DM bis no 5 - Mathématiques en ECE 2

ECE 2 - Mathématiques
Quentin Dunstetter - ENC-Bessières 2014\2015
DM bis no 5
DM bis no 5
Exercice 1 (EML 2005)
On considère l'application f : R → R, dénie, pour tout réel t, par :
f (t) =
si t 6 0


0
1

(1 + t)2
si t > 0
1. Tracer l'allure de la courbe représentative de f .
2. Montrer que f est une densité de probabilité.
3. Montrer que, pour tout réel x, l'intégrale
On distinguera les cas
x≤0
et
x > 0.
Z
4. Déterminer un réel positif α tel que
x
Z
−∞
f (t)dt converge, et calculer cette intégrale.
α
f (t)dt =
0
1
.
2
5. Soit x ∈ [0, +∞[ xé.
On considère la fonction ϕx dénie sur [0; +∞[ par : ∀u ∈ [0, +∞[, ϕx (u) =
Z
x+u
f (t)dt.
x−u
(a) Calculer ϕx (0) et lim ϕx (u).
u→+∞
(b) Montrer : ∀(u, v) ∈ ([0, +∞[)2 , u < v =⇒ ϕx (v) − ϕx (u) ≥
En déduire que ϕx est strictement croissante sur [0; +∞[.
Z
x+v
f (t)dt.
x+u
1
(c) On admet que ϕx est continue sur [0; +∞[. Montrer que l'équation ϕx (u) = , d'inconnue u,
2
admet une solution et une seule dans [0; +∞[.
On note U : [0; +∞[→ R l'application qui, à tout réel x ∈ [0; +∞[, associe U (x) l'unique solution de
l'équation ϕx (u) = 21 .
Ainsi, pour tout x ∈ [0; +∞[, on a :
Z
x+U (x)
f (t)dt =
x−U (x)
1
.
2
6. (a) Vérier, pour tout x ∈ [0; 21 [ : U (x) = 1 − x.
(b) Pour tout x ∈ [ 21 ; +∞[, montrer : ϕx (x) ≥
p
4 + (x + 1)2 − 2.
1
, puis : x − U (x) ≥ 0, et en déduire : U (x) =
2
7. (a) Montrer que l'application U est continue sur [0; +∞[.
(b) Etudier la dérivabilité de U sur [0; +∞[
(c) Tracer l'allure de la courbe représentative de U .
8. On considère la suite réelle (an )n∈N dénie par
(a) Montrer : ∀n ∈ N,
an >
a0 = 1
∀n ∈ N, an+1 = U (an )
1
.
2
(b) Montrer que la suite (an )n∈N est décroissante.
(c) En déduire que la suite (an )n∈N converge et montrer que sa limite est égale à
1
.
2
(d) Ecrire une procédure scilab qui calcule et ache le plus petit entier n ∈ N tel que :
an −
1 6 10−6
2
1
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Exercice 2 (EML 2013)
Soit n un entier supérieur ou égal à 2.
On considère une urne U contenant n boules numérotées de 1 à n et indiscernables au toucher.
On eectue une suite de tirages d'une boule avec remise dans l'urne U .
Partie I.
Soit k un entier supérieur ou égal à 1. Pour tout i ∈ J1; nK, on note Xi la variable aléatoire égale au
nombre d'obtentions de la boule numéro i au cours des k premiers tirages.
1. Soit i ∈ J1; nK. DOnner la loi de la variable Xi . Rappeler l'espérance et la variance de Xi .
2. Les variables aléatoires X1 , X2 , . . . , Xn sont-elles indépendantes ?
3. Soit (i, j) ∈ J1; nK2 tel que i 6= j .
(a) Déterminer la loi de la variable aléatoire Xi + Xj . Rappeler la variance de Xi + Xj .
(b) En déduire la covariance du couple (Xi , Xj ).
Pour tout entier k supérieur ou égal à 1, on note Zk la variable aléatoire égale au nombre de numéros
distincts obtenus au cours des k premiers tirages et on note E(Zk ) l'espérance de Zk .
Partie II.
1. Déterminer la loi de la variable aléatoire Z1 et la loi de la variable aléatoire Z2 .
En déduire E(Z1 ) et E(Z2 ).
2. Soit k un entier supérieur ou égal à 1.
(a) Déterminer P(Zk = 1) et déterminer P(Zk = k).
(b) Montrer, pour tout l ∈ J1; nK : P(Zk+1 = l) =
(c) En déduire : E(Zk+1 =
n−1
n E(Zk )
l
n
P(Zk = l) +
n−l+1
n
P(Zk = l − 1).
+ 1.
3. (a) Montrer que la suite (vk )k>1 , de terme général vk = E(Zk ) − n, est une suite géométrique.
(b) En déduire, pour tout entier k supérieur ou égal à 1 : E(Zk ) = n 1 −
n−1 k
n
.
2
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Exercice 3 (Ecricome 2012)
Soit n un entier naturel non nul. Une entreprise dispose d'un lot du n feuilles originales qu'elle a numérotées l, 2, · · · , n. Elle photocopie ces n feuilles originales et souhaite que chaque original soit agrafé avec
sa copie. L'entreprise programme le photocopieur an que chaque original soit agrafé avec sa copie. Cependant . suite à un défaut informatique, la photocopieuse a mélangé les originaux et les copies. L'entreprise
décide donc de placer les n originaux et les n copies dans une boite. Une personne est alors chargée du
travail suivant : elle pioche simultanément et au hasard 2 feuilles dans la boite. S'il s'agit d'un original et
de sa copie, elle les agrafe et les sort de la boite. Sinon, elle repose les deux feuilles dans la, boite et elle
recommence.
On modélise l'expérience par un espace probabilité (Ω, B, P). Soit Tn la variable aléatoire égale au nombre
de pioches qui sont nécessaires pour vider la boite lorsque celle-ci contient n originaux et n copies (soit
2n feuilles).
On considère l'événement An : à l'issue de la première pioche, les deux feuilles piochées ne sont pas
agrafées et an sa probabilité c'est-à-dire que an = P (An ).
1. Calculer an .
2. Étude de T2 . On suppose dans cette question que n = 2, c'est-à-dire que la boite contient deux
originaux et deux copies.
(a) Montrer que pour tout entier k > 2 : P (T2 = k) = (1 − a2 ) (a2 )k−2 .
(b) Justier que la variable S2 = T2 − 1 suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre.
En déduire l'espérance et la variance de T2 en fonction de a2
3. Étude de T3 . On suppose dans cette question que n = 3, c'est-à-dire que la boite, contient trois
originaux et trois copies.
(a) Calculer P (T3 = 2) puis P (T3 = 3) en fonction de a2 et a3
(b) A l'aide du système complet d'événements A3 , A3 démontrer pour tout k > 2 que :
P (T3 = k + 1) = (1 − a3 ) P (T2 = k) + a3 P (T3 = k)
(c) Montrer que :
k > 2,
(d) Calculer
+∞
X
P (T3 = k) =
i
(1 − a2 ) (1 − a3 ) h
k−2
k−2
(a3 )
− (a2 )
.
a3 − a2
P (T3 = k) .
k=2
(e) Prouver que la variable aléatoire T3 − 1 admet une espérance et calculer E (T3 − 1).
Donner la valeur de E (T3 ) en fonction de a2 et a3 .
(f) Établir que la variable aléatoire T3 (T3 − 1) admet une espérance et donner sa valeur en fonction
de a2 et a3 .
En déduire que T3 admet une variance.
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Exercice 4 (Edhec 2007)
On admet que si Z1 et Z2 sont deux variables aléatoires à densité, dénies sur le même espace probabilisé,
alors leur covariance, si elle existe, est dénie par :
Cov (Z1 , Z2 ) = E (Z1 Z2 ) − E (Z1 ) E (Z2 )
On admet également que si Z1 et Z2 sont indépendantes alors leur covariance est nulle.
On considère deux variables aléatoires réelles X et U dénies sur le même espace probabilisé (Ω, A, P) ,
indépendantes, X suivant la loi normale N (0, 1) et U suivant la loi discrète uniforme sur {−1, 1} .
On pose Y = U X et on admet que Y est une variable aléatoire à densité , dénie elle aussi sur l'espace
probabilisé (Ω, A, P) .
1. (a) En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que :
P (Y 6 x) = P ([U = 1] ∩ [X 6 x]) + P ([U = −1] ∩ [X > −x])
(b) En déduire que Y suit la même loi que X.
2. (a) Calculer l'espérance de U puis montrer que E (XY ) = 0
(b) En déduire que Cov (X, Y ) = 0.
3. (a) Rappeler la valeur de E X 2 et en déduire que
(b) Montrer, grace à une intégrationpar parties que
Z
∀A ∈ R+ :
A
2
4 − x2
x e
R +∞
0
x2 e−
x2
2
1
2
Z
A
2
3 − A2
dx = −A e
+3
0
√
=
2π
x2 e−
x2
2
dx
0
3√
2π.
2
(d) Etablir nalement que X possède un moment d'ordre 4 et que E X 4 = 3
4. (a) Vérier que E X 2 Y 2 = 3
(b) Déterminer Cov X 2 , Y 2
(c) En déduire que l'intégrale
R +∞
0
x4 e−
x2
2
dx converge et vaut
(c) En déduire que X 2 et Y 2 ne sont pas indépendantes. Montrer alors que X et Y ne le sont pas
non plus.
(d) Cet exercice a permis de montrer qu'un résultat classique concernant les variables discrètes est
encore valable pour les variabales à densité. Lequel ?
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