Sujet 1 : En hommage `a Euler !

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eiπ+1=0eiπ+1=0eiπ+1=0
Sujet 1 : En hommage `a Euler !
On attachera la plus grande importance `a la clart´e, `a la pr´ecision et `a la concision
de la r´edaction.
⋆⋆⋆
Si n0est un entier naturel et si (un)nÊn0est une suite de r´eels non nuls, on lui
associe la suite (Pn)nÊn0, d´efinie pour tout entier naturel nÊn0par :
Pn=
p=n
Y
p=n0
up=un0×un0+1× · · · un.
On dit que le produit infini Y
nÊn0
un, de terme g´en´eral un, converge si la suite
(Pn)nÊn0converge vers un nombre fini non nul. On notera alors
∞
Y
n=n0
unsa limite.
Si la suite (Pn)nÊn0n’admet pas de limite finie ou si elle converge vers 0on dit que
le produit Y
nÊn0
undiverge.
I. G´en´eralit´es et exemples
1. En consid´erant le quotient Pn+1
Pn
, montrer que, pour que le produit infini (Pn)nÊ0
converge, il est n´ecessaire que la suite (un)nÊ0converge vers 1.
2. Soit (un)nÊ0une suite de r´eels non nuls qui converge vers 1.
a. Montrer qu’il existe un entier naturel n0tel que pour tout entier nÊn0,
un>0.
b. Montrer que les produits infinis Y
nÊ0
unet Y
nÊn0
unsont de mˆeme nature.
3. On suppose dans cette question que (un)nÊ0est une suite de r´eels strictement
posittifs.
a. Montrer que le produit infini Y
nÊ0
unconverge si et seulement si la s´erie
X
nÊ0
lnunconverge .
b. Montrer que le produit infini Y
nÊ0
(1+un)converge si et seulement si la
s´erie X
nÊ0
unconverge .
c. Si, de plus, pour tout entier naturel non a 0<un<1, montrer que le pro-
duit infini Y
nÊ0
(1−un)converge si et seulement si la s´erie X
nÊ0
unconverge.
4. D´eterminer la nature des produits infinis :
a. Y
nÊ1µ1−1
4n2¶.
b. Y
nÊ1µ1−x2
n2π2¶pour xr´eel, x∈]−π;π[.
c. Y
nÊ1³1+x
n´e−x
npour xr´eel, x∈]0; +∞[.
5. Application. Un peu d’histoire...
a. Retrouver, en utilisant un produit infini, que la s´erie harmonique X
nÊ1
1
n
diverge.
b. Si pest entier naturel pÊ2, que vaut
+∞
X
k=0
1
pk?
c. On note ¡pn¢nÊ1la suite des nombres premiers rang´es dans l’ordre
croissant : p1=2, p2=3p3=5, p4=7, p5=11...
Voici un extrait d’un texte ´ecrit par L´eonhard Euler (math´ematicien
suise) en 1737 («Introduction `a l’analyse infinit´esimale ») :
«... Donc la s´erie est toujours compos´ee d’un nombre infini de termes,
quelque soit le nombre des facteurs infinis ou finis.
Par exemole, on aura 1
1−1
2
=1+1
2+1 4+1 8+1 16 +1 32 +etc. s´erie o`u
se trouvent tous les nombres qui peuvent ˆetre form´es seulement par la
multiplication du nombre deux ; c’est-`a-dire toutes les puissances de deux.
On aura ensuite 1
¡1−1
2¢¡1−1 3¢=1+1
2+1 3+1 4+1 6+1 8+1 9+1 12 +1 16 +1 18 +
etc. On ne retrouve ici que les nombres form´es par la combinaison des
nombres 2et 3, ou qui n’ont d’autres diviseurs que 2et 3. Donc, si
au lieu de α,β,γ,δ,etc., on ´ecrit l’unit´e divis´ee par tous les nombres
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premiers, et qu’on suppose P=1
¡1−1
2¢¡1−1 3¢¡1−1 5¢¡1−1 7¢¡1−1 11 ¢etc. ,on
aura P=1+1
2+1 3+1 4+1 5+1 6+1 7+1 8+1 9+etc. , s´erie qui comprend tous les
nombres, tant les nombres premiers que ceux qui en sont form´es par la
multiplication. Or, comme tous les nombres sont ou des nombres premiers
ou des nombres compos´es de ceux-ci par la multiplication, il est ´evident
qu’on doit trouver ici tous les nombres entiers dans les d´enominateurs... »
Utiliser librement ce texte pour montrer que la s´erie X
nÊ1
1
pn
diverge.
II. D´eveloppement eul´erien du sinus et formule de Wallis.
Pour αr´eel et non entier, on d´efinit l’application fα:R→Rde p´eriode 2πpar :
∀t∈[−π;π], fα(t)=cos(αt).
Pour tr´eel tel que sin(t)6= 0, on pose cotan(t)=cos t
sin t.
6. D´evelopper fαen s´erie de Fourier et en d´eduire que :
cotan(απ)=1
απ +
∞
X
n=1
2α
π¡α2−n2¢.
7. Soit x∈]0;π[, on d´efinit la fonction gsur [0; x]par :
g(t)=cotan(t)−1
tsi t∈]0; x]et g(0) =0.
a. Montrer que la fonction gest continue sur [0; x]et calculer Zx
0
g(t)dt .
b. Montrer que pour tout t∈[0; x], g(t)=2t
∞
X
n=1
1
t2−n2π2.
c. Montrer que
∞
Y
n=1µ1−x2
n2π2¶=sin x xet en d´eduire le d´eveloppement eul´erien
de sin x:∀x∈]−π;π[, sin x=x
∞
Y
n=1µ1−x2
n2π2¶.
8. Application. D´eterminer
∞
Y
n=1µ1−1
4n2¶(Formule de Wallis).
III. Formule de Weierstrass et constante d’Euler.
9. Soit x∈]0;+∞[.
a. Montrer que la fonction t7→ e−t×tx−1est int´egrable sur ]0;+∞[.
On pose, pour x∈]0;+∞[,Γ(x)=Z+∞
0
e−ttx−1dt .(Fonction Gamma d’Euler).
b. Calculer Γ(1).
c. Montrer que la fonction Γest d´erivale sur ]0;+∞[et d´eterminer Γ′(x)sous
forme d’int´egrale.
10. Soit la suite de fonctions ¡fn¢nÊ1d´efinies sur ]0;+∞[par :
∀t∈]0;n], fn(t)=µ1−t
n¶n
∀t∈]n;+∞[, fn(t)=0.
a. Montrer que pour tout t∈]0;+∞[: 0 Éfn(t)Ée−t.
b. En d´eduire que, pour tout x∈]0;+∞[:
Γ(x)=lim
n→+∞ Zn
0µ1−t
n¶n
tx−1dt .
11. On pose pour nentier naturel et pour x∈]0;+∞[: In(x)=Z1
0
(1−u)nux−1du.
a. D´eterminer, pour nÊ1, une relation entre In(x)et In−1(x+1).
b. En d´eduire, pour nentier naturel et pour x∈]0; +∞[,In(x).
c. D´emontrer la formule de Gauss :
∀x∈]0;+∞[, Γ(x)=lim
n→+∞
n!nx
n
Y
k=0
(x+k)
.
12. Application.
a. Montrer que pour tout x∈]0;1[: 1
Γ(x)Γ(1 −x)=x
+∞
Y
n=1µ1−x2
n2¶.
b. D´eterminer alors pour tout x∈]0;1[, une expression simple de Γ(x)Γ(1−x).
(Formule des compl´ements.)
c. En d´eduire Z+∞
0
e−u2du.
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13. Pour tout entier nÊ2, on pose un=Zn
n−1
1
tdt −1 n.
a. Expliquer simplement pourquoi la s´erie X
nÊ2
unconverge.
b. Pour tout entier nÊ1, on pose vn=1+1
2+... +1 n−ln n.
Montrer que la suite (vn)nÊ1converge. Sa limite not´ee γest la constante
d’Euler.
14. D´emontrer la formule de Weiertrass :
∀x∈]0;+∞[, 1
Γ(x)=xeγx+∞
Y
n=1³1+x
n´e−x
n.
(Cette formule permet, par un produit infini complexe, de d´efinir la fonction
Γpour tout z∈C\(Z−)par : 1
Γ(z)=zeγz
+∞
Y
n=1³1+z
n´e−z
n..)
15. Application.
a. Montrer que pour tout x∈]0;1] :
Γ′(x)
Γ(x)=−1 x−γ+
+∞
X
n=1
x
n(n+x).
b. En d´eduire Z+∞
0
e−tln td t .
••• Fin •••
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