Intervalles et ensembles

Intervalles – Cours
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 CHAPITRE 1 : Notion d’intervalle
1) Définition
2) Représentations d’intervalles
3) Vocabulaire
4) Notations d’ensembles
 CHAPITRE 2 : Intersection d’intervalles
1) Définition
2) Intervalles disjoints
3) Exemples
 CHAPITRE 3 : Réunion d’intervalles
1) Définition
2) Exemples
Intervalles
Cours

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Rappel : L’ensemble des réels est l’ensemble des abscisses des points d’une droite.
1) DEFINITION
Un INTERVALLE est un ensemble, éventuellement vide, de nombre réels.
Remarque : De manière imagée, un intervalle correspond à une partie sans trou de la droite numérique. Ainsi,
l’ensemble des entiers naturels n’est pas un intervalle car il y a beaucoup de trous entre deux entiers.
2) REPRESENTATIONS D’INTERVALLES
Soient deux réels  et  tels que   .
L’intervalle noté
est l’ensemble des nombres réels  tels que
et il est représenté sur l’axe des réels par :
CHAPITRE 1 : Notion d’intervalle

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Remarque : L’intervalle   a pour centre 
 et pour rayon  .
3) VOCABULAIRE
 L’intervalle   est un INTERVALLE FERMÉ en ce sens que les crochets sont tournés/fermés vers
l’intérieur.
 L’intervalle   est un INTERVALLE OUVERT en ce sens que les crochets sont tournés/ouverts
vers l’extérieur.
 Les intervalles   et   sont des INTERVALLES SEMI-OUVERTS. Par exemple, on dit que
l’intervalle   est fermé à gauche et ouvert à droite et que l’intervalle   est ouvert à gauche et
fermé à droite.
 Les réels  et  sont appelés les BORNES de l’intervalle.
 Lorsque l’une des bornes est  (qu’on lit « moins l’infini ») ou  (qu’on lit « plus l’infini »), on dit
que l’intervalle est NON BORNÉ.
Remarques :
  et  ne désignent pas des réels. Les bornes infinies sont toujours ouvertes et il ne faut jamais
noter   ni   ni   ni  .
 Les intervalles fermés, c'est-à-dire contenant leurs bornes, sont appelés SEGMENTS.
4) NOTATIONS D’ENSEMBLES
L’intervalle noté
et plus simplement noté
désigne l’ensemble :
des réels
des réels négatifs (ou nuls)
des réels strictement négatifs
des réels positifs (ou nuls)
des réels strictement positifs
des réels non nuls
vide
contenant uniquement le réel 

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Remarques :
 L'ensemble vide, noté , est l'ensemble ne contenant aucun élément.
 L’ensemble  est appelé « SINGLETON  ».
  n’est pas un intervalle car il y a un trou en zéro. L’ensemble des réels non nuls est en fait la réunion
de deux intervalles.
 On note également l’ensemble des réels non nuls    ou .

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1) DEFINITION
Soient deux intervalles  et . L’INTERSECTION des intervalles  et , notée    (qu’on lit «  inter  »),
désigne l’ensemble des réels qui appartiennent à la fois à  ET à .
Remarque : L’intersection de deux intervalles est toujours un intervalle.
2) INTERVALLES DISJOINTS
Deux intervalles sont dits DISJOINTS s'ils n'ont aucun élément en commun.
Autrement dit, deux intervalles  et  sont disjoints si     .
3) EXEMPLES
Point méthode : Pour déterminer l’intersection de deux intervalles,
1- on représente ces deux intervalles sur le même axe gradué en :
a. repérant à l’aide d’une première couleur les réels appartenant au premier intervalle
b. repérant à l’aide d’une deuxième couleur les réels appartenant au second intervalle
2- on repère enfin l’intersection des deux intervalles ; cette intersection correspond à l’ensemble des réels
repérés/coloriés à l’aide des deux couleurs
Exemple 1 : Déterminons    sachant que     et    .
Ainsi,      .
Intersection d’intervalles
Les réels appartenant à
 ET à  sont les réels
de l’intervalle  .
Ils sont ici en effet à la
fois en bleu ET en vert.