Exercices du chapitre VIII : Espaces vectoriels

Exercices du chapitre VIII : Espaces vectoriels
No1Soit Eun espace vectoriel sur le corps K. Montrer les relations suivantes :
∀λ∈K , ∀X∈E
(a) 0X=λ0 = 0 [deux de ces 0 sont dans E, et un seul (lequel?) est dans K].
(b) (−λ)X=−(λX) = λ(−X) on notera −λX cet ´el´ement.
(c) (−1)X=−X
(d) (−λ)(−X) = λX
Solution
(a) On a indiqu´e en caract`ere gras le 0de K. En utilisant (EV2)
0X= (0+0)X=0X+0X ,
puis en utilisant les propri´et´es de groupe dans E,
0 = 0X+ (−0X) = 0X+0X+ (−0X) = 0X .
En utilisant (EV1)
λ0 = λ(0 + 0) = λ0 + λ0,
puis en utilisant les propri´et´es de groupe dans E,
0 = λ0+(−λ0) = λ0 + λ0+(−λ0) = λ0.
(b) En utilisant (EV2) et (a)
(−λ)X+λX = (−λ+λ)X=0X= 0 .
Donc (−λ)Xest l’oppos´e de λX, et
(−λ)X=−(λX).
En utilisant (EV1)
λ(−X) + λX =λ(−X+X) = λ0 = 0 .
Donc λ(−X) est l’oppos´e de λX, et
λ(−X) = −(λX).
(c) Cas particulier de (b) avec λ= 1 en tenant compte de (EV4).
(d) On utilise (b) en rempla¸cant Xpar −Xet en tenant compte du fait que −(−X) = X.
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No2(a) Montrer qu’une partie Fd’un espace vectoriel Econtenant 0 est un sous-espace
vectoriel de Esi et seulement si
∀x, y ∈F , ∀λ, µ ∈R, λx +µy ∈F .
(b) Montrer qu’une partie Fd’un espace vectoriel Econtenant 0 est un sous-espace vectoriel
de Esi et seulement si
∀x, y ∈F , ∀λ∈R, λx +y∈F .
Solution
D´emontrons les inplications : Fsous-espace de E=⇒(a) =⇒(b) =⇒Fsous-espace de E.
1Fsous-espace de E=⇒(a).
Si xet ysont dans Eet λet µdans K, alors λx et µy sont dans E(SEV2), puis λx +µy est
dans E(SEV1).
2 (a) =⇒(b) est ´evident. Il suffit de prendre µ= 1.
3 (b) =⇒Fsous-espace de E.
En prenant y= 0 on obtient SEV2. En prenant λ= 1 on obtient SEV1.
No3D´emontrer les propositions suivantes :
(a) R(X) est de dimension infinie ;
(b) F(N,R) est de dimension infinie ;
(c) F(I,R) est de dimension infinie (si In’est pas r´eduit `a un point) ;
(d) F(A,R) et F(A,Rn) sont de dimension infinie, si et seulement si An’est pas un ensemble
fini ;
(e) F(A,E) est de dimension finie, si et seulement si Aest un ensemble fini, et Eest de
dimension finie.
Solution
(a) On sait que si Eest de dimension fini, tout sous-espace Fde Eest encore de dimension
finie, donc inversement si Econtient un sous-espace de dimension infinie, il est ausi de dimension
infinie. En particulier comme l’espace des fractions rationnelles contient l’espace des polynˆomes
qui n’est pas de dimension finie, on en d´eduit que R(X) est de dimension infinie.
(b), (c), (d) sont des cas particuliers de (e). Etudions ce dernier cas. Il y a donc plusieurs hy-
poth`eses possibles.
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1Aest un ensemble infini.
Il contient en particulier une suite de points distincts (ai)i∈N. Consid´erons le sous-ensemble G
des fonctions ftelles que f(ai) = 0 `a partir d’un certain rang. On v´erifie facilement que Gest
un sous-espace vectoriel de F(A,E). En effet, si f(ai) s’annule pour i≥i1et si g(ais’annule
pour i≥i2, on a (f+g)(ai) = 0 pour i≥max(i1,i2), et (λf )(ai) = 0 pour i≥i1. De plus G
contient la fonction nulle.
On montre alors que ce sous-espace est de dimension infinie de la mˆeme mani`ere que l’on montre
que l’espace R[X] est de dimension infinie :
Supposons que Gsoit de dimension finie r, et soit (f1, . . . fr) une base de G. Il existe j1, . . . ,jrtels
que, si j≥jk, on ait fk(j) = 0. En prenant j≥j0= max1≤k≤rjk, et si fest une combinaison
lin´eaire des fj, alors f(aj) = 0. Mais alors la fonction hd´efinie par
h(x) = 1 si x=aj0+1
0 si x6=ji0+1
ne serait pas dans G, d’o`u une contradiction. Donc Gest de dimension infinie et F(A,E)
´egalement.
2Eest de dimension infinie.
Le sous-ensemble Hdes fonctions constantes est un sous-espace vectoriel de E.
Supposons qu’il soit de dimension finie r, et soit (f1, . . . ,fr) une base de H. Soit udans Eet
adans A. La fonction fconstante ´egale `a use d´ecompose comme combinaison lin´eaire des
fonctions fi. Mais alors use d´ecompose comme combinaison lin´eaire des vecteurs (fi(a)) et donc
ces vecteurs forment un syst`eme de g´en´erateurs de Equi serait alors de dimension finie, ce qui
est faux. Donc Hest de dimension infinie et F(A,E) ´egalement.
3Aest un ensemble fini et Eest de dimension finie
Notons A={a1, . . . ,ap}et soit (e1, . . . ,er) une base de E.
On d´efinit, si 1 ≤i≤pet 1 ≤j≤r, la fonction fij par
fij (ak) = ejsi k=i
0 sinon .
Si fest un ´el´ement de F(A,E), pour tout kcompris entre 1 et p, le vecteur f(ak) se d´ecompose
dans la base (e1, . . . ,er) sous la forme.
f(ak) =
r
X
j=1
λkj ej.
Mais ceci peut s’´ecrire ´egalement
f(ak) =
p
X
i=1
r
X
j=1
λkj fij (ak).
Il en r´esulte que
f=
p
X
i=1
r
X
j=1
λkj fij .
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Donc le syst`eme {fij |1≤i≤p , 1≤j≤r}est un syst`eme g´en´erateur (et mˆeme une base) de
F(A,E) qui est donc de dimension finie.
No4On consid`ere le corps B={0,1}avec les op´erations :
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
et
·0 1
0 0 0
1 0 1
.
(a) Combien y a-t-il d’applications de Kdans K?
(b) Montrer que les polynˆomes 0,1, X et 1 + Xsont quatre applications diff´erentes de K
dans K.
(c) Etant donn´ee une application Pde Kdans Kd´efinie par P(X) =
m
X
i=1
aiXi(avec des
coefficients akdans K), est-elle caract´eris´ee par ses coefficients?
Solution
(a) Il y a quatre applications ϕide Kdans K, d´efinies par
ϕ1(0) = 0 ϕ1(1) = 0
ϕ2(0) = 0 ϕ2(1) = 1
ϕ3(0) = 1 ϕ3(1) = 0
ϕ4(0) = 1 ϕ4(1) = 1
(b) On v´erifie que
ϕ1(X) = 0 , ϕ2(X) = X , ϕ3(X) = X+ 1 , ϕ4(X) = 1 .
(d) Il y a une infinit´e de polynˆomes, mais un nombre fini d’applications de Kdans K. Une telle
application ne peut ˆetre caract´eris´ee par ses coefficients. Par exemple on a, quels que soient les
entiers net pstrictement positifs et si Xest dans B,
ϕ1(X) = 0 = X2+X=Xn+Xp.
Les applications ϕ:X7→ Xn+Xpsont donc toutes ´egales `a la fonction nulle, alors que les
polynˆomes ne le sont pas.
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