Nombres complexes - Dartmouth Math Home

Khôlle n1
PCSI - Raspail
2008 - 2009
Nombres complexes
Questions de cours :
Soit z ∈ C. Exprimer <(z), =(z) et |z| en fonction de z et z̄ .
Montrer que C est un corps.
Montrer que U est un groupe. Est-ce un anneau ?
Etablir l'inégalité triangulaire. Préciser les cas d'égalité.
Etablir l'existence de n solutions à l'équation xn = 1.
= e±i .
Caractériser le fait qu'un triangle (ABM ) est équilatère : z−a
z−b
Nature géométrique des tarnsformations de la forme z 7−→ az + b.
π
3
Exercices :
0.
Exprimer cos 6θ, sin 7θ en fonction des lignes trigonométriques de θ.
0.
Soit a ∈ C. Identier l'ensemble {z ∈ C | z z̄ = az̄ + āz}.
0.
Soit (a, b) ∈ C × C∗. Calculer
Pn
cos(a + kb).
0.
Soit (a, b) ∈ C × C∗. Calculer
Pn
sin(a + kb).
1.
Résoudre (−4 − 2i)z 2 + (7 − i)z + 1 + 3i = 0.
k=0
k=0
Résoudre z 4 + 6z 3 + 17z 2 + 24z + 52 = 0, sachant que cette équation admet une solution
imaginaire pure.
2.
3.
Soit θ ∈ [0, 2π [ .
2
θ+1
a. Résoudre z − (2
cos θ)z + 22θ = 0.
b. Soient A et B d'axes les solutions. Déterminer θ pour que (ABO) soit équilatère.
On considère h : C \ {2i} −→ C, z
d'axe z , tels que :
a. h(z) ∈ R.
b. h(z) ∈ iR.
π
c. arg(h(z)) = .
2
4.
7−→
z+1
z−2i
. Déterminer l'ensemble des points M
√
√3 . On note M le point d'axe z . Construire M 0
Donner la forme polaire de z = 5+i
2−i 3
d'axe z 0 de sorte que (OM M 0) soit un triangle équilatère.
5.
Soient A, B et C d'axes respectifs a, b et c tels que |a| = |b| = |c|. Montrer que
(ABC) est équilatère si et seulement si a + b + c = 0.
6.
7.
Pour quelles valeurs de n a-t-on (1 + i)n ∈ R ?
Khôlle n1
PCSI - Raspail
8.
9.
Montrer que
x+i
x−i
, x ∈ R = S1 \ {1}.
On pose ω = cos 2π5 + i sin 2π5 , α = ω + ω4 et β = ω2 + ω3.
2
3
4
a. Montrer que 1 + ω + ω + ω + ω = 0.
2
b. En déduire que α et β sont solutions de X + X − 1 = 0.
2π
.
.
c. Déterminer α en fonction de cos
5
2π
d. Donner la valeur de cos
.
5
(Calculer ω.ω 4 )
2008 - 2009