Exercices du chapitre VIII : Espaces vectoriels

Exercices du chapitre VIII : Espaces vectoriels
No 1
Soit E un espace vectoriel sur le corps K. Montrer les relations suivantes :
∀λ∈K ,∀X∈E
(a) 0X = λ0 = 0 [deux de ces 0 sont dans E, et un seul (lequel?) est dans K].
(b) (−λ)X = −(λX) = λ(−X) on notera −λX cet élément.
(c) (−1)X = −X
(d) (−λ)(−X) = λX
Solution
(a) On a indiqué en caractère gras le 0 de K. En utilisant (EV2)
0X = (0 + 0)X = 0X + 0X ,
puis en utilisant les propriétés de groupe dans E,
0 = 0X + (−0X) = 0X + 0X + (−0X) = 0X .
En utilisant (EV1)
λ0 = λ(0 + 0) = λ0 + λ0 ,
puis en utilisant les propriétés de groupe dans E,
0 = λ0 + (−λ0) = λ0 + λ0 + (−λ0) = λ0 .
(b) En utilisant (EV2) et (a)
(−λ)X + λX = (−λ + λ)X = 0X = 0 .
Donc (−λ)X est l’opposé de λX, et
(−λ)X = −(λX) .
En utilisant (EV1)
λ(−X) + λX = λ(−X + X) = λ0 = 0 .
Donc λ(−X) est l’opposé de λX, et
λ(−X) = −(λX) .
(c) Cas particulier de (b) avec λ = 1 en tenant compte de (EV4).
(d) On utilise (b) en remplaçant X par −X et en tenant compte du fait que −(−X) = X.
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No 2
(a) Montrer qu’une partie F d’un espace vectoriel E contenant 0 est un sous-espace
vectoriel de E si et seulement si
∀ x, y ∈ F , ∀ λ, µ ∈ R ,
λx + µy ∈ F .
(b) Montrer qu’une partie F d’un espace vectoriel E contenant 0 est un sous-espace vectoriel
de E si et seulement si
∀ x, y ∈ F , ∀ λ ∈ R ,
λx + y ∈ F .
Solution
Démontrons les inplications : F sous-espace de E =⇒ (a) =⇒ (b) =⇒ F sous-espace de E.
1 F sous-espace de E =⇒ (a).
Si x et y sont dans E et λ et µ dans K, alors λx et µy sont dans E (SEV2), puis λx + µy est
dans E (SEV1).
2 (a) =⇒ (b) est évident. Il suffit de prendre µ = 1.
3 (b) =⇒ F sous-espace de E.
En prenant y = 0 on obtient SEV2. En prenant λ = 1 on obtient SEV1.
No 3
Démontrer les propositions suivantes :
(a) R(X) est de dimension infinie ;
(b) F(N,R) est de dimension infinie ;
(c) F(I,R) est de dimension infinie (si I n’est pas réduit à un point) ;
(d) F(A,R) et F(A,Rn ) sont de dimension infinie, si et seulement si A n’est pas un ensemble
fini ;
(e) F(A,E) est de dimension finie, si et seulement si A est un ensemble fini, et E est de
dimension finie.
Solution
(a) On sait que si E est de dimension fini, tout sous-espace F de E est encore de dimension
finie, donc inversement si E contient un sous-espace de dimension infinie, il est ausi de dimension
infinie. En particulier comme l’espace des fractions rationnelles contient l’espace des polynômes
qui n’est pas de dimension finie, on en déduit que R(X) est de dimension infinie.
(b), (c), (d) sont des cas particuliers de (e). Etudions ce dernier cas. Il y a donc plusieurs hypothèses possibles.
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1 A est un ensemble infini.
Il contient en particulier une suite de points distincts (ai )i∈N . Considérons le sous-ensemble G
des fonctions f telles que f (ai ) = 0 à partir d’un certain rang. On vérifie facilement que G est
un sous-espace vectoriel de F(A,E). En effet, si f (ai ) s’annule pour i ≥ i1 et si g(ai s’annule
pour i ≥ i2 , on a (f + g)(ai ) = 0 pour i ≥ max(i1 ,i2 ), et (λf )(ai ) = 0 pour i ≥ i1 . De plus G
contient la fonction nulle.
On montre alors que ce sous-espace est de dimension infinie de la même manière que l’on montre
que l’espace R[X] est de dimension infinie :
Supposons que G soit de dimension finie r, et soit (f1 , . . . fr ) une base de G. Il existe j1 , . . . ,jr tels
que, si j ≥ jk , on ait fk (j) = 0. En prenant j ≥ j0 = max1≤k≤r jk , et si f est une combinaison
linéaire des fj , alors f (aj ) = 0. Mais alors la fonction h définie par
1 si x = aj0 +1
h(x) =
0 si x 6= ji0 +1
ne serait pas dans G, d’où une contradiction. Donc G est de dimension infinie et F(A,E)
également.
2 E est de dimension infinie.
Le sous-ensemble H des fonctions constantes est un sous-espace vectoriel de E.
Supposons qu’il soit de dimension finie r, et soit (f1 , . . . ,fr ) une base de H. Soit u dans E et
a dans A. La fonction f constante égale à u se décompose comme combinaison linéaire des
fonctions fi . Mais alors u se décompose comme combinaison linéaire des vecteurs (fi (a)) et donc
ces vecteurs forment un système de générateurs de E qui serait alors de dimension finie, ce qui
est faux. Donc H est de dimension infinie et F(A,E) également.
3 A est un ensemble fini et E est de dimension finie
Notons A = {a1 , . . . ,ap } et soit (e1 , . . . ,er ) une base de E.
On définit, si 1 ≤ i ≤ p et 1 ≤ j ≤ r, la fonction fij par
ej si k = i
fij (ak ) =
0
sinon
.
Si f est un élément de F(A,E), pour tout k compris entre 1 et p, le vecteur f (ak ) se décompose
dans la base (e1 , . . . ,er ) sous la forme.
f (ak ) =
r
X
λkj ej .
j=1
Mais ceci peut s’écrire également
f (ak ) =
p X
r
X
λkj fij (ak ) .
i=1 j=1
Il en résulte que
f=
p X
r
X
i=1 j=1
3
λkj fij .
Donc le système {fij | 1 ≤ i ≤ p , 1 ≤ j ≤ r} est un système générateur (et même une base) de
F(A,E) qui est donc de dimension finie.
No 4
On considère le corps B = {0,1} avec les opérations :
+
0
1
0 1
0 1
1 0
et
·
0
1
0 1
0 0 .
0 1
(a) Combien y a-t-il d’applications de K dans K ?
(b) Montrer que les polynômes 0, 1, X et 1 + X sont quatre applications différentes de K
dans K.
m
X
(c) Etant donnée une application P de K dans K définie par P (X) =
ai X i (avec des
i=1
coefficients ak dans K), est-elle caractérisée par ses coefficients?
Solution
(a) Il y a quatre applications ϕi de K dans K, définies par
ϕ1 (0) = 0
ϕ2 (0) = 0
ϕ3 (0) = 1
ϕ4 (0) = 1
ϕ1 (1) = 0
ϕ2 (1) = 1
ϕ3 (1) = 0
ϕ4 (1) = 1
(b) On vérifie que
ϕ1 (X) = 0 , ϕ2 (X) = X , ϕ3 (X) = X + 1 , ϕ4 (X) = 1 .
(d) Il y a une infinité de polynômes, mais un nombre fini d’applications de K dans K. Une telle
application ne peut être caractérisée par ses coefficients. Par exemple on a, quels que soient les
entiers n et p strictement positifs et si X est dans B,
ϕ1 (X) = 0 = X 2 + X = X n + X p .
Les applications ϕ : X 7→ X n + X p sont donc toutes égales à la fonction nulle, alors que les
polynômes ne le sont pas.
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