Probabilités et statistique

DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES
ET DE GÉNIE INDUSTRIEL
MTH2302B - PROBABILITÉS ET STATISTIQUE
TD no6: séance du 21 octobre 2016
Exercices du manuel de référence : 7.5 7.6 7.10 7.17 7.26 7.31 7.38 7.42
Exercices supplémentaires
Exercice no1Une machine est utilisée pour le remplissage automatique de bouteilles d’un breu-
vage. La quantité de breuvage versée dans une bouteille est distribuée selon une loi normale (ou
gaussienne) de moyenne ajustable et d’écart type fixe 1,07 ml. On considère qu’une bouteille est
correctement remplie si elle contient entre 747 et 753 ml de breuvage ; autrement, elle n’est pas
correctement remplie.
a) Supposons que la moyenne soit ajustée à 750 ml. Quel est alors le pourcentage de bouteilles
qui ne sont pas correctement remplies par la machine ?
b) Sous les conditions de a), parmi les bouteilles correctement remplies, quel est le pourcentage
de celles qui contiennent moins de 752 ml ?
c) Sous les conditions de a), quelle est la probabilité qu’un lot de 10 bouteilles en contienne
au moins 2 qui ne soient pas correctement remplies ? Justifier votre réponse et préciser vos
hypothèses.
Exercice no2Une ville compte 10 000 unités d’habitation et 2 usines. La demande quotidienne en
eau potable (mesurée en litres) est fonction des informations données par le tableau suivant
variable moyenne écart type distribution (loi)
Habitation Qi, i =1,...,10 000 250 50 inconnue
Usine 1 U145 000 5 000 normale
Usine 2 U2115 000 20 000 normale
Notons par QD=
10 000
P
i=1
Qila demande domestique, et par QT=QD+U1+U2la demande totale.
a) Calculer la moyenne et l’écart type de la demande domestique et de la demande totale.
b) Déterminer la valeur de apour laquelle P(QD≥a) =0,01.
c) Déterminer la capacité minimale C(en litres) de l’usine de filtrage si on veut satisfaire la
demande quotidienne totale avec une probabilité d’au moins 0,999.
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Exercice no3On considère des objets de formes géométriques rectangulaires et planes (voir le
schéma ci-dessous). On suppose que les longueurs (en cm) des côtés X1et X2sont des variables
aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon une loi lognormale de paramètres µY=
1 et σ2
Y=4.
X1
X2
a) Quelle est la probabilité que la longueur du côté X1d’un objet soit supérieure à 8 cm ?
b) On s’intéresse à l’aire Ade la face supérieure des objets considérés. Quelle est la proportion
d’objets ayant une aire inférieure à 45 cm2.
Exercice no4On considère le poids Xet la taille Ydes individus d’une population forment un
vecteur aléatoire [X, Y ] de loi binormale de paramètres µX=75 kg, µY=178 cm, σX=10 kg,
σY=12 cm, ρ=0,9.
a) Si un individu de cette population pèse 80 kg, quelle est la probabilité qu’il mesure plus de
178 cm ?
b) Si un individu de cette population mesure 160 cm, quelle est la probabilité qu’il pèse moins
de 75 kg ?
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