Dérivation

Dérivation
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Première ES / L
Taux d’accroissement
Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soit a et b deux éléments distincts de I.
On appelle accroissement moyen, ou taux d’accroissement, de f entre a et b, le rapport :
f( b)−f( a)
.
b−a
Remarques :
• L’accroissement moyen entre a et b peut être vu comme le coefficient
directeur de la droite passant par les points A( a;f( a)) et B( b;f( b)).
• Si l’on pose b=a+ h, où h est un réel non nul, l’expression de
f(a+h)−f(a)
l’accroissement moyen devient :
.
h
Exemple : Soit la fonction f : x → 2x 2 définie sur Ë.
f(4)−f(3) 32−18
L’accroissement moyen de f entre 3 et 4 est
=
=14.
4−3
1
Et l’accroissement moyen de f entre 3 et 3+ h, où h est un réel non nul, est
2
f(3+ h)−f(3)
2(3+ h) −18
18+12h+2h 2−18
12h+2h 2
=
=
=
=12+2h.
h
h
h
h
2
Nombre dérivé
Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soit a un réel de I.
On appelle nombre dérivé de f en a le nombre, s’il existe, vers lequel tend le quotient
f(a+h)−f(a)
quand h tend
h
vers 0. On le note f′( a).
Remarque : La limite de
f(a+h)−f(a)
f(a+h)−f(a)
quand h tend vers 0 se note lim
.
h
h
h↔0
f(3+ h)−f(3)
Exemple : On considère la fonction f de l’exemple précédent. f′(3)= lim
= lim (12+2h)=12.
h
h↔0
h↔0
Vocabulaire : Si le nombre dérivé de f en a existe, alors on dit que f est dérivable en a.
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Tangente
Approche graphique du nombre dérivé :
On considère une fonction f, un élément a de l’ensemble de définition de f,
et un nombre h non nul.
On note Cf la courbe représentative de f dans un repère.
Lorsque h tend vers 0, les points A( a ;f( a)) et B( a+ h ;f( a+ h))
se rapprochent et donc la droite ( AB) tend à se confondre avec
la tangente à Cf en A.
Le coefficient directeur de la droite ( AB) tend donc vers le coefficient
directeur de la tangente à Cf en A.
Autrement dit, le coefficient directeur de la tangente à Cf en A est
f(a+h)−f(a)
lim
, soit f′(a).
h
h↔0
Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I,
Soit a un réel de I tel que f soit dérivable en a de nombre dérivé f ’ (a).
Soit Cf la courbe représentative de f dans un repère.
La tangente à Cf au point A (a;f ( a)) est la droite passant par A de coefficient directeur f ’ (a).
Propriété :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I,
Soit a un réel de I tel que f soit dérivable en a de nombre dérivé f ’ (a).
Soit Cf la courbe représentative de f dans un repère.
L’équation réduite de la tangente à Cf au point d’abscisse a est y= f′(a).(x−a)+ f(a).
(admise)
Exemple : On considère la fonction f de l’exemple précédent. L’équation réduite de la tangente à la courbe
représentative de f au point d’abscisse 3 est y=f′(3)×( x−3)+ f(3), soit y=12( x−3)+18, ou encore y=12x−18.
Remarque : Chercher une équation de la tangente au point de coordonnées ( a;f( a)) revient à chercher une équation
de la droite de coefficient directeur f′( a) et passant par le point de coordonnées ( a;f( a)).
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Fonction dérivée
Définitions :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. f est dite dérivable sur I si et seulement si pour tout a appartenant à I,
f ′( a) existe.
La fonction définie sur I qui, à tout réel x de I associe le nombre f′(x) est appelée fonction dérivée de f et est notée f ′.
Exemple : Soit la fonction f : x → x 2 définie sur Ë. Pour tout réel a,
2
( a+ h) −a 2
a 2+2ah+ h 2−a 2
2ah+ h 2
h(2a+ h)
= lim
= lim
= lim
= lim 2a+ h=2a.
f′( a)= lim
h
h
h
h
h↔0
h↔0
h↔0
h↔0
h↔0
D’où f est dérivable sur Ë et pour tout x de Ë, la fonction dérivée de f est la fonction f′ définie par f′(x)=2x.
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Coût marginal
Définition :
On considère une fonction C telle que C( q) représente le coût de production de q articles.
Le coût marginal Cm ( q) relatif à la production de q articles est le coût de production d’un article supplémentaire à
partir de q articles déjà produits.
Autrement dit, Cm ( q)=C( q+1)−C( q).
Exemple : Une entreprise fabrique des objets. Le coût de production, en euros, de q objets est défini par C( q)=2q 2+5.
2
Le coût marginal pour une production égale à q objets est : Cm ( q)=(2( q+1) +5)−(2q 2+5)=4q+7.
Remarques :
• Le coût marginal Cm ( q) est le taux d’accroissement de la fonction C entre q et q+1.
C( q+1)−C( q)
En effet,
=C( q+1)−C( q)=Cm ( q).
( q+1)−q
• Lorsqu’une quantité peut prendre des valeurs non entières (volumes, masses, milliers d’articles, …),
le coût marginal est assimilé au nombre dérivé de la fonction C en q.
Autrement dit, Cm ( q)=C′( q) .
• Il ne faut pas confondre le coût marginal avec le coût moyen CM ( q)=
• Le coût marginal est un outil d’optimisation de production.
C( q)
.
q