Dérivation

Dérivation Première ES / L
1 Taux d’accroissement
Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soit a et b deux éléments distincts de I.
On appelle accroissement moyen, ou taux d’accroissement, de f entre a et b, le rapport :
f(b)−f(a)
b−a
.
Remarques :
• L’accroissement moyen entre a et b peut être vu comme le coefficient
directeur de la droite passant par les points A(a;f(a)) et B(b;f(b)).
• Si l’on pose b=a+h, où h est un réel non nul, l’expression de
l’accroissement moyen devient : f(a+h)−f(a)
h .
Exemple : Soit la fonction f : x → 2x
2
définie sur Ë.
L’accroissement moyen de f entre 3 et 4 est
f(4)−f(3)
4−3
=
32−18
1
=14.
Et l’accroissement moyen de f entre 3 et 3+h, où h est un réel non nul, est
f(3+h)−f(3)
h
=
2(3+h)
2
−18
h
=
18+12h+2h
2
−18
h
=
12h+2h
2
h
=12+2h.
2 Nombre dérivé
Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soit a un réel de I.
On appelle nombre dérivé de f en a le nombre, s’il existe, vers lequel tend le quotient f(a+h)−f(a)
h quand h tend
vers 0. On le note f′(a).
Remarque : La limite de f(a+h)−f(a)
h quand h tend vers 0 se note lim
h↔0
f(a+h)−f(a)
h .
Exemple : On considère la fonction f de l’exemple précédent. f′(3)= lim
h↔0
f(3+h)−f(3)
h
= lim
h↔0
(12+2h)=12.
Vocabulaire : Si le nombre dérivé de f en a existe, alors on dit que f est dérivable en a.
3 Tangente
Approche graphique du nombre dérivé :
On considère une fonction f, un élément a de l’ensemble de définition de f,
et un nombre h non nul.
On note C
f
la courbe représentative de f dans un repère.
Lorsque h tend vers 0, les points A(a ;f(a)) et B(a+h ;f(a+h))
se rapprochent et donc la droite (AB) tend à se confondre avec
la tangente à C
f
en A.
Le coefficient directeur de la droite (AB) tend donc vers le coefficient
directeur de la tangente à C
f
en A.
Autrement dit, le coefficient directeur de la tangente à C
f
en A est
lim
h↔0
f(a+h)−f(a)
h , soit f′(a).

Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I,
Soit a un réel de I tel que f soit dérivable en a de nombre dérivé f ’ (a).
Soit C
f
la courbe représentative de f dans un repère.
La tangente à C
f
au point A (a;f (a)) est la droite passant par A de coefficient directeur f ’ (a).
Propriété : (admise)
Soit f une fonction définie sur un intervalle I,
Soit a un réel de I tel que f soit dérivable en a de nombre dérivé f ’ (a).
Soit C
f
la courbe représentative de f dans un repère.
L’équation réduite de la tangente à C
f
au point d’abscisse a est y=f′(a).(x−a)+f(a).
Exemple : On considère la fonction f de l’exemple précédent. L’équation réduite de la tangente à la courbe
représentative de f au point d’abscisse 3 est y=f′(3)×(x−3)+f(3), soit y=12(x−3)+18, ou encore y=12x−18.
Remarque : Chercher une équation de la tangente au point de coordonnées (a;f(a)) revient à chercher une équation
de la droite de coefficient directeur f′(a) et passant par le point de coordonnées (a;f(a)).
4 Fonction dérivée
Définitions :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. f est dite dérivable sur I si et seulement si pour tout a appartenant à I,
f ′(a) existe.
La fonction définie sur I qui, à tout réel x de I associe le nombre f′(x) est appelée fonction dérivée de f et est notée f ′.
Exemple : Soit la fonction f : x → x
2
définie sur Ë. Pour tout réel a,
f′(a)= lim
h↔0
(a+h)
2
−a
2
h
= lim
h↔0
a
2
+2ah+h
2
−a
2
h
= lim
h↔0
2ah+h
2
h
= lim
h↔0
h(2a+h)
h
= lim
h↔0
2a+h=2a.
D’où f est dérivable sur Ë et pour tout x de Ë, la fonction dérivée de f est la fonction f′ définie par f′(x)=2x.
5 Coût marginal
Définition :
On considère une fonction C telle que C(q) représente le coût de production de q articles.
Le coût marginal C
m
(q) relatif à la production de q articles est le coût de production d’un article supplémentaire à
partir de q articles déjà produits.
Autrement dit, C
m
(q)=C(q+1)−C(q).
Exemple : Une entreprise fabrique des objets. Le coût de production, en euros, de q objets est défini par C(q)=2q
2
+5.
Le coût marginal pour une production égale à q objets est : C
m
(q)=
( )
2(q+1)
2
+5 −
( )
2q
2
+5 =4q+7.
Remarques : • Le coût marginal C
m
(q) est le taux d’accroissement de la fonction C entre q et q+1.
En effet,
C(q+1)−C(q)
(q+1)−q
=C(q+1)−C(q)=C
m
(q).
• Lorsqu’une quantité peut prendre des valeurs non entières (volumes, masses, milliers d’articles, …),
le coût marginal est assimilé au nombre dérivé de la fonction C en q.
Autrement dit, C
m
(q)=C′(q) .
• Il ne faut pas confondre le coût marginal avec le coût moyen C
M
(q)=
C(q)
q
.
• Le coût marginal est un outil d’optimisation de production.