espace dual - Epsilon 2000

Espace dual
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ESPACE DUAL
1) Notion d'espace dual
définition (espace dual)
Soit E un K espace vectoriel. On appelle forme linéaire sur E toute application linéaire de E dans K,
considéré comme espace vectoriel dur lui-même. L'espace vectoriel L(E,K) est appelé espace dual
de E, noté *
E
.
théorème et définition (orthogonal d'un élément, d'une partie)
Soit E un K espace vectoriel. Soit Ex∈. L'ensemble
{
}
0)(/ *** =∈=
⊥xxExx est un sous espace
vectoriel de *
E
, appelé sous espace orthogonal de x. Plus généralement, pour toute partie A non
vide de *
E
, l'ensemble
{
}
0)(,/ *** =∈∀∈=
⊥axAaExA est un sous espace vectoriel de *
E
, appelé
sous espace orthogonal de A.
démonstration
Soit A une partie non vide de E. L'orthogonal de A (qui est un sous ensemble de *
E
) est non vide
car la forme linéaire identiquement nulle appartient à cet ensemble.
Soient KEyx ∈βα∈ ,,, *** .
Soit Aa∈ )()())(( **** ayaxayx β+α=β+α (définition des opérations sur les applications)
0= (car 0)(
*=ax et 0)( *=ay )
Donc ⊥ ∈β+α Ayx **
proposition
Soit ),( FELu∈. Alors ⊥ =))(Im()( uuKer t
démonstration
• Soit )(
*uKery t
∈. Alors 0)( *=yu
t
0)(, *=∈∀ xuyEx D
Donc 0)(),Im( *=∈∀ yyuy donc ⊥
∈))(Im(
*uy et donc ⊥
⊂))(Im()( uuKer t
• Soit ⊥
∈))(Im(
*uy
Soit Ex∈. )())(( ** xuyxyu
tD=
0= (car )Im()( uxu
∈
et ⊥ ∈))(Im(
*uy )
Donc )(
*uKery t
∈ donc )())(Im( uKeru t ⊂
⊥

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2) Transposée d'une application linéaire
théorème et définition (application transposée)
Soient E et f deux K espaces vectoriels. Soit u une application linéaire de E dans F. On définit :
uyy
EFu
t
D6 **
**
:→
u
t est linéaire et est appelée application transposée de u.
démonstration
Soit ** Fy ∈. ),(
*KFLy ∈. Comme ),( FELu∈, ),( *KELuy ∈D, c'est-à-dire ** )( Eyu t∈.
Soient KFyy ∈βα∈ ,,, *
*
2
*
1.
uyyyyu
tD)()( *
2
*
1
*
2
*
1β+α=β+α
uyuy DD )()( *
2
*
1β+α= (propriétés des applications)
)()( *
2
*
1uyuy DD β+α= (idem)
)()( *
2
*
1yuyu tt β+α=
Donc ),( ** EFLu
t∈.
théorème et définition (transposition)
L'application uu t
6 est une application linéaire de ),( FEL dans ),( ** EFL . On l'appelle
transposition.
démonstration
Soient ),(, FELvu ∈. Soit ** Fy ∈. Soit K
∈
α
)())(( ** vuyyvu
t+=+ D
vyuy DD ** += (définition des opérations dur les applications)
)()( ** yvyu tt +=
))(( *
yvu tt += (définition des opérations dur les applications)
)())(( ** uyyu
tα=α D
uy D
*
α= (définition des opérations dur les applications)
)(*
yu
t
α=
))(( *
yu
t
α= (définition des opérations dur les applications)
propriétés
E, F et G désignent des k espaces vectoriels.
(i) Pour tous ),(),,( GFLvFELu ∈∈ , vuuv ttt DD =)(
(ii) *
)( E
E
tidid = (dans le cas où E=F)
(iii) Si ),( FELu∈ est bijective, alors u
t est bijective et 11 )()( −− =uu tt
démonstration
(i) Soit ** Gz ∈. )())(( ** uvzzuv
tDDD =

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uvz DD )( * = (propriété de la loi de composition des applications)
uzv
tD)( *
= (définition de la transposée de v)
))(( *
zvu tt = (définition de la transposée de u car ** )( Fzv
t∈)
))(( *
zvu tt D= (propriété de la loi de composition des applications)
(ii) Soit ** Ex ∈.
EE
tidxxid D
**))(( =
*
x=
)( *
*xidE
=
(iii) On suppose u bijective.
E
iduu =
−1
D donc E
tt iduu =
−)( 1
D. Or, uuuu ttt DD )()( 11 −− = et * )( E
E
tidid = donc *
)( 1E
tt iduu =
−D.
On montre de même que *
)( 1E
tt iduu =
−
D. Par conséquent, u
t est bijective et 11 )()( −− =uu tt .
3) Matrice d'une application transposée (en dimension finie)
Soit E un K espace vectoriel de dimension finie n, ),...,( 1n
eee
=
une base de E. Pour n Nk
∈
, on
définit *
k
e comme étant l'application linéaire de E dans K vérifiant : jijkn eeNj δ=∈∀ )(, * (on
rappelle que ⎩
⎨
⎧
≠
=
=δ jisi
jisi
ji 0
1)
Rappelons également qu'une application linéaire est entièrement déterminée par les images des
vecteurs de base.
),...,( **
1n
ee est une famille libre de *
E
:
Soit n
nK∈αα ),...,( 1, tel que 0... **
11 =α++α nnee .
Soit n
Nj∈. On a 0)(
*
1
=α
∑
=jk
n
kkee donc 0 1
=δα
∑
=
n
kjkk donc 0
=
α
j. Par conséquent, tous les j
α
sont nuls donc ),...,( **
1n
ee est une famille libre de *
E
.
théorème
Si e est un K espace vectoriel de dimension finie, alors *
E
est de dimension finie et
)()( *EdimEdim =. De plus, si ),...,( 1n
ee est une base de E, alors ),...,( **
1n
ee est une base de *
E
.
démonstration
Supposons que E est de dimension finie n, *
Nn∈. K est un K espace vectoriel de dimension 1.
Donc ),( KEL est de dimension finie et nnKdimEdimKELdim =×
=
×
=
1)()()),(( . Donc *
E
est
de dimension n.
Soit ),...,( 1n
ee une base de E. Soit ),...,( **
1
*n
eee =. d'après ce qui précède, * e est une famille libre à
n élément s de *
E
qui est de dimension n. c'est donc une base de *
E
.

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théorème
Soient E et f deux K espaces vectoriels de dimensions finies respectives p et n ),( * Nnp ∈. Soit
),...,( 1p
eee = une base de E et ),...,( 1n
fff = une base de F. on note * e la base duale de e, * f celle
de f. Alors ),;(),;( ** feumatefumat tt =.
démonstration
Notons pj niji
mfeumatM ≤≤ ≤≤
=
=1
1
)(),;( .
Soit n
Nk ∈. uffu kk
tD
**)( =.
Soit p
Nq∈.
))(())(( ** qkqk
teufefu =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=∑
=
n
iiqik fmf 1
*
∑
=
=n
iikqi ffm
1
*)( (linéarité de )
*
k
f
∑
=
δ= n
iikqi
m
1
qk
m=
∑
=
=p
iqiik eem
1
*)(
Donc )())((, 1
** q
p
iiikqk
t
peemefuNq ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=∈∀ ∑
=
. Une application linéaire étant entièrement déterminée
par les images des vecteurs de base, on en déduit que : ∑
=
=∈∀ p
iiikk
t
nemfuNk 1
**)(,.
Notons nj piji
tmefumat ≤≤ ≤≤
=1
1
** )'(),;(. Alors ∑
=
=∈∀ p
iikik
t
nemfuNk 1
** ')(,.
D'où ikkipn mmNiNk =∈∀∈∀ ',, , d'où le résultat.
proposition
Soit E un K espace vectoriel de dimension finie, *
E
son dual. Pour tout sous espace F de E,
)()()( EdimFdimFdim =+ ⊥
démonstration
Soit n la dimension de E, p la dimension de F. Soit ),...,( 1p
ff une base de F. d'après le théorème de
la base incomplète, on peut compléter ),...,( 1p
ff en une base ),...,( 1n
fff
=
de E. montrons que
),...,( ** 1np ff + est une base de ⊥
F
:
• Soit ⊥
∈Fx*.
∑
=
=∈∃ n
iii
n
nfxxKxx 1
**
1,),...,(!.

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Soit p
Nk ∈. 0)(
*=
k
fx car Ffk∈ et ⊥ ∈Fx*. Or :
k
n
i
n
ikiikiik xxffxfx =δ== ∑∑
==11
** )()(.
Donc 0,=∈∀ kp xNk donc ∑
+=
=n
pi ii fxx 1
** .
Donc ),...,( ** 1np ff + est une famille génératrice de ⊥
F
.
• Soit pn
np K− +∈αα ),...,( 1 tel que 0
1
*=α
∑
+=
n
pi ii f
Soit nkpNk ≤≤+∈ 1,.
∑
+=
=α
n
pi kii ff
1
*0)( donc 0
1
=δα
∑
+=
n
pi kii donc 0
=
α
k. par conséquent tous les k
α sont nuls donc
),...,( ** 1np ff + est une famille libre de ⊥
F
.
• Donc )()()( FdimEdimpnFdim −=−=
⊥.
corollaire
Soient E et f des K espaces vectoriels de dimension finie. Soit u une application linéaire de E dans
F. Alors )()( urgurg t
=
démonstration
D'après le théorème du rang, ))(()()( *uKerdimFdimurg tt −= .
)()( *FdimFdim =
))((Im())(( ⊥
=udimuKerdim t (car ⊥ =))(Im()( uuKer t)
)()( urgFdim −= (proposition précédente)
On en déduit donc )()( urgurg t
=.