Chapitre 13 - Mathieu Mansuy

Chapitre 13
Projection orthogonale
1 Supplémentaire orthogonal
1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Supplémentaire orthogonal . . . . . . . . . .
2
2
3
2 Projection orthogonale sur un sous-espace
vectoriel de dimension finie
5
2.1 Projeté orthogonal . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2 Expression dans une base orthonormée de F .
6
2.3 Distance d’un vecteur à un sous-espace . . . .
8
2.4 Pseudo-solutions d’un système linéaire . . . .
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Mathieu Mansuy - Professeur de Mathématiques en spéciale ECS au Lycée Louis Pergaud (Besançon)
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ECS2
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Supplémentaire orthogonal
Dans tout ce chapitre, E désigne un espace euclidien de dimension n ≥ 1, dont on note < ·, · > le
produit scalaire, et k·k la norme euclidienne associée.
1.1
Définition
Définition.
Soit F un sous-espace vectoriel de E. On appelle orthogonal de F , et on note F ⊥ , l’ensemble des
vecteurs orthogonaux à F , c’est à dire :
F ⊥ = {x ∈ E, ∀y ∈ F, < x, y >= 0}.
Propriété 1
Soient F, G des sous-espaces vectoriels de E.
(1) F ⊥ est un sous-espace vectoriel de E orthogonal à F .
(2) Si G est orthogonal à F , alors G ⊂ F ⊥ .
(3) Si F ⊂ G, alors G⊥ ⊂ F ⊥ .
Preuve.
Exemple. {0E }⊥ = E et E ⊥ = {0E }.
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Propriété 2
Soit F = V ect(e1 , . . . , en ), alors
x ∈ F ⊥ ⇔ ∀ i ∈ [|1, n|],
< x, ei >= 0
Preuve.
Exercice. Dans R3 muni du produit scalaire canonique, soit F = {(x, y, z), x+y+z = 0}. Déterminer
F ⊥.
1.2
Supplémentaire orthogonal
Théorème 3
Soit F un sous-espace vectoriel de E. Alors dim(F ⊥ ) = dim(E) − dim(F ), et on a :
E = F ⊕ F ⊥.
On dit que F ⊥ est le supplémentaire orthogonal de F .
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Preuve.
Comme conséquences, on a :
Propriété 4
(1) F ⊥
⊥
= F.
(2) La concaténation d’une base orthonormée (e1 , . . . , ep ) de F et d’une base orthonormée
(ep+1 , . . . , en ) de F ⊥ est une base orthonormée de E.
Preuve.
Remarque. On peut définir de même l’orthogonal d’un sous-espace vectoriel F en dimension infinie. Cependant les propriétés énoncées dans ce paragraphe ne sont alors plus vraies : on n’a pas
⊥
nécessairement E = F ⊕ F ⊥ ou encore F = F ⊥ lorsque E est de dimension infinie.
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Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension
finie
2.1
Projeté orthogonal
Soit F un sous-espace vectoriel de E. on vient de voir qu’on a la somme direct :
E = F ⊕ F ⊥.
Définition.
On appelle projection orthogonale sur F , notée pF , la projection sur F dans la direction de F ⊥ .
Pour tout x ∈ E, pF (x) est appelé le projeté orthogonal de x sur F .
F⊥
x − pF (x)
x
F
0E
pF (x)
Projeté orthogonal de x sur F .
Remarques.
ˆ Soit p un projecteur de E.
Im(p) ⊥ Ker(p).
Alors p est un projecteur orthogonal si et seulement si
ˆ Le projeté orthogonal pF (x) d’un vecteur x sur le sous-espace F est caractérisé par :
(
pF (x) ∈ F
x − pF (x) ∈ F ⊥
I Pour déterminer le projeté orthogonal de x sur le sous-espace vectoriel F , on peut procéder ainsi :
(1) On détermine une base (e1 , . . . , ep ) de F ;
(2) pF (x) ∈ F : il existe donc λ1 , . . . , λp ∈ R tels que pF (x) =
p
X
λi ei .
i=1
(3) x − pF (x) ∈ F ⊥



< x − pF (x), e1 >= 0
..
: on a donc
.


< x − p (x), e >= 0
p
F
(4) On résout alors ce système linéaire pour obtenir λ1 , . . . , λp , et pF (x).
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Exercice. Dans R3 muni du produit scalaire
canonique, déterminer le projeté
orthogonal de
x2
3
x = (2, 2, 2) sur le sous-espace vectoriel F = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R , x1 − 2 + x3 = 0 .
2.2
Expression dans une base orthonormée de F
Propriété 5
Soit (e1 , . . . , ep ) une base orthonormée de F . Alors on a pour tout x ∈ E,
pF (x) =
p
X
< x, ei > ei .
i=1
Preuve.
Exercice. Supposons que F soit une droite vectorielle dirigée par a 6= 0E . Exprimer le projeté
orthogonal d’un vecteur x de E sur F .
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Propriété 6
Soit B une base orthonormée de E, et soit (u1 , . . . , up ) une base orthonormée de F . Soient
U1 , . . . , Up les vecteurs colonnes des coordonnées de u1 , . . . , up dans la base B.
Alors la matrice de pF dans la base B est donnée par :
MB (pF ) =
p
X
Ui t Ui .
i=1
Preuve.
Exercice. Dans R4 muni du produit scalaire canonique, on considère F le sous-espace d’équations :
(
x1 + x2 + x3 + x4 = 0
x1 − x2 + x3 − x4 = 0
a) Déterminer une base orthonormale de F .
b) Déterminer la matrice, dans la base canonique, de la projection orthogonale sur F .
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Remarque. Retour sur le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.
Soit (x1 , . . . , xn ) une famille libre de vecteurs de E, et notons Fk = V ect(e1 , . . . , ek ) pour 1 ≤ k ≤ n−1.
On peut réécrire le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt de la manière suivante :
x1
ˆ poser e1 =
;
||x1 ||
ˆ une fois les vecteurs e1 , . . . , ek construits,
– poser vk+1 = xk+1 − pFk (xk+1 ) ;
vk+1
– poser ek+1 =
.
||vk+1 ||
Fk⊥ ∩ Fk+1
vk+1
xk
xk+1
Fk
ek+1
x2
x1
pFk (xk+1 )
Pour obtenir ek+1 , on commence par “redresser” xk+1 en un vecteur vk+1 orthogonal à Fk , qu’on
normalise ensuite.
2.3
Distance d’un vecteur à un sous-espace
Théorème 7
Soit F un sous-espace vectoriel de E, et x ∈ E. On a :
∀y ∈ E,
kx − pF (x)k ≤ kx − yk
avec égalité si et seulement si y = pF (x).
Preuve.
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Remarque. L’ensemble {||x−y||, y ∈ F } admet donc un minimum, atteint en un unique vecteur pF (x).
F⊥
x
d(x, F )
F
0E
pF (x)
Définition.
On dit que pF (x) est la meilleur approximation de x dans F pour la norme euclidienne, et on
appelle distance de x à F le réel :
d(x, F ) = min{||x − y||, y ∈ F } = ||x − pF (x)||.
Exemple. Calculer la distance de v = (3, 0, 1) au plan vectoriel F = {(x, y, z), x + y + z = 0}.
2.4
Pseudo-solutions d’un système linéaire
Considérons Mn,1 (R) muni du produit scalaire canonique :
∀X, Y ∈ Mn,1 (R),
< X, Y >= t XY.
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Propriété 8
Soient 1 ≤ p ≤ n et soit A ∈ Mn,p (R) de rang p, et B ∈ Mn,1 (R). Alors il existe un unique
vecteur X0 ∈ Mp,1 (R) minimisant {kAX − Bk , X ∈ Mp,1 (R)}.
Preuve.
Remarques.
ˆ L’unique vecteur X0 du théorème précédent est ce qui “se rapproche le plus”, au sens des
moindres carrés (i.e. de la norme euclidienne) d’une solution du système linéaire AX = B. On
parle de pseudo-solution du système.
ˆ On peut montrer que X0 = (t AA)−1 AB (formule non exigible).
ˆ Entre autres, ce résultat nous permettra d’approximer un nuage de points par une droite “la
meilleur possible”, appelée droite des moindres carrés.
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