide, on voit que les diviseurs communs à aet bont une valeur
absolue inférieur ou égale à celle de ret donc rest le plus grand diviseur commun.
Soient A, B ∈K[X]non tous deux nuls, on sait que DA,B =D˜
Roù Rest le dernier reste non
nul dans l’algorithme d’Euclide. On voit que les diviseurs communs à Aet Bont un degré inférieur
ou égal à celui de Ret donc ˜ Rest un diviseur commun unitaire de degré maximal. Soit Dun autre
diviseur commun unitaire de degré maximal (i.e. deg(D) = deg(R)), alors D|˜ Rmais l’égalité des
degrés entraîne D=λ˜ R, comme ces polynômes sont unitaires on a λ= 1 et donc D=˜ R.
NDéfinition 18.4
Soient a, b ∈Anon tous deux nuls, on appelle pgcd de aet de ble plus « grand diviseur commun »
[normalisé]. Notation : PGCD(a, b)ou a∧b, c’est le dernier reste non nul normalisé dans l’algorithme
d’Euclide.
Il en découle que deux éléments aet bde A, non tous deux nuls, sont premiers entre eux ssi
PGCD(a, b)=1.
Ithéorème 18.7 (Calcul pratique d’un pgcd)
Si a, b ∈Asont non tous deux nuls et si a=bq +ravec q, r ∈Z, alors PGCD(a, b) =
PGCD(b, r).
L’algorithme d’Euclide s’écrit ainsi :
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Le plus petit multiple commun 203
Procédure pgcd(a0,b0)
Variables
a, b, r : éléments de A
Début
a←a0
b←b0
r←b
Tant que rest non nul faire
r←le reste de la division de apar b
a←b
b←r
Fin du Tant que
Afficher la valeur de a(qui contient le dernier reste non nul)
Fin.
2) Propriétés
Ithéorème 18.8 (caractérisations du pgcd)
Soient a, b ∈Anon tous deux nuls, et soit d∈A[non nul et normalisé]. On a alors :
d= PGCD(a, b)⇐⇒ ∃ u, v ∈Apremiers entre eux tels que a=du et b=dv.
Ithéorème 18.9 (quelques propriétés du pgcd)
Soient a, b ∈Anon tous deux nuls :
a) ∀n∈A, si n|aet n|b, alors n|PGCD(a, b).
b) ∀λ∈U(A),PGCD(λa, b) = PGCD(a, λb) = PGCD(a, b).
c) ∀k∈A\ {0},PGCD(ka, kb) = ˜ kPGCD(a, b).
d) ∀n∈N,PGCD(an, bn) = PGCD(a, b)n.
e) Si aet csont premiers entre eux, alors PGCD(a, bc) = PGCD(a, b).
IV) Le plus petit multiple commun
1) Définition
Notation : Soit a∈A, on note Mal’ensemble des multiples de a:Ma={ka / k ∈A}.
On vérifie facilement les propriétés suivantes :
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