A20 - Dichotomie

TPMat
h
dICHOTOMIE
Algobox
A20
Du grec qui signifie : « couper en deux »
L'objectif de ce module est la recherche d'une valeur approchée de la solution d'une équation f(x) = 0
par dichotomie où f est une fonction donnée strictement monotone (croissante ou décroissante sur [ a; b ] )
I – Approche de la méthode
On considère la fonction f définie sur [ -2 ; 3] par :
3
( ) 2 2f x x x  
1. Etude graphique :
a) Faire afficher la courbe représentative de cette fonction sur l'écran de votre calculatrice,
dans un repère adapté.
b) Combien de solutions l'équation
f ( x ) = 0 a-t-elle ? ………………..
2. Principe de la dichotomie :
La courbe qui représente la fonction f est
représentée partiellement ci-contre.
0
x
est la solution de f(x) = 0 dont on cherche
une valeur approchée.
a) Compléter le tableau de valeurs :
0 et 1 ont des images de signes opposés par f.
0
01x
b) Calculer la moyenne m de a et de b.
………………….…………………………..
Quelle "place" occupe le m sur l'axe des
abscisses par rapport à a et b ?
………………….…………………………..
Faire apparaître m et f(m) sur le graphe.
c) Calculer l'image de m par la fonction f :
f(m) = ……………………….
Comparer les signes de f(m) et de f(b) :
x
a = 0
b = 1
()fx
NOM Prénom :

………………………………………………
d) On a donc :
f(m) et f(b) sont de signe contraire donc
0
x
est entre m et b et donc
0
0,5 1x
On va donc prendre a = 0,5 et b = 1 , …
Compléter, à l’aide de la calculatrice, les tableaux et encadrements suivants :
( On pourra donner des valeurs approchées ) :
f (………) et f (………) sont de signe contraire donc
0
........... ............x
f (………) et f (………) sont de signe contraire donc
0
........... ............x
f (………) et f (………) sont de signe contraire donc
0
........... ............x
x
a = 0
m = 0,5
b = 1
()fx
-2
- 0,875
1
x
a = 0,5
m = ………
b = 1
()fx
- 0,875
…………
1
x
a = ………
m = ………
b = ………
()fx
…………
…………
…………
x
a = ………
m = ………
b = ………
()fx
…………
…………
…………

II – Un algorithme de dichotomie On se propose, grâce à un algorithme, de donner une valeur
approchée aussi précise que possible de la solution
0
x
de l'équation f ( x ) = 0, où
3
( ) 2 2f x x x  
.
Programmer l’algorithme ci-dessous avec algobox.
Tester ce programme ( prendre a = 0 et b = 1 )
a) pour N = 4, et donner un encadrement de
0
x
: ……………………………………
b) pour N = 10, et donner un encadrement de
0
x
: …………………….……………
III – Améliorations de l’algorithme de dichotomie
Le problème de cet algorithme est que l'on ne sait pas
à priori quelle sera la précision du résultat.
On peut l'améliorer en remplaçant
la boucle « Pour... »
par une boucle « Tant que... »
Programmer l’algorithme ci-contre avec algobox.
( On pourra compléter le précédent )
Algorithme DICHO2
Variables
a
,
b
,
m
, e : nombres réels
f
: fonction
Entrées
Saisir
a
,
b
, e
Saisir
f
Traitement
Tant que
b a e
faire :
m
prend la valeur
2
ab
Si
()fm
()fa
> 0 alors
a
prend la valeur
m
sinon
b
prend la valeur
m
Fin tant que
Sorties
Dans Algobox, il n’y a pas de distinction
entre nombres réels et nombres entiers.
Ce sont des NOMBRES.
Deux nombres sont de même signe
si leur produit est positif
Deux nombres sont de signe contraire
si leur produit est négatif
e b a
est :
la précision de l’encadrement,
ou encore
l’amplitude de l’intervalle [a,b]
Dans Algobox, ces lignes ne figurent pas !
La fonction sera saisie dans
« Utiliser une fonction numérique »
On écrira : F1(x) = pow(x,3)+2*x-2
Algorithme DICHO1
Variables
a
,
b
,
m
: nombres réels
k, N : entiers naturels
f
: fonction
Entrées
Saisir
a
,
b
, N
Saisir
f
Traitement
Pour k variant de 1 à N
m
prend la valeur
2
ab
Si
()fm
()fa
> 0 alors
a
prend la valeur
m
sinon
b
prend la valeur
m
Fin pour
Sorties
Afficher
a
,
b

Afficher
a
,
b
Tester ce programme et déterminer un encadrement de
0
x
a) à
1
10 près
: ………………………………………………………………………….
b) à
2
10 près
: ………………………………………………………………………….
IV – Utilisations de l’algorithme de dichotomie
1. Avec la même fonction :
a) Combien de solutions l'équation f ( x ) = 5 a-t-elle ? …………………………………………
b) Comment adapter ce programme pour trouver un encadrement de la solution ?
…………………………………………………………………………………………………..
c) Utiliser ce programme et déterminer un encadrement de la solution à
2
10 près
:
………………………………………………………………………….
2. Avec une autre fonction :
On considère la fonction f définie sur IR par :
32
( ) 3 1f x x x x   
a) A l’aide de la calculatrice ( ou GeoGebra ), déterminer le nombre de solutions l'équation
f ( x ) = 0 :
………………………………………………………………………………………
b) Déterminer également un intervalle d’amplitude 1 de chacune des solutions :
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
c) Utiliser le programme 2 pour déterminer un encadrement de chaque solution à
2
10 près
:
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..