Cours d`analyse 1, semestre d`automne

Cours d’analyse 1, semestre d’automne
Hugo Duminil-Copin
30 décembre 2013

Table des matières
1 Éléments de théorie des ensembles 5
1.1 Éléments de Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 La notion d’ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Logique élémentaire et principes de démonstration . . . . . . . . . 9
1.2 Relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.2 Compositions des applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.3 Injection-Surjection-Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.4 Applications croissantes, décroissantes et monotones . . . . . . . . 21
2 Entiers naturels et ensembles finis 23
2.1 Entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Ensembles finis et notion de cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Analyse combinatoire sur les ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 Ensembles infinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Les nombres rationnels et réels 40
3.1 L’ensemble des nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 L’ensemble R.................................... 42
3.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.2 Principe d’Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.3 Valeur absolue sur R........................... 43
3.2.4 Densité d’un ensemble dans R...................... 44
3.2.5 Résolution des équations du second degré sur R........... 45
4 Les nombres complexes 49
4.1 Équations polynomiales d’une variable complexe . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2 Conjuguaison et module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3 Argument complexe, applications exponentielle et écriture polaire . . . . 57
4.3.1 Argument d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3.2 Définition de la fonction exponentielle complexe et écriture polaire 57
4.3.3 Racines n-ièmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4 Fonctions trigonométriques cosinus, sinus et tangente . . . . . . . . . . . . 60
4.4.1 Définition des fonctions cosinus et sinus . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.4.2 Propriétés du cosinus et du sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.4.3 La fonction tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1

TABLE DES MATIÈRES 2
5 Suites numériques 64
5.1 Suites convergentes dans K............................ 64
5.1.1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.1.2 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2 Suites à valeurs réelles et relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.1 Inégalité et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.2 Suites monotones à valeurs dans R................... 71
5.3 Valeurs d’adhérence d’une suite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.4 Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.5 Suites à récurrence linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.6 Suites tendant vers l’infini et formes indéterminées . . . . . . . . . . . . . . 82
6 Fonctions Continues 84
6.1 Limite d’une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.1.1 Convergence en x0............................. 84
6.1.2 Convergence en ±∞et convergence vers ±∞ ............. 86
6.2 Continuité des fonctions de la variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2.1 Définition de la continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2.2 Maximum et minimum d’une fonction continue . . . . . . . . . . . 89
6.2.3 Opérations sur les fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.2.4 Théorème des valeurs intermédaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.2.5 Inverse d’une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.2.6 Prolongement de fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.3 Notions reliées à la (notion de) continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.3.1 Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.3.2 Continuité à droite et continuité à gauche (pour votre culture) . . 96
6.3.3 Fonctions à valeurs dans C....................... 97
6.4 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.4.1 La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7 Dérivation des fonctions sur R104
7.1 Dérivée d’une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.1.2 Accroissements et dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.2 Dérivées Successives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.3.1 Applications aux fonctions convexes (pour votre culture) . . . . . 116
7.3.2 Applications à l’étude des graphes de fonctions . . . . . . . . . . . 120
7.3.3 Applications aux inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.3.4 Formes indéterminées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.3.5 Recherche de solutions d’une équation fonctionnelle (pour votre
culture) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8 Intégration de fonctions à valeurs réelles 129
8.1 L’intégrale sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.1.1 Définition de l’intégrale des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . 129
8.1.2 Intégrales des fonctions réglées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.1.3 Valeur approchée de l’intégrale d’une fonction continue . . . . . . 135
8.2 Primitive des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Préface
Ces notes de cours présentent le contenu du cours d’analyse premier semestre donné
à l’université de Genève. Nous remercions les étudiants et les assistants qui ont contribué
par leur relecture attentive à la création de ces notes. Nous tenons également à remercier
tout particulièrement Nicolas Curien et Ruth Ben Zion.
Ces notes complètent les notes manuscriptes présentées en cours. En aucun cas elles
ne les remplacent ! Il est crucial de venir en cours et d’écrire le cours présenté en classe.
Le processus consistant à écrire le cours représente la première étape de révision. Le
contenu exigible à l’examen est le matériel présenté en classe (en particulier, de
nombreuses parties du polycopié ne seront pas discutées en classe, et sont présentées pour
votre culture). De plus, ces notes peuvent être modifiées (de façon mineure)
à tout moment. Vérifiez donc que vous avez bien une version relativement
récente.
Les exercices présentés dans ces notes ne correspondent pas nécessairement aux
feuilles d’exercices distribuées chaque semaine et disponibles sur dokeos dans la rubrique
Analyse 1 (automne 2012). Comme pour le cours, les exercices de référence sont
ceux des feuilles d’exercices. Les exercices sont nombreux et de niveau variable.
Nous ne nous attendons pas à ce que vous les réussissiez tous. Les exercices difficiles
sont repérables grâce au sigle (ces exercices représentent des challenges dont la diffi-
culté excède de loin le champs de compétence requis pour valider le cours). Les exercices
des feuilles d’exercices avec un sigle ◇sont à rendre pendant le cours du mercredi (au-
cune copie ne sera acceptée après cette date). Les copies seront corrigées et notées. Ces
notes sur le semestre résulteront en une note sur 0.5 qui sera ajoutée comme
bonus à la note finale du semestre.
Un examen écrit de 4 heures viendra sanctionner le semestre. Aucun document n’est
autorisé pendant cet examen. Une question de cours pouvant porter sur n’importe quelle
partie du cours présenté en classe sera incluse dans l’examen. Les théorèmes encadrés
sont absolument cruciaux, et il est très important de les connaitre parfaitement. Les
exercices porteront sur le contenu du cours mais ne feront pas nécessairement partie des
exercices préparés pendant l’année.
3

TABLE DES MATIÈRES 4
Concernant la lecture de ces notes, les encadrés comportent des remarques, des as-
tuces ou des principes généraux de démonstration. Les arguments repérés par la mention
"pour votre culture" ne sont en aucun cas requis à l’examen.
Le cours commence par une description succinte de la théorie des ensembles et de la
logique. Cette partie est destinée à poser les bases nécessaires pour rédiger une preuve
mathématique correctement. Elle offre également une opportunité de découvrir les fonde-
ments de notre discipline. Les chapitres suivants introduisent graduellement les nombres
entiers, rationnels, réels et complexes. Nous étudions ensuite la notion de suite et de
limite. Dans un quatrième temps, nous proposons une étude des fonctions de la variable
réelle (continuité, dérivabilité, intégration). Certaines des notions étudiées dans ce se-
mestre ne vous sont pas inconnues. Néanmoins, nous les étudierons plus en profondeur,
et parfois avec un angle d’approche différent de celui avec lequel vous les avez rencontrées
jusqu’à présent. Le cours est complètement auto-contenu et aucun pré-requis
n’est nécessaire.
Un dernier conseil, nous vous recommandons de participer aux répétitoires le mardi
et jeudi soir, que vous ayez des difficultés ou non. Mais ces répétitoires ne sauraient
remplacer le travail personnel sur les exercices : il est très important d’essayer de
faire les exercices seul.
Bonne lecture et bon semestre
Enseignant
Hugo Duminil-Copin
Bureau 615, 2-4 rue du Lièvre
Département de mathématique
Université de Genève
E-mail : [email protected]