Première S Tout le chapitre 5 : Nombre dérivé ________________________________________________________________ SOMMAIRE V. 1.ACTIVITES................................................................................................................................................... 2 0.VERIFIER LES ACQUIS P.56 ............................................................................................................................... 2 1. A1 P.58 ........................................................................................................................................................... 2 2. A2 P.58 ........................................................................................................................................................... 2 3. A3 P.59 ........................................................................................................................................................... 2 V. 2. NOMBRE DERIVE ET TANGENTE....................................................................................................... 2 RAPPEL : TAUX DE VARIATION ............................................................................................................................ 2 Définition....................................................................................................................................................... 2 NOMBRE DERIVE DE FEN A .................................................................................................................................. 2 Définition....................................................................................................................................................... 2 Exemples........................................................................................................................................................ 2 EXERCICE 1......................................................................................................................................................... 2 INTERPRETATION GRAPHIQUE : TANGENTE A UNE COURBE ................................................................................. 2 Définition....................................................................................................................................................... 2 EXERCICE2:......................................................................................................................................................... 3 EXERCICE 3 : LIRE UN NOMBRE DERIVE ............................................................................................................... 3 _________________________________________________________________________________________________________________ toutchap5 1/3 Première S Tout le chapitre 5 : Nombre dérivé ________________________________________________________________ V. 1.Activités 0.Vérifier les acquis p.56 1. A1 p.58 2. A2 p.58 3. A3 p.59 V. 2. Nombre dérivé et tangente Rappel : taux de variation Définition Soit f est une fonction définie sur un intervalle I contenant a et a + h avec h non nul. Le rapport f(a + h) – f(a) est h appelé taux de variation de f entre a et a + h Nombre dérivé de fen a Définition Soit f est une fonction définie sur un intervalle I contenant a et a + h avec h non nul. La fonction f est dite f(a + h) – f(a) tend vers un réel L lorsque h tend vers 0. dérivable en a si et seulement si h L est appelé nombre dérivé de f en a et on le note f ‘(a). f(a + h) – f(a) i.e.lim = f ‘ (a) h h→0 ∆f f(a + h) – f(a) NB : en physique, on note : ∆f = f(a + h) – f(a) et ∆x = a + h – a = h d’où = → f ‘ (a) h ∆x Exemples Un point mobile M à l’instant t positif ou nul, a parcouru la distance d(t) = t². Alors sa vitesse moyenne entre d(4 + h) – d(4) (4 + h)² - 4² 8h+ h² = = =8+h l’instant 4 et 4 + h avec h > 0 est h h h Or lim (8 + h) = 8. Le nombre dérivé de d en 4 est 8. Soit ici comme, d’(t) = v(t) = 8 h→0 Exercice 1 Calcul d’un nombre dérivé Soit f définie sur R par f(x) = x² - 2x – 1. Montrer que f est dérivable en x = 3 et calculer f ’(3) f(3 + h) = (3 + h)² - 2(3 + h) – 1 = 9 + 6h + h² - 6 – 2h – 1 = h² + 4h + 2; f(3) = 3² - 2×3 – 1 = 9 – 6 – 1 = 2 f(3 + h) - f(3) = h² + 4h h² + 4h f(3 + h) – f(3) d’où lim = lim = 4. La fonction est dérivable en x = 3 et f ‘(3) = 4 h h h→0 h→0 Interprétation graphique : tangente à une courbe Soit C la courbe représentative d’une fonction f et les points A et M de C d’abscisses respectives a et a + h f(a + h) – f(a) représente le coefficient directeur de la droite (AM). h f(a + h) – f(a) Dire que tend vers f ‘(a) quand h tend vers 0 signifie que le coefficient directeur de (AM) tend h vers f ‘(a). Autrement dit, quand M tend vers A sur la courbe, les droites (AM) tendent vers une position limte qui est la droite TA passant par A et de coefficient directeur f ‘(a) Définition Soit f est une fonction dérivable en a et C sa courbe représentative. La droite passant par A (a ; f(a)) et de coefficient directeur f ‘(a) est appelé tangente à C en A. Une équation de cette tangente est donc : y = f ‘(a) ( x – a ) + f(a) _________________________________________________________________________________________________________________ toutchap5 2/3 Première S Tout le chapitre 5 : Nombre dérivé ________________________________________________________________ Exercice2: Avec données de l’exercice 1. Tracer C et la tangente à C en A(3 ;f(3)) -b 2a La courbe est une parabole tournée vers le haut, de sommet S -b soit S (1 ; -2) d’où la courbe… f⎛2a⎞ ⎝ ⎠ Alors la tangente à C en A(3 ;f(3) = 2) a pour coefficient directeur f ‘(3) = 4 NB : l’équation est donc y = f ‘(a) ( x – a ) + f(a) soit y = f ‘(3) ( x – 3 ) + f(3) c'est-à-dire y = 4 ( x – 3 ) + 2 Donc y = 4x - 10 ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ y 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 x -1 Exercice 3 : lire un nombre dérivé Lire f ‘(-4) ; f ‘(1) et f ‘ (8) On lit : 1,5 puis -0,25 et 0 y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x -1 -2 _________________________________________________________________________________________________________________ toutchap5 3/3