Corrigé (Centrale-Mines)
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MP1&2 2016 - 2017 Correction - DS n°5bis (Centrale - Mines) : Électromagnétisme Correction - DS n°5bis (Centrale - Mines) Samedi 7 janvier 2017 - Durée : 2 heures 1 Relations fondamentales de la magnétohydrodynamique (d’après Centrale-PC-2016) 1. (a) Équations de Maxwell : → − div B = 0 ρe → − div E = ϵ0 équation de Maxwell-Gauss (MG) équation de Maxwell-Thomson (MT) ou Maxwell-flux (Mϕ) → − ∂B − − →→ rot E = − équation de Maxwell-Faraday (MF) ∂t → − ∂E → − − − →→ rot B = µ0 j + µ0 ϵ0 équation de Maxwell-Ampère (MA) ∂t (b) D’après les ordres de grandeur : V∼ L T Or d’après Maxwell Faraday en ordre de grandeur, E ∼ B E L ∼ ∼V B T soit L T Attention, on n’a pas ici E/B = c ! (c) Dans Maxwell-Ampère, si les courants de déplacements sont négligeables par rap→ − − − →→ port aux autres termes, alors rot B ≈ µ0 j (sinon il n’y a plus d’influence des → − → − → − − − →→ courants). Dans ce cas || j || ≪ || j d || ⇔ ||µ0 j d || ≪ ||rot B ||, soit en ordre de grandeur µ0 ϵ0 2. E T ≪ B L VE soit c2 B ≪1 en utilisant µ0 ϵ0 = 1/c2 . En utilisant la relation de la question précédente, on obtient donc : V2 ≪1 c2 ce qui correspond bien à une hypothèse d’écoulement non relativiste. (a) Par invariance de la force et de la charge par changement de référentiel, on a alors −v dans le la même valeur de la force de Lorentz pour toute charge q de vitesse → référentiel R, qu’on l’exprime dans les deux référentiels : (→ (→ − − → −) − − ′) −v ′ ∧ → q E +→ v ∧ B = q E′ +→ B −v la vitesse de la charge dans la référentiel R. Sa vitesse → −v ′ dans le On note → −v (P, t) notée → −v (vitesse d’entraînement) référentiel R′ se déplaçant à la vitesse → P dans le référentiel R est telle que → −v = → −v ′ + → −v P − −v ′ = → En particulier pour → 0 (particule au repos dans son propre référentiel), on en déduit → −′ → − − → − E = E +→ vP ∧ B 1 MP1&2 2016 - 2017 Correction - DS n°5bis (Centrale - Mines) : Électromagnétisme (b) Par définition d’un courant volumique de charges dans un milieu où des porteurs −v dans le référentiel « i »en densité volumique de charge ρi se déplacent à la vitesse → i R ∑ → − −v j = ρi→ i i R′ , Dans le référentiel la densité volumique de charge est identique (charge invariante, et volume invariant en mécanique classique) donc le courant volumique associé est ∑ ( ) ∑ → ∑ → → − ∑ → − → − → − − ′ j = ρi v i = ρi v i − v P = ρi v i − ρi −v P i Or par hypothèse Donc i ∑ i ρi i i = 0 car le milieu est localement neutre (fluide non chargé). → − → − j = j′ (c) On en déduit immédiatement la relation attendue d’après la loi d’Ohm locale dans −v = → −v : le référentiel R′ et les résultats précédents, avec → P (→ → − → − → − − − → −) j = j ′ = σE′ = σ E +→ v ∧B 3. (a) L’équation de conservation de la charge s’écrit : ∂ρe ∂t → − + div j = 0 → − En injectant directement l’expression de j de la question précédente et en utilisant Maxwell Gauss ∂ρe σ − −v ∧ → + ρe = −σdiv(→ B) ∂t ϵ0 On notera que le terme de droite apparaît ici comme un terme de disparition de charge. − −v = → (b) Au repos → 0 l’équation se ramène au cas classique, dont la solution est ( ) t ρe (t) = ρe (0) exp − τ Le temps caractéristique d’évolution est τ = le cuivre ϵ0 σ par identification, l’AN donne pour τ = 1, 48 × 10−19 s Donc au bout d’un temps très court, le milieu est localement de charge nulle, tant que les champs varient sur des échelles de temps plus longues, à de plus basses 1 fréquences que fc = ∼ 1019 Hz, ce qui est une très haute fréquence par rapport aux τ fréquences habituellement accessibles en TP (ARQS) ou visiblement en jeu dans la magnétohydrodynamique lorsque l’on sort de l’hypothèse du repos. (c) Si le conducteur est en mouvement et qu’on est en régime stationnaire − −v ∧ → ρe = −ϵ0 div(→ B) 2 MP1&2 2016 - 2017 Correction - DS n°5bis (Centrale - Mines) : Électromagnétisme − −v ∧ → ρe est non nul car div(→ B ) est non nul à cause de l’effet d’induction. La nécessité d’une charge volumique non nulle peut s’interpréter par le fait que dans le référentiel au repos, où il n’y a pas de champ électromoteur, des charges sont en mouvement dans le fluide, elles-même à l’origine des courants de charge et donc du champ magnétique. Or ces charges ont été mises en mouvement uniquement par l’existence d’une force électrique, qui ne peut elle-même qu’avoir été produite → − que par un champ électrique E conséquence d’une distribution de charge locale non nulle : ρe . (d) En ordre de grandeur, on obtient ρe ∼ ϵ0 VB L ∼ ϵ0 ωB, soit (attention aux unités !) : ρe ∼ 5 × 10−12 C.m−3 L’ordre de grandeur du nombre de charges libres dans un métal est de 1030 m−3 , donc la densité volumique de charge libres est de l’ordre de ρl = NA ρNa e MNa ∼ 1011 C.m−3 On a donc ρe ≪ ρl , les charges mises en jeu par le phénomène magnétohydrodynamique sont une très faible portion des charges présentes dans le sodium, mais elles restent à l’origine de l’effet dynamo ! 4. On procède comme pour une équation d’onde. D’après Maxwell Ampère en négligeant courant de déplacement et en utilisant la loi d’Ohm locale, et Maxwell Flux : (→ − − − → −) → − − →→ rot B = µ0 σ E + → v ∧B et div B = 0 −−−→ − → − → − − →− →→ En utilisant rot(rot( B )) = grad(div B ) − ∆ B , alors [− − )] → − − − →→ → (− → v ∧B −∆ B = µ0 σ rot E + rot → D’après Maxwell Faraday alors : → − ) (→ ∂ B − → − → − → − −∆ B = µ0 σ − + rot v ∧ B ∂t C’est-à-dire l’équation demandée : → − ∂B ∂t −) → − − → (− → = rot → v ∧ B + λ∆ B 1 . µ0 σ • Le terme laplacien s’identifie à un terme diffusif car il est relié à une dérivée temporelle première du même objet (le champ magnétique), avec λ un « coefficient de diffusion magnétique »en m2 .s−1 . • L’autre terme est celui d’origine inductive, car il est lié aux mouvements du fluide −v . conducteur par le champ de vitesses → avec par identification λ = 3 MP1&2 2016 - 2017 Correction - DS n°5bis (Centrale - Mines) : Électromagnétisme 1→ − B pour avoir une équation homogène à une puissance µ0 volumique puis en intégrant sur un volume V quelconque pour faire apparaître une équation homogène à une puissance [$ ] $ $ d → −) → − → − → − 1 2 1 λ − → (→ − B dτ = rot v ∧ B · B dτ + ∆ B · B dτ dt µ0 µ0 V µ0 V V 5. En multipliant scalairement par # 1 2 B dτ µ0 • Le premier terme du membre de droite est une puissance reçue PI d’origine inductive • On travaille sur le second terme du membre de droite, où on cherche à faire réapparaître → − la source j et une divergence liée à l’induction (→ (→ − − − → − → − − → − − − − )) → − → − →→ →→ − → → ∆ B · B = − rot(µ0 j ) · B = −µ0 B · rot j = −µ0 j · rot B + div j ∧ B ( (→ − → − )) = − µ0 µ0 j2 + div j ∧ B • Le membre de gauche est la dérivée temporelle de l’énergie magnétique Um = V – Le second terme est une divergence, donc intégré sur le volume donne un flux sur la surface extérieure d’après le théorème d’Ostrogradsky $ (→ − → → − → −) − j ∧ B · dS div j ∧ B dτ = Σ V intégrale qui est nulle si on prend le volume assez grand de sorte que les bords du volume voient un champ magnétique nul à l’infini : l’intégrant est alors nul en tout point de la surface. – Le premier des deux termes donne les pertes par effet Joule, une fois multiplié par λ/µ0 = 1/(µ20 σ) et intégré ∫ 2 j dτ = P J V σ Ce terme d’effet Joule intervient dans l’équation globale avec un signe négatif : c’est une perte de l’énergie magnétique dans le milieu conducteur sous forme thermique du fait du couplage inductif. En effet, l’équation énergétique s’écrit au final : dUm = −P J + PI dt faisant apparaître deux origines au stockage global de l’énergie magnétique : une puissance reçue d’origine inductive et une puissance perdue par effet Joule. −) → − − → (− → 6. • On a une équation de diffusion si le terme inductif rot → v ∧ B = 0 est négligeable devant le terme diffusif. En particulier s’il est nul, dans le cas par exemple d’un fluide − −v = → est complètement au repos → 0. → − • Dans ce cas la diffusion pure fait disparaître le champ B (pas de champ aux limites à l’infini) sur une échelle de temps τ qui dépend de l’échelle spatiale R telle que R2 ∼λ τ • En prenant comme échelle spatiale la taille typique de la coquille fluide du noyau (externe), R = 2 × 103 km, on obtient τ ∼ R2 µ0 σ ∼ 7 × 104 ans Ce résultat n’a de sens qu’en années pour pouvoir être comparable. 4 MP1&2 2016 - 2017 Correction - DS n°5bis (Centrale - Mines) : Électromagnétisme • C’est un temps long à l’échelle humaine mais court à l’échelle géologique (âge de la Terre : 5 milliards d’années). Cela confirme donc que le champ magnétique terrestre est entretenu par des phénomènes inductifs. Un champ fossile éventuel aurait disparu depuis longtemps. 2 Solénoïde en régime lentement variable 1. (a) τ = L = 10−5 s = 10 ms. R (b) → − ∂ E ε0 → − ∂t || j D || ≪ 1 implique → − = → − γ|| E || || j || → − ε0 E → − ≪1 γτ|| E || et donc ε0 γτ ≪1⇒ τ≫ ε0 γ Pour du cuivre, dont la conductivité électrique vaut γ = 6 × 107 Ω−1 .m−1 , on obtient : τ≫ 1 6 × 107 × 36π × 109 ≃ 10−19 s Cette condition est vérifiée très largement dans le cas du solénoïde, donc on pourra effectivement négliger le courant de déplacement dans l’équation de MaxwellAmpère. ⃗ se calcule comme (c) Puisque le courant de déplacement est négligeable, le champ B en statique, avec i(t) : t − → ⃗ = µ0 ni(t)⃗ B uz = µ0 nI0 e τ −u z à l’intérieur du solénoïde, ⃗0 à l’extérieur. 2. Par invariance par rotation d’angle θ et translation selon Oz car le solénoïde peut être ⃗ ⃗ considéré comme infini, E(r). Dans la région sans charges, la seule source de champ E ⃗ −→ ⃗ ∂B ⃗ via l’équation − ⃗ est est le champ B, RotE = − . Par analogie avec la magnétostatique, E ∂t ⃗ ∂B ⃗r , u ⃗z ) donc orthogonal à un plan de symétrie de . En un point M donné, le plan (M, u ∂t ⃗ ∂B ⃗ = E(r, t)⃗ , d’où E uθ . est plan de symétrie de ∂t 3. La loi de Faraday donne : (" ) I dB(t) d ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ B.dS = −πr2 E.dl = E(r, t)2πr = − dt dt S Γ en choisissant comme contour Γ le cercle d’axe Oz et de rayon r, orienté dans le sens trigonométrique autour de Oz. t µ0 nI0 r − → → − E = e τ −u θ 2τ 5 MP1&2 2016 - 2017 4. Correction - DS n°5bis (Centrale - Mines) : Électromagnétisme ( ) B2 (t) ϵ0 r 2 2 (a) ue = B (t), et um = . 2 2τ 2µ0 ( ) ue vaut donc : Le rapport um a ( ) ue r 2 = um 2cτ 10−2 = 5 m.s−2 ≪ c = 3 × 108 m.s−1 , donc dans ce cadre (qui 2τ 2 × 10−3 correspond ici à celui de l’ARQS), ce rapport est négligeable, et avec |r| ≤ a. Or ≤ uem ≃ um = B2 (t) 2µ0 → − B → − r B2 (t) ⃗r . ⃗ = E∧ (b) π = u µ0 τ 2µ0 ⃗ = 0. (c) L’espace à l’intérieur du solénoïde est vide, donc Pv = ⃗j.E ( ) B2 (t) ( ) B2 (t) − 2 B2 (t) ∂uem ⃗ = (d) On a div Π div r⃗ ur = . De plus, = × . 2µ0 τ µ0 τ ∂t τ 2µ0 On vérifie donc bien l’équation de Poynting à l’intérieur du solénoïde (r < a) : ∂uem ⃗ div⃗ π+ = −⃗j.E. ∂t B2 (t) 2 ϵ0 πa4 h 2 πa h. 5. (a) Pour une portion de solénoïde de longueur h, Ue = B (t) et U = m 2µ0 16τ2 ( ) 1 a 2 Ue = ≪ 1 à nouveau. D’où Um 8 cτ 1 (b) Par identification avec l’expression Um = Li(t)2 , on obtient : L = µ0 n2 πa2 h . On 2 retrouve bien la même expression qu’en calculant directement L à partir de l’autoinduction : ( ) N Φtot = Li(t) = NΦ1 spire = N B(t)πa2 = Nµ0 πa2 i(t) = µ0 n2 πa2 hi(t) h (c) Φ(t) = ! Slat (d) On a bien ⃗ = πa2 h ⃗ (r = a, t).dS π B2 (t) τµ0 dUem (t) + Φ(t) = 0. L’énergie est donc bien conservée. dt 6
