les probabilités - Groupe des Responsables en Mathématique au

Mathieu Thibault
Étudiant au doctorat en éducation
chargé de cours et membre du GRUTEAM, UQAM,
Enseignant de mathématiques au secondaire, Collège St-Jean-Vianney
[email protected]
@ThibaultMat
À l’aide de l’outil Wordle (disponible
gratuitement en ligne à l’adresse suivante :
http://www.wordle.net/), la figure 1 a été
générée selon la fréquence d’apparition
des mots contenus dans ce texte pour
vous donner un aperçu de ce qui sera
discuté.
Quoi… un article sur l’enseignement des
probabilités?!? Mais on n’a pas le temps
d’enseigner les probabilités… D’ailleurs, on
n’a jamais été formés pour cela. Avec des
outils technologiques en plus? Ouf! Tant
pis, les élèves récupèreront les notions
avec leur enseignant de l’an prochain.
C’est un discours que j’ai entendu trop
souvent ces dernières années comme
enseignant, comme formateur et comme
apprenti-chercheur. Pourtant, le hasard
et les probabilités sont utilisés dans de
nombreux domaines, car ils apparaissent
chaque fois que nous ne savons pas avec
certitude ce qui se passera. De plus, en
prenant conscience de l’ampleur du pro-
blème du jeu excessif auprès des adoles-
cents, on peut se demander quel doit être
le rôle de l’école. Je pense que l’école, en
particulier par le biais des cours de mathé-
matiques, doit assumer sa part de res-
ponsabilité pour contrer ce fléau social en
sensibilisant les élèves aux probabilités de
gagner dans les jeux de hasard et d’argent.
Aussi, l’école doit permettre le dévelop-
pement de compétences mathématiques
et de compétences citoyennes comme
la pensée critique et la prise de décision
(Savard, 2008).
On entend aussi que les mathématiques
doivent s’enseigner de façon plus tradi-
tionnelle que d’autres disciplines scolaires
et qu’il est plus difficile d’y utiliser des ou-
tils technologiques. Il est pourtant possible
de réaliser de belles activités avec des
élèves de différents niveaux en utilisant les
TIC pour enseigner différemment… mais il
faut sortir de sa zone de confort et accep-
ter qu’on ne pourra pas prédire avec cer-
titude ce que le hasard nous réserve dans
les cours! Pour enseigner les probabilités,
on peut utiliser des logiciels de simulation
pour générer presque instantanément des
milliers de résultats d’expériences aléa-
toires. Cependant, pour faire la transition
vers des mathéma-TIC où il faut simuler
pour stimuler les élèves, quelques conseils
peuvent s’avérer utiles afin d’utiliser le
plein potentiel de ces outils technologiques
en probabilités. Par exemple, pour aborder
le concept de fréquence, pourquoi ne pas
utiliser l’outil Wordle? Il suffit de copier
et coller un texte (à l’adresse suivante :
http://www.wordle.net/) pour qu’ins-
tantanément les mots les plus fréquents
Utiliser les mathéma-TIC pour enseigner
les probabilités
PRINTEMPS-éTé 2015 | • 165 [9]
Figure 1. Wordle des mots de ce texte.
apparaissent en plus gros. C’est une belle
façon de faire découvrir ce que peut être
la fréquence auprès des élèves.
Contexte de l’article
À l’automne 2014, j’ai présenté un atelier
sur ce sujet à la séance de perfectionne-
ment du GRMS et l’intérêt général des
participants m’a encouragé à diffuser dans
cet article certaines des idées évoquées.
Pour apprécier la lecture de cet article, il
vous est suggéré de parcourir les
ressources disponibles
à cette adresse :
http://monurl.ca/probs.
Par ce texte, je vous propose d’essayer
une approche d’enseignement des
probabilités différente de l’approche
« classique » qui consiste à présenter
les notions théoriques et à proposer des
exercices. Je propose plutôt une approche
expérimentale pour stimuler les élèves et
leur faire vivre des expériences aléatoires.
Il faut toutefois au préalable se question-

[10] • 165 | PrintemPs-été 2015
ner sur la façon d’utiliser avec les élèves
un logiciel de simulation d’expériences
aléatoires. En ce sens, je ne pense pas
que les TIC soient une finalité en soi pour
l’apprentissage et l’enseignement… mais
plutôt un coffre à outils permettant à
l’élève d’aller plus loin et d’apprendre
différemment à partir de l’intention
pédagogique et didactique de l’ensei-
gnant. Dans ce cas, un outil technologique
comme un logiciel de simulation est utile
s’il permet d’approfondir des notions
probabilistes en classe et de réaliser des
tâches qui seraient bonifiées par l’apport
des TIC. Selon le modèle SAMR illustré à
la figure 2 (Substitution – Amélioration
– Modification – Redéfinition), je pense
qu’un logiciel de simulation a le potentiel
d’apporter une valeur ajoutée à l’ensei-
gnement des probabilités plutôt que de
faire exactement comme dans l’approche
« classique ».
En probabilités, il existe des logiciels de
simulation sur Internet, mais ils sont sou-
vent en anglais et ne répondent pas tou-
jours à nos besoins. La plupart des simula-
teurs accessibles sur Internet permettent
de générer sans délai un grand nombre
d’expériences aléatoires, ce qui constitue
un maillon important du développement
de la pensée probabiliste (Maheux et
Thibault, 2012; Theis et Savard, 2010a,
2010b). En fait, ces outils peuvent jouer
différents rôles : générer des résultats,
représenter des résultats, jouer de façon
dynamique un résultat à la fois ou modéli-
ser des situations mathématiques à partir
d’un grand nombre de résultats. Comme
nous le verrons dans la prochaine section,
le simulateur utilisé dans mon mémoire de
maitrise (Thibault, 2011) est un exemple
d’outil technologique qui peut remplir tous
ces rôles s’il est utilisé à son plein potentiel
à travers des activités riches.
Idées d’activités pour
enseigner les probabilités
Dans les ressources que je vous partage en
ligne (http://monurl.ca/probs) concernant
l’enseignement des probabilités par une
approche expérimentale, vous trouverez
plusieurs idées d’activités. D’abord, on
retrouve une série d’articles de presse
pour nous informer sur le fonctionnement
de certains jeux de hasard et d’argent («La
roulette anglaise», par exemple) ou pour
susciter une réflexion critique par rapport
à ceux-ci («Comment faire fortune avec le
prix d’un billet de loterie», par exemple). Il
peut s’agir de l’élément déclencheur pour
la suite de l’activité.
Ensuite, plusieurs activités ont été créées
par des enseignants, un conseiller pédago-
gique et des chercheurs en didactique des
mathématiques (sous la supervision de
François Larose, professeur à l’Université
de Sherbrooke). Ces 10 activités destinées
au premier et second cycle du secon-
daire sont disponibles en format Word et
peuvent donc être réutilisées et modifiées
au besoin. Toutes ces activités exploitent
une approche expérimentale des probabili-
tés et elles impliquent un ou plusieurs
des 8 jeux de hasard et d’argent à l’aide
d’un simulateur en ligne gratuit
(http://anniesavard.com/simulateur/),
tel qu’illustré dans la figure 3.
Figure 2. Modèle SAMR de Ruben Puentedura, traduit par Jacques Cool
Figure 3. Simulateur développé par Netmaths pour un projet de recherche avec
Annie Savard, professeure à l’Université McGill, accessible à l’adresse suivante :
http://anniesavard.com/simulateur

PrintemPs-été 2015 | • 165 [11]
Voici un exemple du simulateur dans le jeu
de Pile ou face, illustré dans la figure 4.
Comme on peut le voir, les paramètres
peuvent facilement être modifiés, un grand
nombre de simulations s’effectuent
instantanément, puis les résultats sont
représentés sous différentes formes.
À partir de la situation simple de lancers
d’une pièce de monnaie, il est possible de
travailler sur les notions mathématiques
de plusieurs niveaux scolaires : probabilités
fréquentielles en pourcentages, calcul
de moyenne, loi des grands nombres,
variabilité, espérance mathématique,
interprétation de résultats dans un tableau,
un diagramme à bandes et un diagramme
à ligne brisée, etc. Cependant, même si
un tel simulateur est potentiellement riche
pour enseigner les probabilités, cet outil
technologique ne peut pas remplacer
l’enseignant qui a la charge d’orienter la
réflexion et de faire ressortir le potentiel
de ce simulateur en l’utilisant adéquatement.
Éléments à considérer pour
enseigner les probabilités
Après avoir réalisé mon mémoire de mai-
trise (Thibault, 2011), j’ai pu mettre en
évidence certaines étapes cruciales pour
que l’enseignant anime une activité par
une approche expérimentale :
a) Énoncer la situation aléatoire et la
question à laquelle les élèves doivent
répondre;
b) Faire énoncer une conjecture intuitive
des élèves;
c) Proposer aux élèves de simuler
quelques fois l’expérience aléatoire à
partir de matériel concret et noter les
résultats;
d) Demander aux élèves de reprendre leur
conjecture et la modifier au besoin;
e) Amener les élèves à ressentir le besoin
de simuler un grand nombre de fois
l’expérience aléatoire à partir d’un outil
technologique, puis interpréter ces
résultats;
f) À nouveau, demander aux élèves de
reprendre leur conjecture et la modifier
au besoin;
g) Tous ensemble, expliquer la situation
aléatoire et tenter de trouver la proba-
bilité théorique à partir des probabilités
fréquentielles, soit les fréquences
observées lors de la simulation
d’expériences aléatoires.
Pour enseigner les probabilités selon une
telle approche expérimentale, je propose
10 recommandations (et non pas 10
commandements!) qui se sont avérées
prometteuses lors du déroulement des
activités, du moins dans mon cas :
1. Il semble bénéfique que la situation
soit concrète, simple et nécessite
la simulation d’expériences aléa-
toires. Pour que cette simulation soit
signifiante, il est préférable que le
besoin ait été créé chez l’élève. Cer-
tains d’entre eux peuvent être déjà
prêts à passer aux probabilités théo-
riques sans passer par les probabilités
fréquentielles. Dans une recherche de
Konold et al., (2011), il est suggéré
de faire d’abord travailler les élèves
autour de situations aléatoires dont
on ne peut pas connaitre les proba-
bilités théoriques. Par exemple, en
lançant une guimauve et en notant les
fréquences où elle tombe sur sa face
latérale ou sur une de ses bases, on
peut estimer la probabilité théorique
à partir de probabilités fréquentielles,
sans toutefois déterminer précisément
une probabilité théorique exacte. Par
la suite, il est proposé de travailler
avec des élèves autour de situations
comme le lancer de dés ou de pièces
de monnaie, où les probabilités fré-
quentielles pourront être « vérifiées »
en quelque sorte par les probabilités
théoriques. Cette approche pourrait
permettre d’expliciter des liens entre la
probabilité théorique et la probabilité
fréquentielle et ainsi favoriser l’utilisation
du simulateur.
2. Pour que les élèves s’impliquent acti-
vement, il semble important de leur
proposer des activités motivantes
et parfois déstabilisantes. Dans
ce sens, le choix de la situation est
primordial et il apparait intéressant
d’avoir recours à des situations
contre-intuitives (par exemple, le jeu
Les trois portes, soit le problème de
Monty Hall qui est reconnu pour son
caractère contre-intuitif) à l’occasion
pour créer un conflit cognitif et susci-
ter une réflexion plus profonde.
Figure 4. Exemple de 1000 résultats simulés dans le jeu Pile ou face

[12] • 165 | PrintemPs-été 2015
3. Il est préférable de diversifier les
types d’expériences aléatoires
(lancer de dés, roulette, tirage de
boules, tirage de cartes, etc.). Si on
utilise toujours des situations comme
le lancer d’un dé ou d’une pièce de
monnaie, on renforcera la conception
que toutes les situations sont équipro-
bables, c’est-à-dire que chaque résul-
tat a la même probabilité. Il est donc
préférable de parfois avoir recours
à des situations non équiprobables
comme de s’intéresser à la somme lors
du lancer de deux dés, étant donné
que la probabilité d’obtenir une somme
de 7 n’est pas égale à la probabili-
té d’obtenir une somme de 10, par
exemple.
4. Même si on utilise un outil technolo-
gique pour simuler les résultats d’une
expérience aléatoire, il apparait impor-
tant d’utiliser d’abord du matériel
concret. La manipulation du matériel
(dés, pièces de monnaie, cartes,
etc.) permet de bien comprendre la
situation et s’avère primordiale dans
le développement de la pensée pro-
babiliste avant de simuler. En d’autres
mots, il est souhaitable de bien doser
les moments d’utilisation du matériel
concret, puis des outils technologiques.
5. Le rôle de l’enseignant est fonda-
mental pour orienter le question-
nement et les discussions avec les
élèves. De plus, en encourageant des
discussions en grand groupe et l’op-
position des différentes conjectures,
les conceptions des élèves pourraient
potentiellement se confronter et être
ébranlées. L’enseignant, en remettant
en doute les conjectures des élèves,
fait ressortir le besoin d’aller simuler
l’expérience aléatoire afin de confirmer
ou d’infirmer leur conjecture. Cela
peut ensuite amener les élèves à se
questionner et à établir des conjec-
tures qu’ils pourraient ensuite tester à
l’aide de la simulation. Par exemple, il
serait possible de tester la conjecture
qu’il faut additionner les probabilités
d’obtenir un évènement OU un autre
évènement indépendant alors qu’il
faut multiplier la probabilité d’avoir un
évènement ET un autre évènement
indépendant ensuite.
6. Il faut comprendre quel est l’apport
du simulateur dans l’activité afin
de l’exploiter adéquatement. Que ce
soit un simulateur en ligne, un logiciel,
une macro sur Excel ou un programme
sur une calculatrice, un avantage
indéniable est la rapidité de générer
un grand nombre de résultats et de
les représenter afin d’en faire ressortir
une tendance générale. Il faut ensuite
se servir de ses résultats pour prendre
une décision, soit de participer ou non
à ce jeu par exemple.
7. La loi des grands nombres est l’élément
central du développement de la pensée
probabiliste. En effet, plus la taille de
l’échantillon augmente, plus les carac-
téristiques d’un échantillon aléatoire se
rapprochent des caractéristiques de
la population. Donc, plus le nombre de
simulations est élevé, plus la probabilité
fréquentielle devrait se rapprocher
de la probabilité théorique. Encore
ici, l’enseignant peut questionner les
élèves, par exemple sur le nombre de
simulations nécessaires pour considérer
que les résultats sont suffisamment
fiables. Il est aussi intéressant de
faire remarquer que la variabilité des
résultats diminue au fur et à mesure
que le nombre de résultats augmente,
comme l’illustre le graphique dans la
figure 4 précédente.
8. Les activités devraient mener à une
modélisation mathématique. En
effet, les élèves sont amenés à
interpréter les résultats du simulateur
de probabilités, ce qui peut être
difficile s’ils n’ont pas bien saisi l’étape
de la modélisation. Pour ce faire, on
peut d’abord utiliser le mode « pas à
pas » du simulateur pour comprendre
comment les résultats sont générés
et représentés, puis il faut ensuite se
dégager de chacun des résultats pris
individuellement pour en faire ressortir
une tendance générale à partir du
mode « turbo ». Il faut donc s’appuyer
sur de nombreux résultats observés
pour faire ressortir une tendance
mathématique afin de modéliser la
situation aléatoire dans son ensemble.
9. L’enseignant qui utilise diverses
représentations des résultats
(tableau à double entrée, diagramme
en arbre, diagramme à bandes,
graphique, etc.), en élaborant des
liens entre elles pour permettre le
passage des probabilités théoriques
aux probabilités fréquentielles,
favorise la compréhension globale de
la situation aléatoire.
10. Il faut faire attention au vocabulaire
à employer dans l’enseignement des
probabilités. Par exemple, pour ne pas
confondre la chance (au sens d’une
personne chanceuse) avec les chances
mathématiques, Savard (2008)
affirme qu’il serait préférable
d’employer les termes « possibilités »
et « probabilités ».
Créer des activités
interactives
Pour compléter les activités réalisées en
classe, il peut être intéressant de créer
des activités interactives pour les élèves
sur le site web Learning Apps. Voici un lien
vers une activité qui permet de vérifier
les connaissances des élèves sous forme
d’évaluation formative : http://monurl.ca/
exerciceprobs. Il est possible de la réutili-
ser et de la soumettre directement à vos
élèves en leur partageant ce lien ou de la
modifier en vous créant un compte gratui-
tement.
Conclusion
J’espère que ces idées vous inciteront
à mettre à l’essai une approche expéri-
mentale pour enseigner les probabilités
à vos élèves. N’hésitez pas à utiliser les
ressources partagées en ligne (http://
monurl.ca/probs), à les modifier au besoin
et à me donner votre rétroaction si vous
le souhaitez. D’ici là, bonnes expérimenta-
tions mathématiques et que la chance soit
avec vous!
Remerciements
Je tiens à remercier Caroline Lajoie et
Andréanne Parcel pour leur aide dans la
révision de ce texte.

PrintemPs-été 2015 | • 165 [13]
Références bibliographiques
Konold, C., Madden, S., Pollatsek, A., Pfannkuch, M., Wild, C., Ziedins, I., … Kazak, S. (2011). Conceptual challenges in coordinating
theoretical and data-centered estimates of probability. Mathematical Thinking and Learning, 13(1), 68–86.
Récupéré de http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/10986065.2011.538299
Maheux, J.-F. et Thibault, M. (2012). Maheux et Thibault, 2012 - Le rôle de l’évidence- une expérience en probabilité avec la
technologie. Dans Rencontre Interuniversitaire Recherche en Enseignement des Mathématiques. Guadarajara (Mexique).
Savard, A. (2008). Le développement d’une pensée critique envers les jeux de hasard et d’argent par l’enseignement
des probabilités à l’école primaire : vers une prise de décision. (thèse de doctorat non publiée). Université Laval.
Theis et Savard, A. (2010a). Linking probability to real-world situations: How do teachers make use of the mathematical
potential of simulation programs? Dans C. Reading (dir.), Data and context in statistics education: Towards an
evidence-based society (Actes de colloque du «Eigth International Conference on Teaching Statistics» : ICOTS8) (vol. 8).
Ljubljana (Slovénie).
Theis et Savard, A. (2010b). Recours à un simulateur pour enseigner les probabilités: quels défis et occasions pour des enseignants
du début du secondaire? Dans L’enseignement des mathématiques dans et à travers des contextes particuliers :
quel support didactique privilégier ? (Actes de colloque annuel du Groupe des Didacticiens des Mathématiques
du Québec : GDM). Moncton.
Thibault, M. (2011). Apprentissage des probabilités chez des élèves du secondaire dans une séquence d’enseignement
basée sur la simulation de jeux de hasard et d’argent : émergence de conceptions. (mémoire de maitrise non publié,
Université du Québec à Montréal). Récupéré de http://www.archipel.uqam.ca/4374/