Chapitre 1 : Modéliser par une fonction. I. Ensembles de nombres. 1

Chapitre 1 : Modéliser par une fonction.
I. Ensembles de nombres.
1) Les entiers naturels.
Ce sont les nombres entiers positifs. Leur ensemble est noté IN.
Exemple : 5 appartient à IN.
-3 n’appartient pas à IN.
2) Les entiers relatifs.
Ce sont tous les nombres entiers. Leur ensemble est noté Z.
Exemple : -3 appartient à Z.
5 appartient à Z.
Remarque : Tous les entiers naturels sont des entiers relatifs.
3) Les nombres décimaux.
Ce sont les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme a/10n (avec a qui appartient à Z et n qui
appartient à IN). Leur ensemble est noté ID.
Exemple : 1,5=15/10 donc 1,5 appartient à ID. -1,802=-1802/100 donc -1,802 appartient à ID.
4=4/10 donc 4 appartient à ID.
4) Les nombres rationnels.
Ce sont les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme a/b (avec a qui appartient à Z et b qui
appartient à Z). Leur ensemble est noté Q.
Exemple : 2/3 appartient à Q. 5/10 appartient à Q.
Remarque : Certains nombres sont irrationnels (2π ; 4√3…)
5) Les nombres réels.
Ce sont tous les nombres que l’on utilise et que l’on peut représenter sur une droite graduée. Leur
ensemble est noté IR.
6) Conclusion.
IN C Z C ID C Q C IR.
II. Intervalles.
Définition : On appelle intervalle l’ensemble des nombres déterminés par une inégalité ou un
encadrement.
Exemple : 1 ≤ x ≤ 5  x appartient à [1 ; 5]
1) Intervalles bornés et non bornés
Soit a et B deux réels tels que a<b.
2) Intersection et réunion d’intervalles.
Soit I et J deux intervalles de IR.
x ≥ 5  x qui appartient à [5 ; +∞ [
Définitions : -Les réels qui sont à la fois dans l’intervalle I et dans l’intervalle J sont dans l’intersection
des intervalles I et J. Si x appartient à I et x appartient J alors x appartient à I∩J (∩ se lit « inter »).
-Les réels qui sont dans l’intervalle I ou dans l’intervalle J sont dans la réunion des intervalles I et J. Si
x appartient à I ou x appartient à J alors x appartient à IUJ. (U se lit « union »).
III. Fonctions et représentations graphiques.
1) Notion de fonction.
Définition : I est une partie de l’ensemble IR des réels. Définir une fonction f sur I c’est associer à
chaque réel x de I, un réel en un seul, noté f(x). On dit que f(x) est l’image de x par la fonction f. On
note y= f(x) ou f : x → f(x).
Exemples : Soit f la fonction définie par f(x)= 4x2-3
f(2)= 4*22-3=4*4-3=13
f(-2)= 4*(-2)2-3= 4*4-3=13
Les antécédents de 13 sont -2 et 2.
Exemples de fonctions : g(x)= 4x-3
h(x)= √x+1
i(x)= 2/x+3
2)Ensemble de définition.
h(x)= √x+1 est calculable si x+1 ≥ 0 (car on ne peut pas calculer la racine carrée d’un nombre négatif).
x+1 ≥ 0  x ≥ -1  x appartient à [-1 ; +∞ [. L’ensemble de définition de h est Dh= [-1 ; +∞ [
1(x)= 2/x+3 est calculable si x +3 ≠ 0 (car on ne peut pas diviser par 0)
X+3 ≠ 0  x ≠ -3  x appartient à]-∞ ; 3[U]-3 ; +∞ [. L’ensemble de définition de i est : Di=]-∞ ; 3[U]3 ; +∞ [
Définition : L’ensemble de définition d’une fonction f est l’ensemble des réels qui ont une image par
f. On le note Df.
G(x)= 4x-3 est définie sur IR
Dg= IR
3) Courbe représentative d’une fonction.
Définition : La représentation graphique de la fonction f définie sur I est l’ensemble des points M de
coordonnées (x, f(x)) ou x appartient à I.