Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres M ICHEL M ENDÈS F RANCE Fractions continues limitées et théorie des langages Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres, tome exp. no 9, p. 1-5 16, no 1 (1974-1975), <http://www.numdam.org/item?id=SDPP_1974-1975__16_1_A6_0> © Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres (Secrétariat mathématique, Paris), 1974-1975, tous droits réservés. L’accès aux archives de la collection « Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 9-01 Séminaire DELANGE-PISOT-POITOU (Théorie nombres) 1974/75, n° des 16e année, 6 9, 5 p. THÉORIE FRACTIONS CONTINUES LIMITÉES ET janvier 1975 DES LANGAGES par Michel MENDES FRANCE 1. Introduct ion. Nous proposons de résumer les articles nous On pourra d’ailleurs à adaptée. [4] utilisant en ce termino- une bien propos consulter le travail de G. RANEY C5 ~. terminologie. 2. La M Soient éléments de et M les lettres appelés sont l’usage, m~‘ définition, un nuscules. Par (éventuellement infinis) appelés alphabets. deux ensembles m mot majuscules, ceux m , les lettres mi- de est un (~~I élément de m) u suite finie de lettres, la lettre initiale étant soit une Les la famille des suites finies de lettres mi- désigne nuscules. Selon donc et langages, laquelle semble particulièrement la théorie des logie tirée de [3J x m* . Un mot est majuscule, soit minuscule, les lettres suivantes, si elles existent, étant toutes des minuscules. (Cette définition n’est pas la définition traditionnelle : exclut le "mot compose : on Dans cette vide".) mot ~, est le nombre particulier, elle de lettres qui le la note étude, Pour fixer les [38] La longueur d’un en nous idées, ont pour longueur choisissons les mots l~I ~ ~0 , ~ ~, r - 2 , - 3 , ... ~ [- 13 , 312 , 2~ ~ ~ 0 ~ 3~ , ~ 2,14,11 ~ ~ 3, 1. 2 , 5, respectivement 2 , 1 , et Les deux premiers mots débutent par des majuscules, les deux suivants, par des minuscules. 3. Fractions continues limitées. Soit 03B6 un nombre rationnel dont le où rationnel S et a EN. ..., correspondent réciproquement, longueur Soit ~I~j1 1, li Si à tout mot correspond + b)/(cX s~ 1 , on en fraction continue est suppose a ~2 . Au nombre les deux mots : n’est autre que la f(X) = (aX développement + d) nombre rationnel un profondeur une du nombre ~ homographie entiers. L’objet de cette étude est de "calculer" non à (et seul). La l’unité près. un constante, à coefficients en fonction de . Les preuves qu’esquissées : seront ne n’indiquerons nous que les lemmes essentiels à la démonstration du théorème suivant. THÉORÈME suppose que Soit f(X) = (aX 1. - Soit S - ad - où e()&#x26;)) est sont b , c , d a, bc ~ un 0 quatre [4] et + d) une entiers sans homographie diviseur constante. non commun autre que 0n 1 . déterminant. Alors nombre entier [3] On trouvera dans leur b)/(cX + impair. précisions des sur e(jôj) ainsi qu’une forme plus élaborée du théorème. 4. Concaténation. Soient ... , aj bl ’ ... , b.] deux mots. L’expression composée obtenue par (donc ~ ~ 1 ). minuscule (Le n’est Dans un ce Si par plexe. A lequel se produit "couvre-chef".) contre 1 débute par une cas, on Notez obtient bien un développe auquel correspond en !~~ qu’alors majuscule l’expression (1) correspond b 0 de 1 mot que si la lettre initiale mot du mode de formation du mot est le même que celui des deux mots et "chef" et concaténation, = (’~ ~ ~ , langage Z est x N* . français "couvre" + . la situation est plus com- le nombre rationnel fraction continue [co’ le mot ... , désigne ce mot L’opération ~ se réduit donc à la concaténation si ~ ~ 1 . (On ne peut pas ne pas évoquer ici la formation des mots composés exposée par Michel BUTOR [1] dans son introduction à "Finnegans Wake" et par Lewis On CARROL [2] dans la "Chasse au Snark" : LEMME 1. - Quels que soient les deux L’ égalité est "furieux" mots ~ et possible ~ ~ ~ ~ ~ ~ , ~ ~ ~- ~ , 3~ Voir la démonstration dans ~4~). on a par exemple) . 5. Un lemme d’approximation. Le lemme suivant est 2. - Soient forme exacte d’un lemme une et a deux entiers c nombreÇ rationnel fl 0 , on d’approximation premiers entre eux. et où correspondant correspondant au mot ~3~, Ce lemme est démontre dans Cet énoncé est doublement est la construction d’un par un tout - représente le mot de longueur impaire (a c)1 dénominateur du nombre rationnel le Alors pour a - où de Dirichlet. nombre entier et important se généralise dans notre étude. Une algorithme permettant (Une seconde (a, c) où au cas conséquence de décrite est 1 . > première conséquence multiplier sera q au une fraction continue paragraphe 6). En effet, soit à multiplier par l’entier Supposons positif n , (a1 , n) = 1 On définit et a > n . D’après le lemme 2, il existe un entier q tel que Supposons montre que encore a’ > n et (a’2 , n) = 1 . Une nouvelle application du lemme 2 L’algorithme se et conduit ainsi à poursuit, La formule ci-dessus n’a pas de si l’expression prend pas certaines précautions. L’opération ~ n’est pas associative. Toutefois, si on se trouve être dans le cas où al’ a’2 , ... , a’ sens on ne sont tous des entiers supérieurs à n , alors les mots ( ~~~ débutent tous par des minuscules en sorte que s’obtient effectivement comme le résultat de s concaténations successives. Admettons que nous soyons dans ce cas, et posons Il est alors bien clair que inégalité a été obtenue en faisant des hypothèses du mot ~ . On a de plus supposé n > 0 . Dans le Cette lettres restrictives cas général, sur on les obtient le lemme suivant. LEMME 3. - Pour t out ent ie r Ce lemme est démontré en et détail dans tout ~ rationnel, [3] et on a [~4’]. (Dans L3~, le lemme précédent est le théorème. Le théorème tel qu’il y est énoncé est incomplet. Il faut y sup- poser x 6. non entier. Le corollaire Fin de la démonstration Soit = (aX minant. L’identité associée entier au e D’après lemme 2 + du b)/(cX + qui suit le théorème doit se lire théorème 1. d) une homographie, et soit g ~ ad - bc son déter- classique (on tel que, pour suppose tout ~ le lemme 1, deux fois (a, c) = 1 ) permet rationnel, répété d’établir l’existence d’un 9-05 D’après 3, le lemme Par suite [~!~ Il est aisé de vérifier que le coefficient OU + + 6 peut sible. La constante T ~(a/c) = c’est sans a été établie général. Nous avons et T, on prouvé peut T(f) Voici doute étre améliorée mais ses montrer que = 1 . Quitte l’inégalité (2) est vraie qui précise le théorème 1. que le théorème 1, il existe deux telles que, pour tout nombre premières (a, c) restrictive Enfin, pour terminer, signalons que la fonction logarithmique. sans le résultat suivant les mêmes hypothèses THEOREME 2. - Sous tantes ainsi l’hypothèse sous à changer la constante additive en est le meilleur pos- pour la démonstration du théorème 1. importance L’inégalité (2) 1 de cons- rationnel ~ , n ~---> e(n) a un comportement valeurs BIBLIOGRAPHIE [1] BUTOR (M.). - Introduction à Finnegans Wake, "Finnegans Wake" de J. Traduction française. - Paris, Gallimard, 1962. [2] CARROLL (L.). - La chasse au Snark. Traduit en français Joyce. par Aragon. - Paris, Seghers, 1962. [3] MENDES FRANCE (M.). - Sur les fonctions continues Warszawa, t. 23, 1973, p. 207-215. [4] MENDES FRANCE (M.). - The depth of a rational number, "Colloquia Mathematica Societatis Janos Bolyai" [1974. Debrecen]. - Amsterdam, North-Holland pu- blishing Company [5] limitées, Acta Arithm., (à paraître). RANEY (G. N.). - On continued fractions and finite automata, Math. Annalen, t. 206, 1973, p. 265-283. (Texte Michel MENDES FRANCE Université de Borde aux-I Mathématiques [ERA CNRS n° 351 cours de la Libération 33405 TALENCE 362] reçu le 6 janvier 1975)