coursMT25_ch04

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Endomorphismes d'un espace euclidien
Dans tout ce chapitre, E désigne un espace euclidien de dimension n (où n ∈ N∗ ).
I
Isométries vectorielles
I.1 Diérentes caractérisations
Proposition 1
Soit u une application linéaire de E dans E . Les propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) u conserve la norme, c.à.d. ∀ x ∈ E,
ku(x)k = kxk
(ii) u conserve le produit scalaire, c.à.d.
∀ (x, y) ∈ E 2 ,
Preuve :
hu(x) | u(y)i =
(i)=⇒(ii) De l'identité 4 hv | wi = kv + wk2 − kv − wk2 , on tire que :
4 hu(x) | u(y)i = ku(x) + u(y)k2 − ku(x) − u(y)k2
car u est linéaire
car u conserve la norme
= ku(x + y)k2 − ku(x − y)k2
2
= kx + yk − kx − yk
2
= 4 hx | yi
(ii) =⇒ (i) Si u conserve le produit scalaire, alors u conserve la norme : prendre y = x.
Dénition 1
Un endomorphisme u de E , est dit orthogonal ssi u conserve la norme, c'est-à-dire
∀x ∈ E,
||u(x)|| =
On dit aussi que u est une isométrie vectorielle.
Proposition 2
Une isométrie vectorielle est bijective.
Un endomorphisme orthogonal est un automorphisme.
Preuve : soit u une isométrie vectorielle. Il sut de montrer que u est injective car E est de dimension
nie. Il sut de prouver que le noyau de u est réduit à {0E }.
x ∈ Ker(u) ⇐⇒ u(x) = 0E ⇐⇒ ku(x)k = 0 ⇐⇒ kxk = 0 (car u conserve la norme) ⇐⇒ x = 0E
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Théorème 3 (Caractérisations des automorphismes orthogonaux)
Soit u un endomorphisme d'un espace euclidien E .
Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) u est orthogonal
(ii) u conserve le produit scalaire c'est-à-dire
(iii) l'image par u de toute base orthonormale de E est une base orthonormale de E
(iv) l'image par u d'une base orthonormale de E est une base orthonormale de E .
Preuve :
(ii) =⇒ (iii)
Si B = (e1 , e2 , . . . , en ) est une base orthonormale de E , alors, puisque
u conserve le produit scalaire,
hu(ei ) | u(ej )i = hei | ej i = δi, j . La famille u(e1 ), u(e2 ), . . . , u(en ) est une famille orthonormale de E ,
maximale, donc une base orthonormale de E .
(iv)=⇒(i) Soit B = (e1 , e2 , . . . , en ) une base orthonormale de E , dont l'image par u est une base orthonormale nde E .
Si x =
X
xj ej est un vecteur de E , alors
j=1
Proposition 4
Si u est une isométrie vectorielle d'un espace euclidien E et si F est un sous-espace
vectoriel de E , stable par u,
alors
u(F ) =
et F ⊥ est aussi un sous-espace vectoriel stable par u.
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l'endomorphisme u|F induit par u sur le sous-espace vectoriel stable F , conserve la norme ; c'est
donc un automorphisme orthogonal de F , en particulier une bijection et u(F ) = F .
Soit x ∈ F ⊥ . Pour tout y ∈ F , il existe y 0 ∈ F tel que y = u(y 0 ). D'où
Preuve :
u(x) | u(y 0 )
= x | y0
hu(x) | yi =
car u conserve le produit scalaire
car x ∈ F ⊥ et y 0 ∈ F
= 0
ce qui montre que u(x) ∈ F ⊥ , c.à.d. la stabilité de F ⊥ .
u induit donc sur F ⊥ un automorphisme orthogonal et u(F ⊥ ) = F ⊥ .
I.2 Symétrie orthogonale par rapport à un sous-espace
Dénition 2
Soit F un sous-espace vectoriel d'un espace euclidien E .
On appelle symétrie orthogonale par rapport à F l'application sF : E −→ E qui, à
tout vecteur x = x1 + x2 avec x1 ∈ F et x2 ∈ F ⊥ , associe le vecteur
sF (x) =
Lorque dim(F ) = dim(E) − 1, la symétrie sF s'appelle réexion par rapport à F .
Proposition 5
Soit sF la symétrie orthogonale par rapport au sous-espace vectoriel F de E . Alors
sF = 2 pF − idE
sF ∈ L (E)
et
où pF désigne la
sF ◦ sF =
sF est une isométrie vectorielle
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Preuve :
I.3 L'ensemble O(E) des isométries vectorielles de E
L'ensemble des isométries vectorielles de E est noté O(E).
u ∈ O(E) ⇐⇒ [ u ∈ L (E)
Proposition 6 (Groupe orthogonal de E )
O(E) est inclus dans GL(E).

 u◦v
∀ (u, v) ∈ O(E) × O(E),
 −1
u
Preuve :
• O(E) ⊂ GL(E) et idE ∈ O(E).
et
∀ x ∈ E, ku(x)k = kxk ]
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II
Matrices orthogonales
II.1 Diérentes caractérisations
Dénition 3 (Matrice orthogonale)
Une matrice A carrée d'ordre n à coecients réels est dite orthogonale ssi
t
AA =
L'ensemble des matrices orthogonales, carrées d'ordre n, est noté On (R).
Exemples : La matrice identité In est orthogonale.
Une matrice diagonale est orthogonale ssi
Théorème 7 (Caractérisation des matrices orthogonales)
Soit E un espace euclidien de dimension n et A ∈ Mn (R).
Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i)
(ii)
A ∈ On (R)
t
A A = In
(iii)
A t A = In
(iv)
A ∈ GLn (R) et A−1 =
(v) A est la matrice relative à une base orthonormale d'une isométrie vectorielle de E
(vi) les colonnes de A forment une base orthonormale de Mn,1 (R) pour le produit scalaire
canonique
(vii) A est la matrice de passage d'une base orthonormale de E à une base orthonormale
de E .
montrons d'abord que (ii) ⇐⇒ (vi).
On note ai,j les coecients de A et bi,j ceux de t A.
Le coecient d'indice i, j de t A A est :
Preuve :
pi,j =
n
X
k=1
bi,k ak,j =
Notons C1 , C2 , . . . , Cn les colonnes de A.
n
X
ak,i ak,j = hCi | Cj i
k=1
Les colonnes de A forment donc une base orthonormale de Mn,1 (R)
t
ssi pour tout couple (i, j), on a : pi,j = δi,j ssi A A = In .
Montrons que (v) ⇐⇒ (vi).
Soit A ∈ Mn (R), B = (e1 , e2 , . . . , en ) une base orthonormale de E et u ∈ L (E) tel que A = MatB (u).
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u est une isométrie vectorielle ssi l'image par u de la base B est une base orthonormale de E
Or les colonnes de A sont
II.2 Goupe orthogonal d'ordre n
Proposition 8
On (R) est inclus dans
∀ (A, B) ∈ On (R) × On (R),

 AB ∈

Si A ∈ On (R), alors
Preuve :
A−1 ∈
det(A) =
c'est la traduction matricielle du théorème correspondant des propriétés du groupe orthogonal
O(E), où E est un espace euclidien de dimension n rapporté à une base orthonormale. Il reste à montrer
le troisième point.
Conséquence : si u est un endomorphisme orthogonal de E , alors
Dénition 4
SOn (R) = {A ∈ On (R) | det(A) = 1} est appelé
det(u) =
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III
Isométries vectorielles du plan euclidien
a b
Quelles sont les matrices A =
telles que A ∈ O2 (R) ?
c d
Proposition 9
A ∈ O2 (R) si et seulement si il existe un réel θ ∈ R tel que
cos θ − sin θ
cos θ sin θ
A=
ou A =
sin θ cos θ
sin θ − cos θ
A ∈ SO2 (R) si et seulement si il existe θ ∈ R tel que
cos θ − sin θ
A=
sin θ cos θ
Les matrices de SO2 (R) et de O2 (R) s'interprètent facilement en terme de transformations du
plan :
Proposition 10
cos θ − sin θ
Soit A ∈ SO2 (R). Alors A =
est la matrice de la rotation vectosin θ cos θ
rielle d'angle θ.
cos θ sin θ
Soit A ∈ O2 (R) \ SO2 (R). Alors A =
est la matrice de la
sin θ − cos θ
réexion par rapport à la droite vectorielle dirigée par le vecteur
θ
θ
d = cos
e1 + sin
e2
2
2
où (e1 , e2 ) est la base orthonormée dans laquelle A représente l'isométrie vectorielle.
Nom
Matrice
Rotation d'angle θ
cos θ − sin θ
sin θ cos θ cos θ sin θ
sin θ − cos θ
Réexion par rapport à D
Déterminant
Ensemble des
vecteurs invariants
{0E } ou E pour idE
droite vectorielle D
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IV
Isométries vectorielles de
R3
On se place dans E = R3 et on note B0 sa base canonique. On oriente R3 à l'aide de B0 en
déclarant directes les bases orthonormales B de R3 telles que la matrice de passage de B0 vers
B soit de déterminant 1.
IV.1 Classication des isométries vectorielles de R3
Proposition 11
Soit u ∈ O(R3 ) et F = Ker(u − idR3 ) le sous-espace vectoriel de R3 formé des vecteurs
invariants par u.
Si dim(F ) = 3 alors u = idR3 .
Si dim(F ) = 2 alors u est la
Si dim(F ) = 1 alors la restriction u|F est une
Preuve :
• dans le cas où dim(F ) = 2. F est un plan et D = F ⊥ est une droite vectorielle.


1 −2 −2
1
Exemple : vérier que la matrice A =  −2 1 −2  est orthogonale.
3
−2 −2 1
Calculer det(A). Donner les caractéristiques géométriques de l'isométrie f ∈ O(R3 ) telle que
MatB0 (f ) = A.
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IV.2 Étude de SO(R3)
Pour u ∈ SO(E), on pose F = Ker(u − idE ). Alors F est stable par u.
Théorème 12
Soit u ∈ SO(R3 ) une isométrie vectorielle de R3 de déterminant 1.
Alors il existe une base orthonormale directe B = (ε1 , ε2 , ε3 ) et un réel θ tels que


1
0
0
MatB (u) = 0 cos θ − sin θ
0 sin θ cos θ
Dénition 5
−
On dit dans ce cas que u est la rotation d'axe dirigé et orienté par →
ε1 et d'angle θ.
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Remarque
autour de . . .
: pour θ = 0, u est l'identité de R3 et pour θ = π on dit que u est un retournement
Méthode pratique pour déterminer les éléments caractéristiques d'une rotation u de
connaissant sa matrice A dans une base orthonormale directe.
R3
→
−
La droite supportant l'axe orienté D de u est l'ensemble des vecteurs invariants par u, c'està-dire le sous-espace propre de u associé à la valeur propre 1.
L'angle θ de u vérie :
Tr(A) =
−
−
? sin θ est du signe de detB0 (→
n , x, u(x) ) où →
n est un vecteur dirigeant et orientant
→
−
−
3
l'axe D et x est un vecteur quelconque de R , non colinéaire à →
n.
?
En eet,
? Le sens de rotation est déterminé par l'orientation du plan P = D⊥ . Cette orientation
1 →
→
−
→
−
−
→
−
→
−
n , ε2 , ε3 soit une
dénie par deux vecteurs unitaires ε2 , ε3 de P , est telle que →
k−
nk
base orthonormale directe de R3 .
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Exemple : soit u ∈ L (R3 ) dont la matrice dans la base canonique B0 est


0 0 1
A = 1 0 0
0 1 0
Déterminer les éléments caractéristiques de la transformation u.
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V
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Endomorphismes symétriques
V.1 Dénition et caractérisation
Dénition 6
Soit f un endomorphisme de E . On dit que f est symétrique ssi
Exemple : si F est un sous-espace vectoriel de E , alors la projection orthogonale p sur F est
symétrique.
Proposition 13 (caractérisation matricielle)
Soit f un endomorphisme de E et B une base orthonormale de E .
Alors f est symétrique ssi MatB (f ) est
V.2 Réduction des endomorphismes symétriques
Proposition 14
Soit A ∈ Mn (R) une matrice symétrique.
Alors son polynôme caractéristique PA (X) est scindé sur R.
soit A ∈ Mn (R) une matrice symétrique. On sait que son polynôme caractéristique PA (X) est
scindé sur C. Il sut de montrer que les racines complexes de ce polynôme sont en fait réelles.
Preuve :
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Proposition 15
Soit f un endomorphisme symétrique de E . Alors
(i) le polynôme caractéristique de f est scindé sur R,
(ii) les sous-espaces propres de f sont deux à deux orthogonaux.
Preuve :
on suppose que f admet au moins deux valeurs propres distinctes λ et µ.
Théorème 16 (théorème spectral)
Soit f un endomorphisme symétrique de E.
Alors f est
et il existe une base orthonormée de E constituée de vecteurs propres de f .
Soit A ∈ Mn (R) une matrice symétrique réelle. Alors il existe une matrice
orthogonale P ∈ On (R) et une matrice diagonale D ∈ Mn (R) telles que
A = P D P −1 =