Algorithme et fonction – 2nde 1

Algorithme et fonction – 2nde 1 27 mars 2014
Le problème Déterminer les solutions de l’équation
0fx
Parfois c’est facile….. si l’on a par exemple
21f x x
ou encore
2
2f x x
Mais cela peut être plus difficile si l’on a
21f x x x  
ou encore
53
47f x x x x   
Observons la situation d’un point de vue géométrique
Il faut trouver les solutions de
0fx
Graphiquement, comme nous l’avons vu dans le premier chapitre
de 2nde, on peut lire une valeur approchée……
mais avec une précision très limitée sur ce dessin par exemple
Une solution : faire travailler une machine programmée avec
L’algorithme de la DICHOTOMIE nous permettra de trouver un encadrement de
chaque solution avec une précision aussi grande que l’on veut !
Idée principale de cet algorithme : couper un intervalle contenant une solution en deux, puis
déterminer dans quel sous intervalle se trouve la solution…et recommencer jusqu’à ce que
l’intervalle qui encadre la solution soit assez petit pour donner un encadrement de la solution précis
Variables
a : un nombre
b : un nombre
m : un nombre
f : une fonction
Instructions
Saisir a
Saisir b
TANT QUE (f(a)f(b)<0) ET (b-a>0,001)
FAIRE
m prend la valeur (a+b)/2
SI f(a)f(m) < 0
ALORS
b prend la valeur de m
SINON
a prend la valeur de m
FIN du TANT QUE
Afficher a
Afficher b
Fin du programme

On va choisir un intervalle
;ab
qui contienne la solution ici
2; 1,5
Saisir a
Saisir b
on sait que la solution est dans cet intervalle
car
fa
est positif et
fb
est négatif
(ce qui est équivalent à dire que
0f a f b 
)
On calcule
2
ab
m
puis on calcule
fm
m prend la valeur (a+b)/2
On sait que
- soit la solution est dans
;am
- soit la solution est dans
;mb
Pour savoir dans quel intervalle se trouve la solution
On regarde si
fa
et
fm
sont de signe contraire :
Si c’est vrai, alors la solution est dans
;am
Sinon (si c’est faux) la solution est dans
;mb
Pour terminer cette étape,
si la solution est dans
;am
, on choisit comme nouvel intervalle
;ab
l’intervalle
;am
(il
suffit de dire que b prend la valeur de m).
si la solution est dans
;mb
, on choisit comme nouvel intervalle
;ab
l’intervalle
;mb
(il
suffit de dire que a prend la valeur de m).
SI f(a)f(m) < 0
ALORS
b prend la valeur de m
SINON
a prend la valeur de m
Puis on recommence depuis le début jusqu’à ce que le nouvel intervalle
;ab
soit suffisamment
petit : on a alors un bon encadrement d’une solution de l’équation
0fx
TRAVAIL :
1) tester cet algorithme avec ALGOBOX (prendre comme fonction
21f x x x  
)
2) comprendre chaque détail de l’algorithme
3) Modifier l’algorithme pour qu’il puisse tenir compte du cas où m est la solution, que l’on
puisse demander à l’utilisateur la distance entre a et b.