Feuille d`exercices 18 - PCSI

PCSI
Feuille d'exercices 18
2011 - 2012
Exercice 1 : Donner une base du sous-espace vectoriel F de R4 déni par de dimension nie tels que g ◦ f = IdE .
F = {(x; y; z; t) ∈ R4 = x + y = z + t = 0} Quelles sont les composantes
1) Montrer que f et g sont des isomorphismes de E .
du vecteur a = (2; −2; −1; 1) dans cette base ?
2) Montrer que le résultat peut-être faux si on ne suppose plus E de
dimension nie.
Exercice 2 : Soient a, b, c ∈ R. Montrer que x 7→ sin(x + a),
x 7→ sin(x + b), et x 7→ sin(x + c) forment une famille liée dans RR .
Solution:
Exercice 3 : Dans R , déterminer une base du sev engendré par :
4
1) a = (1; 2; 2; 1), b = (5; 6; 6; 5), c = (−1; −3; 4; 0), d = (0; 4; −3; −1)
2) a = (2; −5; 3; 10), b = (1; −1; 1; 3), c = (3; 3; 1; 1)
3) a = (1; 2; 5; −1), b = (3; 6; 5; −6), c = (2; 4; 0; −2)
Exercice 4 : Soient dans R4 , F = V ect(u; v; w) et G = V ect(a; b) avec
u = (1; −1; 2; 3) ; v = (1; 1; 2; 0) ; w = (3; −1; 6; −6) a = (0; 2; 0; ..3) ;
b = (1; 0; 1; 0) Déterminer la dimension de F , de G, de F ∩ G, de F + G.
Exercice 5 : Dans R4 , on considère le sev F engendré par a = (1, 2, 3, 4),
b = (2, 2, 2, −2), c = (0, 2, 4, 4) et G le sev engendré par d = (1, 0, −1, 2)
et e = (2, 3, 0, 1).
Déterminer les dimensions de F, G, F + G et F ∩ G.
Exercice 6 : Soit E un espace vectoriel et u ∈ L(E). Montrer que u est
une homothétie vectorielle si et seulement si :
∀x ∈ E, ∃λx ∈ K, u(x) = λx .x
Exercice 7 : Soient f et g deux endomorphisme d'un espace vectoriel E
1) g ◦ f = IdE donc g ◦ f est surjective. Soit y ∈ E , il existe x ∈ E
tel que g ◦ f (x) = y , ainsi g(f (x)) = y et g est surjective. Comme
E est de dimension nie, g est bijective.
On obtient alors f = f ◦ g ◦ g −1 et on conclut que f est bijective
en tant que composée d'applications bijectives.
f et g sont linéaires bijectives, ce sont donc bien des
isomorphismes.
2) Prenons E = R[X] et considèrons les applications
f: E
→ E
g: E
→ E
et
.
P (X) 7→ XP (X)
P (X) 7→ P 0 (X)
f et g sont linéaires, g ◦ f = IdE
Exercice 8 : Soit E un espace vectoriel non réduit à {0}. Montrer que
dim(E) = 1 si et seulement si les seuls sevs de E sont E et {0}.
Solution:
• Soit F un sous-espace vectoriel de E : dim(F ) ≤ dim(E). Donc si
dim(E) = 1, on a dim(F ) = 1 ou dim(F ) = 0 c'est-à-dire F = E
ou F = {0}.
• Par contrposée :
Supposons que dim(E) > 1 : E admet une base avec au moins
deux éléments e1 et e2 . vect(e1 ) et vect(e2 ) sont deux sous-espaces
vectoriels de E distincts de E et {0}.
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2011 - 2012
Exercice 9 : Soit E, F et G trois ev de dimension nie. On donne f et g Exercice 11 : Soit f un endomorphisme d'un R ev de dimension nie.
deux applications linéaires respectivement de E dans F et de F dans G. Montrer que E = Im(f ) + Ker(f ) ⇔ Im(f ) = Im(f 2 )
Montrer que dim(Ker(g ◦ f )) ≤ dim(Ker(f )) + dim(Ker(g)). On pourra
Exercice 12 : Soit E un K ev de dimension n et u, v ∈ L(E). Montrer
considérer la restriction de f à Ker(g ◦ f )
que si v ◦ u = 0 et que u + v est surjective alors rang(u) + rang(v) = n.
Solution:
g ◦ f : E → G est linéaire donc Ker(g ◦ f ) est un sous espace
vectoriel de E . Considérons la restriction f˜ de f à Ker(g ◦ f ),
d'après le théorème du rang appliqué à f˜ :
dim(Ker(g ◦ f )) = dim(Ker(f˜)) + rg(f˜).
On montre facilement que Kerf˜ ⊂ Kerf et Imf˜ ⊂ Kerg d'où
l'inégalité.
Exercice 10 : Soit E un espace vectoriel de dimension nie et u un
endomorphisme de E . Montrer que 
:
2

 u =0
∃p ∈ N, dim(E) = 2p
Im(u) = Ker(u) si et seulement si

 rang(u) = p
Solution:
• Supposons que Imu = Keru.
Soit x ∈ E : u(x) ∈ Imu = Keru donc u(u(x)) = 0 c'est-à-dire
u2 = 0. Comme E est de dimension nie, rg(u) est ni : il existe
un entier p ∈ N tel que rg(u) = p. Enn d'après le théorème du
rang, dim(E) = dim(Keru) + rg(u) = 2rg(u) car Imu = Keru
d'où dim(E) = 2p.
• Si u2 = 0 alors Imu ⊂ Keru.
De plus, comme dim(E) = 2p avec rg(u) = p, on en déduit d'après
le théorème du rang que dim(Keru) = p d'où Imu = Keru.
Solution:
v ◦ u = 0 donc Imu ⊂ Kerv donc rg(u) ≤ dim(Kerv). D'après le
théorème du rang n = rg(v) + dim(Kerv) d'où n ≥ rg(v) + rg(u).
u + v est surjective donc rg(u + v) = n. On montre facilement que
Im(u + v) ⊂ Im(u) + Im(v) donc
rg(u + v) ≤ rg(u) + rg(v) − dim(Im(u) ∩ Im(v)) ≤ rg(u) + rg(v)
d'où l'égalité.
Exercice 13 : Montrer qu'une forme linéaire d'un espace vectoriel E de
dimension nie est soit nulle soit surjective.
Solution:
Soit φ une forme linéaire non nulle : Kerφ est un hyperplan de E
donc dim(Kerφ) = n − 1. D'après le théorème du rang, rg(φ) = 1 et
comme Imφ ⊂ K, on en déduit que Imφ = K et φ est surjective.
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