[ ] ] ENSEMBLES ET LOGIQUE

1
♦ « ∀ » signifie : « quel que soit » ou « pour tout »
Exemple 1: «
[]
1
1; , 1xx
∀∈ +∞ ≤ » signifie « quel que soit x appartenant à
[]
1; +∞ ,1
xest inférieur ou égal à 1 »
Exemple 2: 2 (,)ab
∀∈
` : 0 et b 0a≥≥
♦ « ∃» signifie : « il existe » et / signifie : « tel que »
Exemple 3:
,/nppn
∀∈ ∃∈ ≥
`` signifie « pour tout entier n, il existe un entier p tel que soit plus grand que n »
Ou encore « pour tout entier n, il existe un entier p plus grand que n »
♦ « / » signifie « tel que »
Exemple 4:
Soit A=
{}
2/pp
∈` : ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme 2 p tel que p∈`
A est l’ensemble des nombres pairs (positifs)
♦ Lettres grecques souvent utilisées en mathématiques :
Minuscules Majuscules
Alpha :
α
Béta :
β
Delta :
δ
Epsilon :
ε
Gamma :
γ
Rho :
ρ
Sigma
σ
Lambda
λ
Mu
µ
Nu
ν
Tau
τ
Phi
ϕ
Oméga
ω
Psi
ψ
Eta
η
Oméga Ω
Delta ∆
Sigma ∑
1. Proposition, assertion, théorème, corollaire, lemme
Une assertion est une phrase mathématique qui peut être vraie ou fausse.
Une assertion P vraie est appelée proposition : on dit alors qu’ « on a P » ou que « P est vraie ».
Selon l’importance qu’on donne à la proposition, celle-ci pourra aussi porter le nom de : théorème, de corollaire
(proposition qui découle d’une précédente proposition) , de lemme (proposition intermédiaire utilisée pour
démontrer une autre proposition)
ENSEMBLES ET LOGIQUE
I. NOTATIONS
II. UN PEU DE LOGIQUE

2
Exemples II.1 :
~~(4 est un nombre positif) est une proposition
~~(4 est un nombre négatif) est une assertion fausse
~~( 5) n’est pas une assertion, ce n’est pas une phrase
2. Implication
Soient P et Q deux assertions
Pour exprimer que ( P ⇒ Q ) est vrai, on peut utiliser les expressions suivantes
~~ P ⇒ Q
~~ P implique Q
~~ P entraîne Q
~~ si on a P, alors on a Q
~~ Q est une condition nécessaire pour qu’on ait P
~~ P est une condition suffisante pour qu’on ait Q
♦ Pour montrer que (P ⇒ Q) , on se place dans le cas où P est vraie, c’est à dire qu’on suppose qu’on a P( on dit
qu’on prend P comme hypothèse) et on en déduit Q
Exemples II.2:
~~ Pour 0 et b 0a≥≥
: « si 22 alors ab a b
≤≤
» peut aussi s’écrire « 22
ab a b
≤⇒ ≤ »
~~ ( 01x
≤≤
)⇒(2
0xx
≤≤
)
en effet si x est tel que 01x
≤≤
, alors, en multipliant chaque membre de la double inégalité par xon en déduit
2
0xx
≤≤
~~
3. Equivalence
Soient P et Q deux assertions
( P ⇔Q ) est vrai lorsque (P ⇒ Q et Q ⇒ P)
Pour exprimer que ( P ⇔Q ) est vrai, on peut utiliser les expressions suivantes
~~ P ⇔ Q
~~ P équivaut à Q
~~ on a P si et seulement si on a Q
~~ P est une condition nécessaire et suffisante pour qu’on ait Q
Exemples II.3:
~~
()
2
PQ
() et 0
yx yxy
=⇔= ≥
  : cette équivalence est vraie car :
-si P vraie alors Q est vraie (cf. Exemples II.2)(on élève au carré)
-si Q vraie alors P est vraie , on le montre en supposant que 2 et 0 yxy
=≥
, puis en prenant la racine carrée
de chaque membre de 2
yx
=et comme 2
yy
==ylorsque 0y≥ alors P est vraie

3
♦ Réciproque :
♦ Contraire :
« 22
ab a b
≤⇒ ≤ » implication fausse si a=-5 et b=-3
Exemple 5:
ce symbole montre que l’implication est vraie « dans les deux sens »
Par exemple dans le cas précédent : pour
()
, avec 0 et b 0ab a
≥≥
( 22
ab a b
≤⇔ ≤ ) cela signifie que : 1) 22
ab a b
≤⇒ ≤ et 2) 22
ab ab
≤⇒≤
1. Ensembles usuels
♦ `est l’ensembles des entiers naturels (entiers positifs)
On note parfois
ab
2; 6 l’ensemble des entiers naturels qui appartiennent à l’intervalle
[]
2; 6
♦ ]est l’ensemble des entiers relatifs (positifs ou négatifs)
♦ _ est l’ensemble des nombres rationnels (du type *
avec et
aab
b∈∈
]`
)
♦ \est l’ensemble des réels. \est formé de nombres rationnels et de nombres irrationnels.
Exemples de nombres irrationnels : , 2, , +2, 3 2 1e
ππ −
Tout nombre réel peut être exprimé par un développement décimal :
-la représentation décimale d’un nombre rationnel est soit finie, soit infinie et périodique
-la représentation décimale d’un nombre irrationnel est toujours infinie et non périodique
♦ ^ est l’ensemble des nombres complexes(cf. cours complexes)
Tout réel est un complexe
2. Ensemble vide, inclusion , réunion, intersection d’ensembles
♦ Ensemble vide : l’ensemble vide se note soit ∅, soit
{}
.
Erreur à éviter :la notation
{}
∅est inadaptée
♦ Inclusion : A et B étant deux ensembles, on dit que A est
inclus dans B lorsque tout élément de A appartient aussi à B, on
note AB
⊂
Exemples : ⊂⊂⊂⊂
`]_\^
(`est inclus dans ]lui même inclus dans _… .)
B
A
II. ENSEMBLES

4
♦ Réunion d’ensembles : A et B étant deux ensembles,
AB
∪(A union B)est l’ensemble des éléments qui appartiennent
à A ou à B
Exemple II.1: soit A=
{}
2;3;5 et B=
{}
2;6;8 alors A B
∪=
{}
2; 3; 5; 6;8
Exemple II.2:
Soit A=
{}
2/pp
∈` : ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme 2 p avec p∈`
A est l’ensemble des nombres pairs (positifs)
Soit B=
{}
(2 1) /pp
+∈
` : ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme 2p+1 avec p∈`
B est l’ensemble des nombres impairs (positifs)
Alors A B
∪=`
♦ Intersection d’ensembles : A et B étant deux ensembles,
AB
∩(A inter B)est l’ensemble des éléments qui appartiennent
à A et à B
Exemple II.3: soit A=
{}
2;3;5 et B=
{}
2;6;8 alors A B
∩=
{}
2
Exemple II.4
Soit A=
{}
2/pp
∈` : ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme 2p avec p∈`
A est l’ensemble des nombres pairs (positifs)
Soit B=
{}
(2 1) /pp
+∈
` : ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme 2 p+1 avec p∈`
B est l’ensemble des nombres impairs (positifs)
Alors A B
∩=∅
B
A
AB
∪
B
A
AB
∩