Propagation de la lumière

CONCOURS COMMUN MINES–PONTS, SESSION 2012
Première épreuve de Physique
Filière PC
Durée de l’épreuve : 3 heures
Solution proposée
Propagation de la lumière
Le problème comporte une étude classique (optique géométrique et diffraction, équations de propagation) des
ondes lumineuses et de leur propagation dans le vide ou dans des milieux transparents. La suite du sujet est
consacrée à l’étude d’une version classique (i.e. non quantique) de l’équation de Klein–Gordon ; celle-ci a été
introduite en 1926 par ses auteurs pour proposer une version quantique de la relation entre énergie et quantité
de mouvement d’une particule massive, sans spin. Le sujet (pratiquement commun aux filières MP et PC)
décrit quelques conséquences des modifications des équations de Maxwell nécessaires pour obtenir l’équation de
Klein–Gordon, en lieu et place de l’équation de D’Alembert.
I : Propagation géométrique de la lumière
1. Du point de vue de l’optique géométrique, un milieu linéaire, homogène, transparent et isotrope est un milieu
caractérisé par un indice optique n > 0 , uniforme. Les ondes lumineuses s’y propagent en lignes droites, sauf
lors de la traversée d’un dioptre (cf. question suivante).
On peut éventuellement rappeler ici le modèle électromagnétique associé à un tel milieu : le vecteur polarisation
~ avec une susceptibilité électrique
~ sous la forme P~ = ε0 χe E
P~ yest proportionnel au champ électrique E
χe ∈ R, de sorte que les équations de Maxwell modifiées pour tenir compte des charges et des courants de
~
polarisation ρP = − div P~ et ~jP = ∂∂tP s’écrivent en fonction des seules charges et courants libres, en remplaçant
la permittivité du vide par celles du milieu, ε0 7→ ε0 (1+χe ). Le domaine de transparence correspond à chie > −1 ;
la vitesse de propagation (vitesse de phase) des ondes électromagnétiques en l’absence de charges libres vérifie
p
c
alors v12 = ε0 (1 + χe )µ0 soit vϕ = avec n = 1 + χe .
ϕ
n
2. Lorsqu’un rayon lumineux aborde la surface de séparation (dioptre) entre deux milieux transparents d’indices
n1 et n2 , il donne lieu à deux rayons, réfracté et réfléchi. Ces deux rayons se propagent tous deux dans le
plan d’incidence , plan défini par le rayon indicent et la normale, au point d’incidence, au dioptre (cf. schéma).
θ2
n2
b
θ1
θ1′
n1
On peut dès lors définir dans ce plan les angles formés par le rayon incident (θ1 ), le rayon réfléchi (θ1′ ) et le
rayon réfracté (θ2 ) avec la normale au dioptre. Ces angles sont orientés (cf. figure) et définis respectivement
pour les deux premiers dans le milieu d’indice n2 , pour le dernier dans le milieu d’indice n2 .
La seconde loi de Descartes précise les relations entre ces angles : θ1′ = −θ1 pour le rayon réfléchi (qui existe
toujours, sauf cas très particulier d’incidence et de polarisation) et n1 sin θ1 = n2 sin θ2 pour le rayon réfracté
(qui n’existe pas dans le seul cas où cette équation n’a pas de solution réelle pour θ2 ; on parle alors de réflexion
totale, cf. ci-après).
Ces lois ont été énoncées par le français René Descartes (dans l’ouvrage La Dioptrique) en 1637. Toutefois,
on devrait leur donner le nom du néerlandais Willebrod Snell van Royen qui les a vraisemblablement
énoncé (mais non publié) en premier, entre 1611 et 1622. Ces lois avaient en fait été énoncées (et publiées sous
forme de manuscrit) pour la première fois en 984 par le persan Abu Sad Ibn Sahl, à Bagdad. On peut donc
admettre ici deux réponses, le xviie siècle ou le xve siècle. . .
3. La relation sin i2 = nn21 sin i1 n’a de solution (et il n’existe un rayon réfracté) que si sin i2 < 1, c’est-à-dire
n2
si i1 < αlim où sin αlim =
; cette limite n’a bien sûr de sens que si n2 < n1 (dans le cas contraire, on
n1
n’observe pas de phénomène de réflexion totale).
4. Le plan d’incidence du premier rayon est le plan (Oxy) ; il se conserve donc de réfraction en réfraction, la
normale aux dioptres successifs étant toujours confondue avec êy . Le rayon est donc une courbe plane du plan
(Oxy). L’angle d’incidente sur le dioptre séparant les indices ni et nj est θi = π2 − αi d’où la loi de Descartes
dans ce cas, ni cos αi = nj cos αj . Comme ni est une fonction décroissante de i, αi est donc une fonction
croissante de i et le rayon s’incurve toujours en direction de l’axe (Ox), cf. figure.
y
α3
n3
b
α2
n2
b
α1
n1
b
n0
5. On généralise immédiatement le résultat précédent en
dans un milieu continu. Il suffit de remarquer que cos α(y) =
n(y) cos α(y) = C0
dx
ds
pour en déduire
x
dans le cas d’une trajectoire
C0 = n(y)
dx
.
ds
2
2
2
dy
= nC(y)
qu’on
écrira
plutôt
1
+
ou, par dérivation
6. Cette équation s’écrit aussi C02 = n2 (y) dx2dx
2
2
+dy
dx
0
dy
d2 y dy
1 d
2
relativement à x, 2 dx2 dx = C 2 dy n (y) dx . En dehors des points où le rayon devient parallèle à l’axe (Ox),
0
n2 (y)
d
d2 y
dy
−
=−
à condition de poser
dx 6= 0 et on trouve bien l’équation différentielle demandée,
dx2
dy
β
β = 2C02 . On admettra que cette équation peut être, par prolongement dérivable du rayon lumineux, étendue
dy
= 0.
aux points où dx
Dans le cas du mouvement d’un point matériel le long d’un axe (Oy) au cours du temps, sous l’action d’une
force conservative dérivant de l’énergie potentielle Ep (y), le principe fondamental de la dynamique s’écrit
d2 y
d Ep (y)
, la masse m jouant le rôle de la constante β et la trajectoire y(x) du rayon lumi=−
dt2
dy
m
neux étant représentée par la loi horaire y(t). Le rayon lumineux est bien, sur le schéma ci-dessus, incurvé vers
les zones d’indice maximal, donc d’énergie potentielle minimale.
2
d y
k
sinusoïdale
7. Reportant n2 dans l’équation du rayon lumineux, dx
2 = C 2 y. Si k < 0 et la trajectoire est
0
√
x
, avec y(x) = y0 sin
−k
: c’est le cas d’une fibre optique , le rayon restant confiné à distance finie
C0
√ x
de l’axe (Ox) de la fibre. Avec k > 0, la trajectoire est hyperbolique avec y(x) = y0 sh
k
: c’est le
C0
cas d’un mirage , le rayon lumineux s’éloignant de la trajectoire rectiligne qu’on observerait dans un milieu
homogène.
II : Nature ondulatoire de la lumière
II.A – Propagation dans le vide
~ = 0 et
C’est une question de cours, on cite par exemple d’abord les équations de structure div B
~
~
1 ∂E
∂B
→~
−→ ~
~ = ρ et −
puis les équations aux sources div E
rot B
= µ0~j + 2
; dans le vide, ces deux
rot E = −
∂t
ε0
c ∂t
8.
2
dernières deviennent
~
1 ∂E
→~
~ = 0 et −
div E
rot B
= 2
. Le vecteur de Poynting est, par définition
c ∂t
et la densité volumique d’énergie électromagnétique uem =
~ ~
~ = E∧B
Π
µ0
~2
~2
ε0 E
B
.
+
2
2µ0
~ +
div Π
9. L’équation locale de Poynting s’écrit dans le cas général
∂uem
~
= −~j · E
∂t
donc, dans le vide où
∂uem
= 0 . Elle est analogue de l’équation de conservation de la charge
∂t
∂ρ
∂T
électrique div ~j +
= 0 et de l’équation de bilan thermique local div ~jth + ̺c
= pℓ , reliant la densité
∂t
∂t
volumique de courant thermique ~jth , la capacité thermique massique c et la masse volumique ̺ (donc l’énergie
interne massique ̺cT ) et la densité volumique d’apports de puissance mécanique ou thermique pℓ . Cette équation
traduit donc la conservation de l’énergie électromagnétique car la puissance rayonnée à travers une surface
Z
~ · dS
~ , l’ énergie électromagnétique stockée dans un
orientée S est le flux du vecteur de Poynting, Prad = Π
~j = ~0, elle prend la forme
~ +
div Π
volume fini est l’intégrale Wem =
aux particules chargées s’écrit
Z
uem dτ , tandis que la puissance transférée par le champ électromagnétique
Pj =
Z
~
~j · Edτ
(ce terme est nul dans le vide). Ainsi, le bilan énergétique
électromagnétique d’un volume fermé vide prend la forme
volume donné est la puissance rayonnée hors de ce volume.
−
dWem
= Prad : la diminution de l’énergie d’un
dt
−
→ ~
−→ ~
→~
A
~ = 0, il existe au moins un vecteur A
~ tel que B
~ =−
. On en déduit rot E
= − ∂ rot
10. Puisque div B
rot A
∂t
−
−
→
−→ ~ ∂ A~
~
~ + ∂ A = − grad V
qu’on peut recopier rot E + ∂t = ~0 ; il existe donc au moins un scalaire V tel que ce E
∂t
~
~
−→
−→
−→ ~
~ = − ∂A − −
~ = − ∂A − −
ou E
grad V . On en déduit Ψ
grad V + ıc rot A
. Les deux équations aux divergences
∂t
∂t
~
ı ∂Ψ
→~
~ = ρ tandis que les deux équations aux rotationnels imposent −
rot Ψ
=
+ ıµ0 c~j . Dans
imposent div Ψ
ε0
c ∂t
le vide, ces équations se ramènent à
~
ı ∂Ψ
→~
~ = 0 et −
div Ψ
rot Ψ
=
.
c ∂t
~ =E
~ 2 + c2 B
~ 2 donc, compte tenu que ε0 µ0 c2 = 1, Ψ
~∗ ·Ψ
~ = 2uem . De
~∗·Ψ
11. On obtient immédiatement Ψ
ε0
~∗∧Ψ
~ = 2ıcE
~ ∧B
~ donc
même, Ψ
~∗∧Ψ
~ = 2ıµ0 cΠ
~ .
Ψ
→ −→ ~
~;
~ = 0, le double rotationnel du vecteur de Riemann–Silberstein est −
rot rot Ψ
= −∆Ψ
12. Compte tenu de div Ψ
−
→~
2~
2
−→ −→ ~
ı ∂ rot Ψ
ı ∂ Ψ
~
on a aussi rot rot Ψ = c ∂t soit enfin −∆Ψ = c2 ∂t2 qui est l’ équation de D’Alembert , écrite sous sa
~ =
forme complexe ∆Ψ
~
1 ∂2Ψ
2
c ∂t2
~ =
ou bien dont on peut déduire les parties réelle ∆E
~
1 ∂2E
2
2
c ∂t
et imaginaire
~
1 ∂2B
~ = E
~ 0 eı(ωt−~k·~r)
(à un facteur multiplicatif 1/c près). Reportant la structure d’onde plane E
2
2
c ∂t
∂
~ = −ı~k, on trouve l’équation de dispersion des ondes planes
= ıω et ∇
dans l’équation de D’Alembert avec ∂t
pγ k .
dans le vide ω = ck~kk qui, après multiplication par la constante de Planck réduite ~, s’écrit Eγ = ck~
~ =
∆B
~
~ = k ∧E
~ (par application de l’équation de Maxwell–
13. On calcule d’abord, toujours en notations complexes, B
ω
!
D E 1
~ ∧B
~∗
E
E0 ı(ωt−kz)
~
~
êy ; on en déduit ensuite
Π = Re
en se limitant aux valeurs
Faraday) soit B = c e
2
2µ0
moyennes temporelles, soit aussi
D E
2
~ = E0 êx . De la même manière, l’énergie électromagnétique volumique
Π
2µ0 c
3
1
moyenne s’écrit huem i = Re
2
ε0 ~ ~ ∗
1 ~ ~∗
E ·E +
B·B
2
2µ0
ou, après simplifications,
ε0 E02
.
2
huem i =
δ 2 Wcyl = huem i dSdℓ
tandis que celle qui traverse l’éléD E
~ · êx dSdt . Si
ment de surface dS par unité de temps est le flux du vecteur de Poynting moyen, δ 2 Wtr = Π
L’énergie contenue dans un cylindre élémentaire est
on identifie ces deux termes avec dℓ = vE dt, et compte tenu de ε0 µ0 c2 , on trouve
l’interprétation générale de la vitesse (de groupe) de l’équation de D’Alembert.
vE = c , conformément à
II.B – Propagation dans un diélectrique
2
2~
~ = n2 ∂ Ψ
14. Il suffit de remplacer ε0 pour obtenir la nouvelle équation de propagation ∆Ψ
c ∂t2 ; la relation de
c
c ~
.
dispersion devient ω = kkk et la vitesse de phase ω/k~kk devient donc vϕ =
n
n
15. Rappelons ici le principe de Huygens et Fresnel, dans le cadre duquel nous répondrons à cette question.
Pour le calcul de l’onde diffractée dans la direction θ, on peut considérer que tous les points P de la pupille
(Oxy) sont des sources d’ondes cohérentes entre elle, chaque onde étant proportionnelle à l’amplitude complexe
de l’onde incidente en P et à l’élément de surface dS = dxdy. Enfin, ces ondes sont décrites dans l’approximation
scalaire.
n1 ω
On peut d’abord calculer l’amplitude de l’onde (plane) incidente sous la forme Ainc = A0 e−ı c û1 ·~r puisque le
n1 ω
vecteur d’onde dans le milieu d’indice n1 a pour norme k1 = c et pour direction û1 = cos αêz + sin αêx ; on
n1 sin αxω
c
peut donc écrire, en P (x, y, z = 0) l’amplitude Ainc (x) = A0 e−ı
. L’onde diffractée depuis un élément de
surface a donc une amplitude dA(P ) = κAinc (x)dxdy, où on ne cherchera pas à expliciter la constante κ. Cette
ω
onde aura pour amplitude, au point M d’observation, dA(M ) = dA(P )e−ı c (P M) où le chemin optique (P M )
peut s’exprimer à partir du chemin optique de référence (OM ) selon (P M ) = (OM ) − δ avec pour différence
de marche δ = n2 sin θx.
ω
Finalement, dA(M ) = κA0 e−ı c (OM) eıux dxdy où on a posé u = ωc [n2 sin θ − n1 sin α]. L’intégrale sur y est immé
R L/2
diate et fournit seulement la largeur de la pupille ; celle sur x est classique, −L/2 eıux dx = Lsinc ux
2 . On obtient
ωL
[n1 sin α − n2 sin θ] , le
enfin l’intensité sous la forme I(θ) = |A(M )|2 qu’on écrit enfin I(θ) = I0 sinc2
2C
maximum étant obtenu dans la direction de la
loi de Descartes , I = I0 si
n1 sin α = n2 sin θ .
II.C – Propagation de l’onde lumineuse avec une masse de photon non nulle
~ω
2
deux grandeurs énergétiques donc δ =
16. Écrivant δ = ωc mc
2 , on reconnaît dans ~ω et mc
d’un vecteur d’onde : c’est une distance .
ω2 ~ 2 1 2
=k +
. Comme on a vu que
c2
δ
~
~ = 1 ∂E + 1 E
~ .
encore écrire l’équation de Klein–Gordon ∆E
2
c ∂t2
δ2
17. Avec Eγ = ~ω et pγ = ~k on trouve
18. Les équations aux sources deviennent
vient donc
~ = f ,
div E
ε0
~ = ρ+f ,
div E
ε0
∂
∂t
c
ω
est l’inverse
~ = −ı~k, on peut
= ıω et ∇
~
1 ∂E
−→ ~
rot B = µ0 ~j + F~ + 2
. Dans le vide, il
c ∂t
~
1 ∂E
−→ ~
rot B = µ0 F~ + 2
. Puisqu’on conserve l’écriture en fonction des potentiels,
c ∂t
~
∂B
−→ ~
rot E = −
: l’hypothèse H2 n’est donc
∂t
−−→
→ −→ ~
~ d’une
~ sous la forme −
pas contredite. Écrivant alors le double rotationnel de E
rot rot E
= ε10 grad f − ∆E
−→ −→ ~
~
∂
part, et rot rot E = − ∂t
µ0 F~ + c12 ∂∂tE d’autre part, on obtient en imposant l’équation de Klein–Gordon
les équations de structure ne sont pas modifiées,
~ =0
div B
et
2 −→
∂ F~
−→ −→ ~
→ −→ ~
~ =δ −
~ d’une part, −
E
grad f + δ 2 µ0
. De même pour le champ magnétique, rot rot B
= −∆B
rot rot B
=
ε0
∂t
2~
→
−→
~ = −µ0 δ 2 −
B
rot F~ . On
µ0 rot F~ − c12 ∂∂tB
2 d’autre part donc, toujours en imposant l’équation de Klein–Gordon,
en déduit que les potentiels
~ = σ1 F~ et V = 1 f
A
σ2
conviennent si on choisit σ1 = −δ 2 µ0 et σ2 = −
−→ ~
19. L’équation de Maxwell–Ampère modifiée impose ici div rot B
= 0 donc µ0 div F~ +
4
1 d
c2 dt
ε0
.
δ2
~ soit, avec
div E
~ =
div E
f
ε0 ,
~ − δ 12 dV = 0 qui prend bien la forme de la
− δ1 div A
c dt
~ = ∂V
qu’on écrit χ div A
∂t
jauge de Lorenz
proposée par l’énoncé,
avec χ = −c2 .
20. On déduit directement de ce qui précède
~
ı ∂Ψ
−→ ~
rot Ψ =
+ ıµ0 cF~ . On calcule encore
c ∂t
2~
−→ ~
→ −→ ~
~
∂F
~ d’une part, −
− ∆Ψ
rot rot Ψ
= − c12 ∂∂tΨ
2 + ıµ0 c rot F − µ0 ∂t ;
~ =
div Ψ
−−→
−→ −→ ~
une fois un double rotationnel, rot rot Ψ
= grad εf0
f
ε0
et
~
1~
1 ∂2Ψ
= 2Ψ
: c’est l’équation de
c2 ∂t2
δ
~
→~
~ en étant solution, div Ψ,
~ −
Klein–Gordon. Celle-ci étant linéaire et le vecteur Ψ
rot Ψ
et ∂∂tΨ et leur combinaison
~
−→ ~
− ı ∂ Ψ sont encore des solutions de l’équation de Klein–Gordon ; il en va enfin de même de f /ε0
linéaire rot Ψ
~ −
on a donc ∆Ψ
2~
1 ∂ Ψ
c2 ∂t2
−−→
−→
~
= grad εf0 − ıµ0 c rot F~ + µ0 ∂∂tF qui s’écrit
~ −
∆Ψ
c ∂t
et ıµ0 c, donc encore des potentiels :
∆V −
21. On sait depuis la question 17 que
ω2
c2
1 ∂2V
1
= 2V
c2 ∂t2
δ
= k2 +
1
δ2 ,
et
~−
∆A
~
1 ~
1 ∂2A
= 2A
.
2
2
c ∂t
δ
qui prend aussi la forme k 2 =
ω 2 − ωp2
c2
avec ωp =
c
δ
qu’on peut aussi écrire ~ωp = mγ c2 .
→~
~ k = Ak~ez et A
~ 0 est un vecteur du plan (Oxy). On trouve alors B
~ =−
22. On a ici A
rot A
sous la forme complexe
~ donc
~ = −ıkêz ∧ A
B
~ = −ıkêz ∧ A
~ ⊥ : le champ est transverse magnétique (TM). On détermine aussi la
B
0
−→
~
~ = −−
~ donc aussi V0 = kc2 Ak . Enfin, on détermine E
condition de jauge ıωV = −ıc2 kêz · A
grad V − ∂∂tA sous
ω
forme complexe ; il vient
~0 =E
~⊥+E
~k
E
composante transverse électrique
avec, comme dans le modèle « usuel » (sans masse du photon) une
~⊥
~ = −ıω A
E
⊥
h
~ = ıωAk 1 −
du champ électrique sous la forme E
k
mais on doit lui ajouter une composante
i
2
c2 k
ω2
soit
~ =ı
E
k
non transverse
ωp2
Ak . On remarque bien que dans le
ω
modèle à masse nulle, ωp → 0 et cette composante longitudinale du champ électrique disparaît.
23. Il ne peut y avoir d’onde progressive que si ~k 2 > 0 donc si ω > ωp ; dans ce cas, la vitesse de phase
c
vϕ = ωk s’écrit vϕ = q
; il y a propagation avec dispersion puisque vϕ dépend de ω et la propagation
ω2
1 − ωp2
se fera avec étalement du paquet d’onde .
i
24. Les franges observées dans le cas d’un système de lame d’air en éclairage spatialement
étendu sont localisées à l’infini, c’est-à-dire ici dans le plan focal image de la lentille
disposée en sortie de l’appareil. On obtient alors sur l’écran E des anneaux , franges
d’égale inclinaison caractérisées par la différence de marche δ = 2e cos i où i = f /f ′ où r est
r
E
le rayon de l’anneau, f ′ la distance focale de la lentille utilisée et e l’épaisseur optique du
système, c’est-à-dire la distance entre les deux miroirs de l’interféromètre replié.
Supposons que la translation du miroir se traduise par l’augmentation de e (on s’éloigne du contact optique).
Chaque anneau est caractérisé par δ = pλ constant donc par cos i décroissant si e est croissant : le rayon de
l’anneau augmente et chaque anneau s’éloigne du centre de la figure (le foyer principal de la lentille).
En ce point, le détecteur enregistre un maximum à chaque fois que p = 2e/λ est entier, donc N = 2∆e/λ, qu’on
écrit encore N = k∆e/π, avec c2 k 2 = ω 2 − ωp2 avec ωp = mγ c2 /~. Finalement, on obtient une expression de la
r
~
c2 N 2 π 2
masse du photon, mγ = 2 ω 2 −
mais la méthode suppose une mesure très précise et indépendante
c
∆e2
de tout dispositif optique de la pulsation ω, qui doit de plus être définie avec précision et stabilisée pendant la
mesure.
b
25. Un photon est un paquet d’ondes qui se propage à la vitesse de groupe vg = dω
dk ; en dérivant la relation
q
2
ω
de Klein–Gordon on obtient c2 = vϕ vg donc vg = c 1 − ωp2 ou, toujours dans les conditions d’approximation
ω2
proposées, vg ≃ c 1 − 2ωp2 . La durée de parcours sur une distance D est alors t = vDg donc, au même ordre
ω2
d’approximation, t = Dc 1 + 2ωp2 . On en conclut que l’écart des durées pour deux fréquences différentes est
5
∆t =
Dωp2
2
2c ∆(1/ω )
où ωp =
mγ c 2
~
v
~u
2c∆t
u
donc mγ = 2 t c
D 12 −
ωr
2
(soit mγ c < 5 · 10
−7
eV).
. De ∆t 6 10−3 s, on tire mγ 6 8 · 10−43 kg
1 ωb2 Proposé par [email protected]
6