espace dual - Epsilon 2000

Espace dual
ESPACE DUAL
1) Notion d'espace dual
définition (espace dual)
Soit E un K espace vectoriel. On appelle forme linéaire sur E toute application linéaire de E dans K,
considéré comme espace vectoriel dur lui-même. L'espace vectoriel L(E,K) est appelé espace dual
de E, noté E * .
théorème et définition (orthogonal d'un élément, d'une partie)
Soit E un K espace vectoriel. Soit x ∈ E . L'ensemble x ⊥ = x * ∈ E * / x * ( x) = 0 est un sous espace
vectoriel de E * , appelé sous espace orthogonal de x. Plus généralement, pour toute partie A non
vide de E * , l'ensemble A ⊥ = x * ∈ E * / ∀a ∈ A, x * (a ) = 0 est un sous espace vectoriel de E * , appelé
sous espace orthogonal de A.
{
{
}
}
démonstration
Soit A une partie non vide de E. L'orthogonal de A (qui est un sous ensemble de E * ) est non vide
car la forme linéaire identiquement nulle appartient à cet ensemble.
Soient x * , y * ∈ E * , α, β ∈ K .
Soit a ∈ A
(α x * + β y * )(a) = α x * (a) + β y * (a) (définition des opérations sur les applications)
= 0 (car x * (a ) = 0 et y * (a ) = 0 )
Donc α x * + β y * ∈ A ⊥
proposition
Soit u ∈ L( E , F ) . Alors Ker ( t u ) = (Im(u )) ⊥
démonstration
• Soit y * ∈ Ker ( t u ) . Alors t u ( y * ) = 0
∀x ∈ E , y * D u ( x) = 0
Donc ∀y ∈ Im(u ), y * ( y ) = 0 donc y * ∈ (Im(u )) ⊥ et donc Ker ( t u ) ⊂ (Im(u )) ⊥
• Soit y * ∈ (Im(u )) ⊥
Soit x ∈ E .
t
u ( y * )( x) = y * D u ( x)
= 0 (car u ( x) ∈ Im(u ) et y * ∈ (Im(u )) ⊥ )
Donc y * ∈ Ker ( t u ) donc (Im(u )) ⊥ ⊂ Ker ( t u )
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2) Transposée d'une application linéaire
théorème et définition (application transposée)
Soient E et f deux K espaces vectoriels. Soit u une application linéaire de E dans F. On définit :
t
u:F * → E*
y* 6 y* D u
t
u est linéaire et est appelée application transposée de u.
démonstration
Soit y * ∈ F * . y * ∈ L( F , K ) . Comme u ∈ L( E , F ) , y * D u ∈ L( E , K ) , c'est-à-dire t u ( y * ) ∈ E * .
Soient y1 , y 2 ∈ F * , α, β ∈ K .
*
t
*
u (α y1 + β y 2 ) = (α y1 + β y 2 ) D u
*
*
*
*
= (α y1 ) D u + (βy 2 ) D u
(propriétés des applications)
= α ( y D u) + β ( y2 D u)
(idem)
*
*
*
1
*
= α u( y ) + β u( y2 )
Donc t u ∈ L( F * , E * ) .
t
*
1
t
*
théorème et définition (transposition)
L'application u 6 t u est une application linéaire de L( E , F ) dans L( F * , E * ) . On l'appelle
transposition.
démonstration
Soient u, v ∈ L( E , F ) . Soit y * ∈ F * . Soit α ∈ K
t
(u + v)( y * ) = y * D (u + v)
= y * D u + y * D v (définition des opérations dur les applications)
= t u ( y * )+ t v( y * )
=( t u + t v)( y * ) (définition des opérations dur les applications)
t
(α u )( y * ) = y * D (α u )
= α y * D u (définition des opérations dur les applications)
= α t u( y* )
= (α t u )( y * ) (définition des opérations dur les applications)
propriétés
E, F et G désignent des k espaces vectoriels.
(i) Pour tous u ∈ L( E , F ), v ∈ L( F , G ) , t (v D u )= t u D t v
(ii) t (id E ) = id E * (dans le cas où E=F)
(iii) Si u ∈ L( E , F ) est bijective, alors t u est bijective et t (u −1 ) =( t u ) −1
démonstration
(i) Soit z * ∈ G * .
t
(v D u )( z * ) = z * D (v D u )
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= ( z * D v) D u (propriété de la loi de composition des applications)
= t v( z * ) D u (définition de la transposée de v)
= t u ( t v( z * )) (définition de la transposée de u car t v( z * ) ∈ F * )
=( t uD t v)( z * ) (propriété de la loi de composition des applications)
(ii) Soit x * ∈ E * .
t
(id E )( x * ) = x * D id E
= x*
= id E * ( x * )
(iii) On suppose u bijective.
u D u −1 = id E donc t (u D u −1 )= t id E . Or, t (u D u −1 )= t (u −1 )D t u et t (id E ) = id E * donc t (u −1 )D t u = id E* .
On montre de même que t u D t (u −1 ) = id E* . Par conséquent, t u est bijective et t (u −1 ) =( t u ) −1 .
3) Matrice d'une application transposée (en dimension finie)
Soit E un K espace vectoriel de dimension finie n, e = (e1 ,..., en ) une base de E. Pour k ∈ N n , on
définit ek
*
comme étant l'application linéaire de E dans K vérifiant : ∀j ∈ N n , ek* (e j ) = δ i j (on
⎧1 si i = j
rappelle que δ i j = ⎨
)
⎩0 si i ≠ j
Rappelons également qu'une application linéaire est entièrement déterminée par les images des
vecteurs de base.
(e1* ,..., en* ) est une famille libre de E * :
Soit (α1 ,..., α n ) ∈ K n , tel que α1e1* + ... + α n en* = 0 .
Soit j ∈ N n . On a
n
∑ α k ek* (e j ) = 0 donc
k =1
n
∑α δ
k =1
k
kj
= 0 donc α j = 0 . Par conséquent, tous les α j
sont nuls donc (e1* ,..., en* ) est une famille libre de E * .
théorème
Si e est un K espace vectoriel de dimension finie, alors E * est de dimension finie et
dim( E * ) = dim( E ) . De plus, si (e1 ,..., en ) est une base de E, alors (e1* ,..., en* ) est une base de E * .
démonstration
Supposons que E est de dimension finie n, n ∈ N * . K est un K espace vectoriel de dimension 1.
Donc L( E , K ) est de dimension finie et dim( L( E , K )) = dim( E ) × dim( K ) = n × 1 = n . Donc E * est
de dimension n.
Soit (e1 ,..., en ) une base de E. Soit e* = (e1* ,..., en* ) . d'après ce qui précède, e * est une famille libre à
n élément s de E * qui est de dimension n. c'est donc une base de E * .
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théorème
Soient E et f deux K espaces vectoriels de dimensions finies respectives p et n ( p, n ∈ N * ) . Soit
e = (e1 ,..., e p ) une base de E et f = ( f1 ,..., f n ) une base de F. on note e * la base duale de e, f * celle
de f. Alors mat ( t u; f * , e * )= t mat (u; e, f ) .
démonstration
Notons M = mat (u; e, f ) = (mi j )1≤i≤ n .
1≤ j ≤ p
Soit k ∈ N n . u ( f ) = f D u .
Soit q ∈ N p .
*
k
t
t
*
k
u ( f k* )(eq ) = f k* (u (eq ))
⎛ n
⎞
= f k* ⎜ ∑ mi q f i ⎟
⎝ i =1
⎠
n
= ∑ mi q f k* ( f i ) (linéarité de f k* )
i =1
n
= ∑ mi q δ k i
i =1
= mk q
p
= ∑ mk i ei* (eq )
i =1
⎛ p
⎞
Donc ∀q ∈ N p , t u ( f k* )(eq ) = ⎜⎜ ∑ mk i ei* ⎟⎟(eq ) . Une application linéaire étant entièrement déterminée
⎝ i =1
⎠
p
par les images des vecteurs de base, on en déduit que : ∀k ∈ N n , t u ( f k* ) = ∑ mk i ei* .
i =1
p
Notons mat ( t u; f * , e * ) = (m'i j )1≤i≤ p . Alors ∀k ∈ N n , t u ( f k* ) = ∑ m'i k ei* .
1≤ j ≤ n
i =1
D'où ∀k ∈ N n , ∀i ∈ N p , m'i k = mk i , d'où le résultat.
proposition
Soit E un K espace vectoriel de dimension finie, E * son dual. Pour tout sous espace F de E,
dim( F ) + dim( F ⊥ ) = dim( E )
démonstration
Soit n la dimension de E, p la dimension de F. Soit ( f1 ,..., f p ) une base de F. d'après le théorème de
la base incomplète, on peut compléter ( f1 ,..., f p ) en une base f = ( f1 ,..., f n ) de E. montrons que
( f p*+1 ,..., f n* ) est une base de F ⊥ :
•
Soit x * ∈ F ⊥ .
n
∃!( x1 ,..., xn ) ∈ K n , x * = ∑ xi f i * .
i =1
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Soit k ∈ N p . x * ( f k ) = 0 car f k ∈ F et x * ∈ F ⊥ . Or :
n
n
i =1
i =1
x * ( f k ) = ∑ xi f i * ( f k ) = ∑ xi δ i k = xk .
Donc ∀k ∈ N p , xk = 0 donc x * =
n
∑x f
i = p +1
i
*
.
i
Donc ( f p*+1 ,..., f n* ) est une famille génératrice de F ⊥ .
Soit (α p +1 ,..., α n ) ∈ K n− p tel que
•
n
∑α
i = p +1
i
f i* = 0
Soit k ∈ N , p + 1 ≤ k ≤ n .
n
∑ α i f i* ( f k ) = 0 donc
i = p +1
n
∑α δ
i = p +1
i
ik
= 0 donc α k = 0 . par conséquent tous les α k sont nuls donc
( f p*+1 ,..., f n* ) est une famille libre de F ⊥ .
•
Donc dim( F ⊥ ) = n − p = dim( E ) − dim( F ) .
corollaire
Soient E et f des K espaces vectoriels de dimension finie. Soit u une application linéaire de E dans
F. Alors rg (u ) = rg ( t u )
démonstration
D'après le théorème du rang, rg ( t u ) = dim( F * ) − dim( Ker ( t u )) .
dim( F * ) = dim( F )
dim( Ker ( t u )) = dim((Im(u ) ⊥ ) (car Ker ( t u ) = (Im(u )) ⊥ )
= dim( F ) − rg (u ) (proposition précédente)
On en déduit donc rg (u ) = rg ( t u ) .
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