Intervalles et ensembles

Intervalles
Cours



CHAPITRE 1 : Notion d’intervalle
1) Définition
2) Représentations d’intervalles
3) Vocabulaire
4) Notations d’ensembles
CHAPITRE 2 : Intersection d’intervalles
1) Définition
2) Intervalles disjoints
3) Exemples
CHAPITRE 3 : Réunion d’intervalles
1) Définition
2) Exemples
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CHAPITRE 1 : Notion d’intervalle
Rappel : L’ensemble des réels est l’ensemble des abscisses des points d’une droite.
1) DEFINITION
Un INTERVALLE est un ensemble, éventuellement vide, de nombre réels.
Remarque : De manière imagée, un intervalle correspond à une partie sans trou de la droite numérique. Ainsi,
l’ensemble des entiers naturels n’est pas un intervalle car il y a beaucoup de trous entre deux entiers.
2) REPRESENTATIONS D’INTERVALLES
Soient deux réels
et
L’intervalle noté
est l’ensemble des nombres réels
[
]
[
[
]
]
]
[
[
[
]
[
]
]
]
[
tels que
.
tels que
et il est représenté sur l’axe des réels par :
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Remarque : L’intervalle [
] a pour centre
et pour rayon
.
3) VOCABULAIRE





] est un INTERVALLE FERMÉ en ce sens que les crochets sont tournés/fermés vers
L’intervalle [
l’intérieur.
[ est un INTERVALLE OUVERT en ce sens que les crochets sont tournés/ouverts
L’intervalle ]
vers l’extérieur.
[ et ]
] sont des INTERVALLES SEMI-OUVERTS. Par exemple, on dit que
Les intervalles [
[ est fermé à gauche et ouvert à droite et que l’intervalle ]
] est ouvert à gauche et
l’intervalle [
fermé à droite.
Les réels et sont appelés les BORNES de l’intervalle.
Lorsque l’une des bornes est
(qu’on lit « moins l’infini ») ou
(qu’on lit « plus l’infini »), on dit
que l’intervalle est NON BORNÉ.
Remarques :


et
ne désignent pas des réels. Les bornes infinies sont toujours ouvertes et il ne faut jamais
noter [
] ni [
[ ni [
] ni ]
].
Les intervalles fermés, c'est-à-dire contenant leurs bornes, sont appelés SEGMENTS.
4) NOTATIONS D’ENSEMBLES
L’intervalle noté
]
et plus simplement noté
[
désigne l’ensemble :
des réels
]
]
des réels négatifs (ou nuls)
]
[
des réels strictement négatifs
[
[
des réels positifs (ou nuls)
]
[
des réels strictement positifs
[ ]
]
[
des réels non nuls
vide
[
]
contenant uniquement le réel
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Remarques :




L'ensemble vide, noté , est l'ensemble ne contenant aucun élément.
L’ensemble
est appelé « SINGLETON ».
n’est pas un intervalle car il y a un trou en zéro. L’ensemble des réels non nuls est en fait la réunion
de deux intervalles.
On note également l’ensemble des réels non nuls
ou
.
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Intersection d’intervalles
1) DEFINITION
et . L’INTERSECTION des intervalles
Soient deux intervalles
et , notée
(qu’on lit « inter »),
désigne l’ensemble des réels qui appartiennent à la fois à ET à .
Remarque : L’intersection de deux intervalles est toujours un intervalle.
2) INTERVALLES DISJOINTS
Deux intervalles sont dits DISJOINTS s'ils n'ont aucun élément en commun.
Autrement dit, deux intervalles et sont disjoints si
.
3) EXEMPLES
Point méthode : Pour déterminer l’intersection de deux intervalles,
1- on représente ces deux intervalles sur le même axe gradué en :
a. repérant à l’aide d’une première couleur les réels appartenant au premier intervalle
b. repérant à l’aide d’une deuxième couleur les réels appartenant au second intervalle
2- on repère enfin l’intersection des deux intervalles ; cette intersection correspond à l’ensemble des réels
repérés/coloriés à l’aide des deux couleurs
Exemple 1 : Déterminons
sachant que
[
] et
]
].
Les réels appartenant à
ET à sont les réels
de l’intervalle [
].
Ils sont ici en effet à la
fois en bleu ET en vert.
Ainsi, [
] ]
]
[
].
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Exemple 2 : Déterminons
sachant que
[
]
[ et
].
Il n’existe pas de réel
appartenant à ET à .
L’intersection est donc
l’ensemble vide, que
l’on note .
Ainsi, [
[ ]
]
. Les ensembles et sont donc disjoints.
Exemple 3 : Déterminons
sachant que
[
] et
]
].
Les réels appartenant à
ET à sont les réels
de l’intervalle ]
].
Ils sont ici en effet à la
fois en bleu ET en vert.
Ainsi, [
[
].
] ]
]
]
]. L’intervalle ]
Exemple 4 : Déterminons
sachant que
] est INCLUS dans l’intervalle [
[
[ et
]
] et on note ]
]
].
Il n’existe qu’un réel
appartenant à la fois à
ET à . Il s’agit du réel
. L’intersection est
donc le singleton
.
Ainsi, [
[ ]
]
.
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Réunion d’intervalles
1) DEFINITION
Soient deux intervalles et . La REUNION des intervalles et , notée
(qu’on lit « union »), désigne
l’ensemble des réels qui appartiennent à OU à (ou à et ).
Remarques :




La réunion de deux intervalles n’est pas toujours un intervalle car elle peut contenir des trous.
Le « OU » de la définition ci-dessus est un « OU INCLUSIF », c’est-à-dire qu’un élément de
peut
appartenir à ou à ou à la fois à et . Il ne faut pas confondre le « OU inclusif » et le « OU exclusif »,
ce dernier excluant que l’élément puisse appartenir également à et .
La réunion
est aussi appelée UNION.
L'ensemble des nombres réels est constitué par la réunion de l'ensemble des nombres RATIONNELS et
de l'ensemble des IRRATIONNELS, y compris des NOMBRES TRANSCENDANTS comme .
2) EXEMPLES
Point méthode : Pour déterminer la réunion de deux intervalles,
1- on représente ces deux intervalles sur le même axe gradué en :
a. repérant à l’aide d’une première couleur les réels appartenant au premier intervalle
b. repérant à l’aide d’une deuxième couleur les réels appartenant au second intervalle
2- on repère enfin la réunion des deux intervalles ; cette réunion correspond à l’ensemble des réels
repérés/coloriés à l’aide d’au moins une des deux couleurs
Exemple 1 : Déterminons
sachant que
[
] et
]
].
Les réels appartenant à
OU à sont les réels
de l’intervalle ]
].
Ils sont ici en effet en
bleu OU en vert, OU en
bleu et en vert.
Ainsi, [
] ]
]
]
].
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Exemple 2 : Déterminons
sachant que
[
]
[ et
].
Les réels appartenant à
OU à sont les réels de
l’intervalle ]
[.
En effet, TOUS les réels
sont ici en bleu OU en
vert, OU en vert et en
bleu.
Ainsi,
Exemple 3 : Déterminons
sachant que
[
]
[ et
.
].
Il n’existe pas de réel
appartenant à ET à .
Les réels appartenant à
sont donc en vert
OU en bleu.
[ ]
] ]
Ainsi, [
] [
[ (on ne peut pas simplifier ici l’écriture). La réunion des ensembles
et (ici disjoints) n’est pas un intervalle car il y a des trous entre et .
Exemple 4 : Déterminons
sachant que
]
] et
]
[.
Les réels appartenant à OU
à , OU à et sont les réels
de l’intervalle ]
]. Ils sont
ici en bleu OU en vert, OU en
vert et en bleu.
Ainsi, ]
] ]
[
]
].
Attention ! Il faut ici bien remarquer que le réel appartient à la réunion des intervalles et puisque, même
s’il est exclu de l’intervalle (intervalle ouvert en ), il est inclus dans l’intervalle (intervalle fermé en ).
Autrement dit, le réel 4 appartient au moins à l’un des deux intervalles et donc il appartient à
.
Remarque : on peut alors noter que
ou bien que
.
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