A20 - Dichotomie
publicité
TPMat h dICHOTOMIE Du grec qui signifie : « couper en deux » Algobox A20 NOM Prénom : L'objectif de ce module est la recherche d'une valeur approchée de la solution d'une équation f(x) = 0 par dichotomie où f est une fonction donnée strictement monotone (croissante ou décroissante sur [ a; b ] ) I – Approche de la méthode On considère la fonction f définie sur [ -2 ; 3] par : f ( x) x 2 x 2 3 1. Etude graphique : a) Faire afficher la courbe représentative de cette fonction sur l'écran de votre calculatrice, dans un repère adapté. b) Combien de solutions l'équation f ( x ) = 0 a-t-elle ? ……………….. 2. Principe de la dichotomie : La courbe qui représente la fonction f est représentée partiellement ci-contre. x0 est la solution de f(x) = 0 dont on cherche une valeur approchée. a) Compléter le tableau de valeurs : x a=0 b=1 f ( x) 0 et 1 ont des images de signes opposés par f. 0 x0 1 b) Calculer la moyenne m de a et de b. ………………….………………………….. Quelle "place" occupe le m sur l'axe des abscisses par rapport à a et b ? ………………….………………………….. Faire apparaître m et f(m) sur le graphe. c) Calculer l'image de m par la fonction f : f(m) = ………………………. Comparer les signes de f(m) et de f(b) : ……………………………………………… d) On a donc : x a=0 m = 0,5 b=1 f ( x) -2 - 0,875 1 f(m) et f(b) sont de signe contraire donc x0 est entre m et b et donc 0,5 x0 1 On va donc prendre a = 0,5 et b = 1 , … Compléter, à l’aide de la calculatrice, les tableaux et encadrements suivants : ( On pourra donner des valeurs approchées ) : x a = 0,5 m = ……… b=1 f ( x) - 0,875 ………… 1 f (………) et f (………) sont de signe contraire donc x a = ……… m = ……… b = ……… f ( x) ………… ………… ………… f (………) et f (………) sont de signe contraire donc x a = ……… m = ……… b = ……… f ( x) ………… ………… ………… f (………) et f (………) sont de signe contraire donc ........... x0 ............ ........... x0 ............ ........... x0 ............ II – Un algorithme de dichotomie On se propose, grâce à un algorithme, de donner une valeur approchée aussi précise que possible de la solution x0 de l'équation f ( x ) = 0, où f ( x) x3 2 x 2 . Algorithme DICHO1 Variables a , b , m : nombres réels k, N : entiers naturels f : fonction Programmer l’algorithme ci-dessous avec algobox. Dans Algobox, il n’y a pas de distinction entre nombres réels et nombres entiers. Ce sont des NOMBRES. Entrées Saisir a , b , N Saisir f Dans Algobox, ces lignes ne figurent pas ! Traitement Pour k variant de 1 à N m prend la valeur ab 2 La fonction sera saisie dans « Utiliser une fonction numérique » On écrira : F1(x) = pow(x,3)+2*x-2 Si f ( m) f (a ) > 0 alors a prend la valeur m sinon b prend la valeur m Fin pour Sorties Afficher a , b Deux nombres sont de même signe si leur produit est positif Deux nombres sont de signe contraire si leur produit est négatif Tester ce programme ( prendre a = 0 et b = 1 ) a) pour N = 4, et donner un encadrement de x0 : …………………………………… b) pour N = 10, et donner un encadrement de x0 : …………………….…………… III – Améliorations de l’algorithme de dichotomie Le problème de cet algorithme est que l'on ne sait pas à priori quelle sera la précision du résultat. On peut l'améliorer en remplaçant la boucle « Pour... » par une boucle « Tant que... » Algorithme DICHO2 Variables a , b , m , e : nombres réels f : fonction Entrées Saisir a , b , e Saisir f Traitement Tant que b a e faire : m prend la valeur Programmer l’algorithme ci-contre avec algobox. ( On pourra compléter le précédent ) Si f ( m) f (a ) > 0 alors a prend la valeur m sinon b prend la valeur m Fin tant que e b a est : la précision de l’encadrement, ou encore l’amplitude de l’intervalle [a,b] ab 2 Sorties Afficher a , b Tester ce programme et déterminer un encadrement de x0 a) à 101 près : …………………………………………………………………………. b) à 102 près : …………………………………………………………………………. IV – Utilisations de l’algorithme de dichotomie 1. Avec la même fonction : a) Combien de solutions l'équation f ( x ) = 5 a-t-elle ? ………………………………………… b) Comment adapter ce programme pour trouver un encadrement de la solution ? ………………………………………………………………………………………………….. c) Utiliser ce programme et déterminer un encadrement de la solution à 102 près : …………………………………………………………………………. 2. Avec une autre fonction : On considère la fonction f définie sur IR par : f ( x) x x 3x 1 3 2 a) A l’aide de la calculatrice ( ou GeoGebra ), déterminer le nombre de solutions l'équation f(x)=0: ……………………………………………………………………………………… b) Déterminer également un intervalle d’amplitude 1 de chacune des solutions : ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. c) Utiliser le programme 2 pour déterminer un encadrement de chaque solution à 102 près : ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………..
