Chapitre 2 Formes bilinéaires et sesquilinéaires

Chapitre 2
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Formes bilin´ eaires et sesquilin´ eaires
Formes bilin´ eaires et sesquilin´ eaires
Formes bilin´ eaires et sesquilin´ eaires
Formes bilin´ eaires et sesquilin´ eaires
Formes bilin´ eaires et sesquilin´ eaires
Formes bilin´ eaires et sesquilin´ eaires
Formes bilin´ eaires et sesquilin´ eaires
Kd´esigne un corps commutatif.
I. Formes bilin´ eaires
1) D´ efinitions - exemples - utilisation des matrices
D´efinition.- Soient E, F, G des espaces vectoriels sur K. Soit ϕ:E×F−→ Gune application. On
dit que ϕest bilin´eaire, si on a :
1) Pour tout x∈Efix´e, l’application partielle :
ϕ1(x) : F−→ Gest lin´eaire.
y7−→ ϕ(x, y)
2) Pour tout y∈Ffix´e, l’application partielle :
ϕ2(y) : E−→ Gest lin´eaire
x7−→ ϕ(x, y)
c’est-`a-dire qu’on a :
∀(x1, x2, x)∈E3,∀(y1, y2, y)∈F3,∀(λ, µ)∈K2.
ϕ(x, λy1+µy2) = λϕ(x, y1) + µϕ(x, y2)
ϕ(λx1+µx2, y) = λϕ(x1, y) + µϕ(x2, y)
Si ce plus on a G=K, on dit que ϕest une forme bilin´eaire.
Notation.- On notera B(E, F ;G) l’espace vectoriel sur Kdes applications lin´eaires de E×Fdans
G.
Exercice.- Avec les notations de la d´efinition
1) montrer qu’on a :
ϕ1∈ LKE, LK(F, G)
ϕ2∈ LKF, LL(E, G).
2) Comparer les espaces vectoriels B(E, F ;G), LE, L(F, G),LF, L(E, G).
Exemples
1) L’application K×K−→ Kest bilin´eaire
(x, y)7−→ x·y.
2) Soit n∈Nn≥1. Soit ϕ:Kn×Kn−→ Kdonn´ee par :
ϕ(x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn)=
n
X
i=1
xiyi
alors ϕest bilin´eaire.
Pour K=R,n= 2 ou n= 3 on obtient le produit scalaire usuel sur R2ou R3.
1

3) Pour Eespace vectoriel sur K, on a d´ej`a vu que l’application :
E×E∗−→ K
(x, f)7−→ f(x)
est une forme bilin´eaire.
4) Si f1et f2sont lin´eaires, et ϕbilin´eaires, alors l’application (x, y)7−→ ϕf1(x), f2(y)est
bilin´eaire.
Exemple : Eet Fdes espaces vectoriels sur K.
Si f∈E∗, g ∈E∗,alors l’application E×F−→ K
(x, y)7−→ f(x)·g(y) est bilin´eaire not´ee f⊗g
5) Si fest lin´eaire et ϕbilin´eaire, alors l’application ψ: (x, y)7−→ f(ϕ(x, y)) est bilin´eaire.
Exemples : a) E=M(n×n, K) et ψ:E×E−→ K
(AB)7−→ Trace (tBA).
b) E=R[X] et ψ:E×E−→ K
(P, Q)7−→ Z1
0
P(t)Q(t)dt.
Proposition.- Expression dans des bases de Eet F
Soit Eun espace vectoriel sur Kde dimension net de base e1, . . . , en.
Soit Fun espace vectoriel sur Kde dimension met de base f1, . . . , fm.
1) Soit ϕ∈ B(E, F ;K). Alors on a :
∀(x1, . . . , xn)∈Kn,∀(y1, . . . , ym)∈Km.
ϕn
X
i=1
xiei,
m
X
j=1
yjfj=X
i=1...n
j=1...m
xiyjϕ(ei, fj).
2) Pour toute famille (aij )i∈{1...n}
j∈{1...m}
d’´el´ements de K, il existe un unique ´el´ement ϕde B(E, F ;K)
tel qu’on ait : ∀i, j ϕ(ei, fj) = aij .
3) On a dim B(E, F ;K) = mn.
D´emonstration –
1) On a : ϕn
X
i=1
xiei,
m
X
j=1
yjfj=
n
X
i=1
xiϕei,
m
X
j=1
yjfj
| {z }
m
X
k=1
yjϕ(ei, fj)
.
2) R´eciproquement si la famille (ai,j ) est donn´ee, on d´efinit ϕpar la formule :
ϕn
X
i=1
xiei,
m
X
j=1
yjfj=X
i,j
xi·yjai,j .
Il est imm´ediat que ϕest bilin´eaire et que c’est l’unique forme bilin´eaire sur E×Ftelle
que ∀i, j ϕ(ei, fj) = aij .
3) L’application ϕ7−→ (ai,j )i,j est un isomorphisme de B(E, F ;K) sur Km.n d’o`u le r´esultat.
D´efinition.- Avec les notations pr´ec´edentes la matrice A=ϕ(ei, fj)i∈{1...n}(indice de ligne)
j∈{1...m}(indice de colonne)
s’appelle la matrice de ϕpour les bases (e1, . . . , en) et (f1, . . . , fm).
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Exemples - Exercices
1) On peut d´emontrer de fa¸con analogue qu’on a un isomorphisme B(E, F ;G)'Gmn pour G
espace vectoriel sur K.
2) Supposons K=RE=F=R2.
Une forme bilin´eaire sur R2s’exprime donc en utilisant 4 coefficients a11, a12, a21, a22 :
ϕ(x1, x2),(y1, y2)=a11x1y1+a12x1y2+a21x2y1+a22x2y2.
En particulier le produit scalaire usuel exprim´e sous la forme x1y1+x2y2a pour matrice
I2=1 0
0 1 .
3) Avec les notations de la d´efinition, exprimer en fonction de la matrice Ade ϕles matrices de :
ϕ1∈ L(E, F ∗) pour les bases (ei),(f∗
j)
ϕ2∈ L(F, E∗) pour les bases (fi),(e∗
j).
Proposition : Expression matricielle de ϕ
Soit Eun espace vectoriel sur Kde base B= (e1, . . . , en).
Soit Fun espace vectoriel sur Kde base B0= (f1, . . . , fm).
Soit ϕ∈ B(E, F ;K) de matrice Apour ces bases.
Soit x∈Ede composantes (x1, . . . , xn) pour B.
Soit y∈Fde composantes (y1, . . . , ym) pour B0.
Alors on a ϕ(x, y) = tXAY o`u X=
x1
.
.
.
xn
,Y=
y1
.
.
.
ym
.
D´emonstration – On a :
ϕ(x, y) =
n
X
i=1
xim
X
j=1
aij yjpour A= (aij )
= [x1, . . . , xn]
m
X
j=1
a1jyj
.
.
.
m
X
j=1
anj yj
|{z }
A
y1
.
.
.
ym
=tX AY
Remarque. Avec les mˆemes notations, si B∈M(n×m, K) et si on a :
∀X∈M(n×1, K),∀Y∈M(m×1, K)tXAY =tXBY , alors on obtient, en posant B= (bij )
∀(x1. . . xn, y1. . . ym)∈Kn+mX
i,j
xiyj, aij =X
i,j
xiyjbij et donc on a A=B.
Proposition : Formule de changement de bases
Soit Eespace vectoriel sur Kde bases 
(e1, . . . , en)
et
(e0
1, . . . , e0
n)
avec P= Pass(ei),(e0
i).
Soit Fespace vectoriel sur Kde bases 
(f1, . . . , fm)
et
(f0
1, . . . , f0
m)
avec Q= Pass(fi),(f0
i).
3

Soit ϕ∈ B(E, F ;K) de matrices :
Apour les bases (ei) et (fj)
A0pour les bases (e0
i) et (f0 j).
Alors on a :
A0=tPAQ
Remarque. On fera attention `a ne pas confondre cette formule avec la formule de changement de
bases pour les endomorphismes (Q−1AP - revoir vos notes).
D´emonstration de la proposition – Avec des notations ´evidentes on a :
∀(x, y)ϕ(x, y) = tXAY, P X0=X, QY 0=Y
=tX0(tP AQ)Y0
=tX0·A0·Y0.
D’o`u A0=tP AQ.
Corollaire et d´efinition.- Le rang de la matrice de ϕest ind´ependant du choix des bases de E
et F: c’est le rang de ϕ.
Remarque. On aurait pu d´emontrer ce r´esultat en remarquant que rangA= rangϕ1= rangϕ2et
ϕ1et ϕ2ind´ependantes du choix des bases.
2) Orthogonalit´ e
D´efinitions - notations
Soient Eet Fdes espaces vectoriels sur K.
ϕ:E×F−→ Kune forme bilin´eaire.
1) Soit (x, y)∈E×Ftel que ϕ(x, y) = 0 on dira que xest orthogonal `a ypour ϕ, on notera x⊥y.
2) Soit A⊆E. On pose A⊥={y∈F / ∀a∈A ϕ(a, y) = 0}
3) Soit B⊆F. On pose ⊥B={x∈E / ∀b∈B ϕ(x, b)=0}.
Exemples - remarques
1) On retrouve les d´efinitions et notations donn´ees dans le cas particulier de la dualit´e pour :
ϕ:E×E∗−→ K
(x, f)7−→ f(x).
2) Supposons K=RE=R3=F.
ϕ:E×E−→ Rproduit scalaire usuel.
Alors si ∆(resp .P ) est une droite vectorielle (resp .un plan vectoriel), ∆⊥(resp .P ⊥) est le plan
orthogonal `a ∆ (resp .la droite orthogonale `a P). De plus, ∀A⊆E A⊥=⊥A.
4

Ex : soit ∆ = R(2,3,4) on a :
∆⊥={(x, y, z)/2x+ 3y+ 4z= 0}= un plan vectoriel P
P⊥={(x, y, z)/∀(x0, y0, z0)∈R32x0+ 3y0+ 4z0= 0 ⇒xx0+yy0+zz0= 0}
(x0, y0, z0)∈(2e∗
1+ 3e∗ 2+ 4e∗ 3)⇒(x0, y0, y0)∈(xe∗ 1+. . .)
o`u d´esigne l’orthogonal pour la dualit´e, et (e∗
1, e∗ 2, e∗ 3) la duale de la base canonique.
P⊥={(x, y, z)/(2e∗
1+ 3e∗ 2+ 4e∗ 3)⊆(xe∗ 1+ye∗ 2+ze∗ 3) c’est-`a-dire :
(xe∗
1+ye∗ 2+ze∗ 3)∈R(2e∗ 1+ 3e∗ 2+ 4e∗ 3)
=R(2,3,4) : on retrouve la droite ∆.
3) On consid`ere dans le plan affine d’´equation z= 1 de R3, l’ellipse d’´equation 3x2+ 2y2−1 = 0.
Soit Cle cˆone s’appuyant sur cette ellipse Eil a
pour ´equation :
3x2+ 2y2−z2= 0.
Soit ϕ:R3×R3−→ Rdonn´ee par :
ϕ(x1, x2, x3),(y1, y2, y3)= 3x1y1+ 2x2y2−x3y3.
Deux points Met M0du plan d’´equation z= 1 sont dits conjugu´es par rapport `a la conique C
si on a ϕ(M, M 0) (cf. pˆoles et polaires).
Or ϕnon d´eg´en´er´ee. On v´erifiera plus loin que si Fsous espace vectoriel de R3on a alors
dim F⊥= 3 −dim F(orthogonalit´e relative `a ϕ).
Donc M⊥est un plan vectoriel de R3coupant (sauf si c’est le plan z= 0) le plan z= 1 suivant
une droite : on trouve la polaire de Mpar rapport `a E.
Exercice.- Montrer que si M∈ E la polaire est la tangente `a Een M(on se place dans le plan
z= 1).
4) On utilise ´egalement la notion d’orthogonalit´e en analyse, par exemple :
K=R
E=F= espace des applications continues [0 2π]−→ R
ϕ:E×E−→ Rdonn´ee par :
ϕ(f, g) = Z2π
0
f(t)g(t)dt.
Propri´et´es imm´ediates
Soient Eet Fdes espaces vectoriels et sur K
ϕ:E×F−→ Kune forme bilin´eaire.
1) Si A⊆E, alors A⊥est un sous espace vectoriel de F.
A⊥=Vect(A)⊥.
2) Si A⊆B⊆Ealors B⊥⊆A⊥.
3) Si A⊆Ealors A⊆⊥(A⊥).
4) Si E1et E2sont des espaces vectoriels de Ealors on a : (E1+E2)⊥=E⊥
1∩E⊥ 2.
1’) 2’) 3’) 4’) : on peut ´enoncer les propri´et´es analogues pour l’orthogonalit´e `a gauche.
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