Corrigé (Centrale-Mines)

MP1&2 2016 - 2017 Correction - DS n°5bis (Centrale - Mines) : Électromagnétisme
Correction - DS n°5bis (Centrale - Mines)
Samedi 7 janvier 2017 - Durée : 2 heures
1 Relations fondamentales de la magnétohydrodynamique (d’après
Centrale-PC-2016)
1. (a) Équations de Maxwell :
div−→ E=ρe
ϵ0équation de Maxwell-Gauss (MG)
div−→ B=0 équation de Maxwell-Thomson (MT) ou Maxwell-flux (Mϕ)
−→
rot−→ E=−∂−→
B
∂téquation de Maxwell-Faraday (MF)
−→
rot−→ B=µ0
−→
j+µ0ϵ0
∂−→ E
∂téquation de Maxwell-Ampère (MA)
(b) D’après les ordres de grandeur :
V∼L
T
Or d’après Maxwell Faraday en ordre de grandeur,
E
L∼B Tsoit E B∼L T∼V
Attention, on n’a pas ici E/B=c!
(c) Dans Maxwell-Ampère, si les courants de déplacements sont négligeables par rap-
port aux autres termes, alors −→ rot−→ B≈µ0
−→
j(sinon il n’y a plus d’influence des
courants). Dans ce cas ||−→ j|| ≪ ||−→ jd|| ⇔ ||µ0
−→
jd|| ≪ ||−→ rot−→ B||, soit en ordre de grandeur
µ0ϵ0
E
T≪B Lsoit V
c2
E
B≪1
en utilisant µ0ϵ0=1/c2. En utilisant la relation de la question précédente, on obtient
donc : V2
c2≪1
ce qui correspond bien à une hypothèse d’écoulement non relativiste.
2. (a) Par invariance de la force et de la charge par changement de référentiel, on a alors
la même valeur de la force de Lorentz pour toute charge qde vitesse −→ vdans le
référentiel R, qu’on l’exprime dans les deux référentiels :
q−→ E+−→ v∧−→ B=q−→ E′+−→ v′∧−→ B′
On note −→ vla vitesse de la charge dans la référentiel R. Sa vitesse −→ v′dans le
référentiel R′se déplaçant à la vitesse −→ v(P,t) notée −→ vP(vitesse d’entraînement)
dans le référentiel Rest telle que
−→
v=−→ v′+−→ vP
En particulier pour −→ v′=−→ 0 (particule au repos dans son propre référentiel), on en
déduit −→
E′=−→ E+−→ vP∧−→ B
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(b) Par définition d’un courant volumique de charges dans un milieu où des porteurs
«i»en densité volumique de charge ρise déplacent à la vitesse −→ vidans le référentiel
R−→
j=
i
ρi−→ vi
Dans le référentiel R′, la densité volumique de charge est identique (charge inva-
riante, et volume invariant en mécanique classique) donc le courant volumique
associé est
−→
j=
i
ρi−→ v′
i=
i
ρi−→ vi−−→ vP=
i
ρi−→ vi−
i
ρi
−→
vP
Or par hypothèse iρi=0 car le milieu est localement neutre (fluide non chargé).
Donc −→
j=−→ j′
(c) On en déduit immédiatement la relation attendue d’après la loi d’Ohm locale dans
le référentiel R′et les résultats précédents, avec −→ vP=−→ v:
−→
j=−→ j′=σ−→ E′=σ−→ E+−→ v∧−→ B
3. (a) L’équation de conservation de la charge s’écrit :
∂ρe
∂t+div−→
j=0
En injectant directement l’expression de −→ jde la question précédente et en utilisant
Maxwell Gauss ∂ρe
∂t+σ ϵ0ρe=−σdiv(−→
v∧−→ B)
On notera que le terme de droite apparaît ici comme un terme de disparition de
charge.
(b) Au repos −→ v=−→ 0 l’équation se ramène au cas classique, dont la solution est
ρe(t)=ρe(0) exp −t
τ
Le temps caractéristique d’évolution est τ=ϵ0
σpar identification, l’AN donne pour
le cuivre
τ=1,48 ×10−19 s
Donc au bout d’un temps très court, le milieu est localement de charge nulle, tant
que les champs varient sur des échelles de temps plus longues, à de plus basses
fréquences que fc=1
τ∼1019 Hz, ce qui est une très haute fréquence par rapport aux
fréquences habituellement accessibles en TP (ARQS) ou visiblement en jeu dans la
magnétohydrodynamique lorsque l’on sort de l’hypothèse du repos.
(c) Si le conducteur est en mouvement et qu’on est en régime stationnaire
ρe=−ϵ0div(−→ v∧−→ B)
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ρeest non nul car div(−→ v∧−→ B) est non nul à cause de l’effet d’induction. La néces-
sité d’une charge volumique non nulle peut s’interpréter par le fait que dans le
référentiel au repos, où il n’y a pas de champ électromoteur, des charges sont en
mouvement dans le fluide, elles-même à l’origine des courants de charge et donc
du champ magnétique. Or ces charges ont été mises en mouvement uniquement
par l’existence d’une force électrique, qui ne peut elle-même qu’avoir été produite
que par un champ électrique −→ Econséquence d’une distribution de charge locale
non nulle : ρe.
(d) En ordre de grandeur, on obtient ρe∼ϵ0VB
L∼ϵ0ωB, soit (attention aux unités !) :
ρe∼5×10−12 C.m−3
L’ordre de grandeur du nombre de charges libres dans un métal est de 1030 m−3,
donc la densité volumique de charge libres est de l’ordre de
ρl=NAρNae
MNa
∼1011 C.m−3
On a donc ρe≪ρl, les charges mises en jeu par le phénomène magnétohydrody-
namique sont une très faible portion des charges présentes dans le sodium, mais
elles restent à l’origine de l’effet dynamo !
4. On procède comme pour une équation d’onde. D’après Maxwell Ampère en négligeant
courant de déplacement et en utilisant la loi d’Ohm locale, et Maxwell Flux :
−→
rot−→ B=µ0σ−→ E+−→ v∧−→ Bet div−→ B=0
En utilisant −→ rot(−→ rot(−→ B)) =−−−→ grad(div−→ B)−∆−→ B, alors
−∆−→ B=µ0σ−→ rot−→ E+−→ rot −→ v∧−→ B
D’après Maxwell Faraday alors :
−∆−→ B=µ0σ −∂−→
B
∂t+−→
rot −→ v∧−→ B
C’est-à-dire l’équation demandée :
∂−→ B
∂t=−→
rot −→ v∧−→ B+λ∆−→ B
avec par identification λ=1
µ0σ.
•Le terme laplacien s’identifie à un terme diffusif car il est relié à une dérivée tem-
porelle première du même objet (le champ magnétique), avec λun « coefficient de
diffusion magnétique »en m2.s−1.
•L’autre terme est celui d’origine inductive, car il est lié aux mouvements du fluide
conducteur par le champ de vitesses −→ v.
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5. En multipliant scalairement par 1
µ0
−→
Bpour avoir une équation homogène à une puissance
volumique puis en intégrant sur un volume Vquelconque pour faire apparaître une
équation homogène à une puissance
d
dt $V
1
µ0B2dτ=1 µ0$V
−→
rot −→ v∧−→ B·−→ Bdτ+λ
µ0$V
∆−→ B·−→ Bdτ
•Le membre de gauche est la dérivée temporelle de l’énergie magnétique Um=#V
1
µ0B2dτ
•Le premier terme du membre de droite est une puissance reçue PId’origine inductive
•On travaille sur le second terme du membre de droite, où on cherche à faire réapparaître
la source −→ jet une divergence liée à l’induction
∆−→ B·−→ B=−−→ rot(µ0
−→
j)·−→ B=−µ0
−→
B·−→ rot−→ j=−µ0−→ j·−→ rot−→ B+div −→ j∧−→ B
=−µ0µ0j2+div −→ j∧−→ B
– Le second terme est une divergence, donc intégré sur le volume donne un flux sur la
surface extérieure d’après le théorème d’Ostrogradsky
$V
div −→ j∧−→ Bdτ=Σ
−→
j∧−→ B·dS
intégrale qui est nulle si on prend le volume assez grand de sorte que les bords du
volume voient un champ magnétique nul à l’infini : l’intégrant est alors nul en tout
point de la surface.
– Le premier des deux termes donne les pertes par effet Joule, une fois multiplié par
λ/µ0=1/(µ2
0σ) et intégré
V
j2
σdτ=PJ
Ce terme d’effet Joule intervient dans l’équation globale avec un signe négatif : c’est
une perte de l’énergie magnétique dans le milieu conducteur sous forme thermique
du fait du couplage inductif. En effet, l’équation énergétique s’écrit au final :
dUm
dt =−PJ+PI
faisant apparaître deux origines au stockage global de l’énergie magnétique : une
puissance reçue d’origine inductive et une puissance perdue par effet Joule.
6. •On a une équation de diffusion si le terme inductif −→ rot −→ v∧−→ B=−→ 0 est négligeable
devant le terme diffusif. En particulier s’il est nul, dans le cas par exemple d’un fluide
est complètement au repos −→ v=−→ 0 .
•Dans ce cas la diffusion pure fait disparaître le champ −→ B(pas de champ aux limites à
l’infini) sur une échelle de temps τqui dépend de l’échelle spatiale Rtelle que
R2
τ∼λ
•En prenant comme échelle spatiale la taille typique de la coquille fluide du noyau
(externe), R=2×103km, on obtient
τ∼R2µ0σ∼7×104ans
Ce résultat n’a de sens qu’en années pour pouvoir être comparable.
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•C’est un temps long à l’échelle humaine mais court à l’échelle géologique (âge de la
Terre : 5 milliards d’années). Cela confirme donc que le champ magnétique terrestre
est entretenu par des phénomènes inductifs. Un champ fossile éventuel aurait disparu
depuis longtemps.
2 Solénoïde en régime lentement variable
1. (a) τ=L
R=10−5s=10 ms.
(b)
||−→ jD||
||−→ j||
=
ε0
∂−→ E
∂t
γ||−→ E||
≪1 implique ε0
−→
E
γτ||−→ E||
≪1 et donc ε0
γτ ≪1⇒τ≫ε0 γ
Pour du cuivre, dont la conductivité électrique vaut γ=6×107Ω−1.m−1, on obtient :
τ≫1
6×107×36π×109≃10−19 s
Cette condition est vérifiée très largement dans le cas du solénoïde, donc on pourra
effectivement négliger le courant de déplacement dans l’équation de Maxwell-
Ampère.
(c) Puisque le courant de déplacement est négligeable, le champ ⃗ Bse calcule comme
en statique, avec i(t) :
⃗
B=µ0ni(t)⃗ uz=µ0nI0e−
t
τ−→
uz
à l’intérieur du solénoïde, ⃗ 0 à l’extérieur.
2. Par invariance par rotation d’angle θet translation selon Oz car le solénoïde peut être
considéré comme infini, ⃗ E(r). Dans la région sans charges, la seule source de champ ⃗ E
est le champ ⃗ B, via l’équation −−→ Rot⃗ E=−∂⃗
B
∂t. Par analogie avec la magnétostatique, ⃗
Eest
donc orthogonal à un plan de symétrie de ∂⃗
B
∂t. En un point Mdonné, le plan (M,⃗
ur,⃗ uz)
est plan de symétrie de ∂⃗
B
∂t, d’où ⃗
E=E(r,t)⃗ uθ.
3. La loi de Faraday donne :
Γ
⃗
E.d⃗ l=E(r,t)2πr=−d
dt "S
⃗
B.d⃗ S=−πr2dB(t)
dt
en choisissant comme contour Γle cercle d’axe Oz et de rayon r, orienté dans le sens
trigonométrique autour de Oz.
−→
E=µ0nI0r
2τe−
t
τ−→
uθ
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