DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES ET DE GÉNIE INDUSTRIEL MTH2302B - PROBABILITÉS ET STATISTIQUE TD no 6 : séance du 21 octobre 2016 Exercices du manuel de référence : 7.5 7.6 7.10 7.17 7.26 7.31 7.38 7.42 Exercices supplémentaires Exercice no 1 Une machine est utilisée pour le remplissage automatique de bouteilles d’un breuvage. La quantité de breuvage versée dans une bouteille est distribuée selon une loi normale (ou gaussienne) de moyenne ajustable et d’écart type fixe 1, 07 ml. On considère qu’une bouteille est correctement remplie si elle contient entre 747 et 753 ml de breuvage ; autrement, elle n’est pas correctement remplie. a) Supposons que la moyenne soit ajustée à 750 ml. Quel est alors le pourcentage de bouteilles qui ne sont pas correctement remplies par la machine ? b) Sous les conditions de a), parmi les bouteilles correctement remplies, quel est le pourcentage de celles qui contiennent moins de 752 ml ? c) Sous les conditions de a), quelle est la probabilité qu’un lot de 10 bouteilles en contienne au moins 2 qui ne soient pas correctement remplies ? Justifier votre réponse et préciser vos hypothèses. Exercice no 2 Une ville compte 10 000 unités d’habitation et 2 usines. La demande quotidienne en eau potable (mesurée en litres) est fonction des informations données par le tableau suivant Habitation Usine 1 Usine 2 Notons par QD = 10P 000 variable Qi , i = 1, . . . , 10 000 U1 U2 moyenne 250 45 000 115 000 écart type 50 5 000 20 000 distribution (loi) inconnue normale normale Qi la demande domestique, et par QT = QD + U1 + U2 la demande totale. i=1 a) Calculer la moyenne et l’écart type de la demande domestique et de la demande totale. b) c) Déterminer la valeur de a pour laquelle P (QD ≥ a) = 0, 01. Déterminer la capacité minimale C (en litres) de l’usine de filtrage si on veut satisfaire la demande quotidienne totale avec une probabilité d’au moins 0, 999. MTH2302B page 1 Séance no 6 Exercice no 3 On considère des objets de formes géométriques rectangulaires et planes (voir le schéma ci-dessous). On suppose que les longueurs (en cm) des côtés X1 et X2 sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon une loi lognormale de paramètres µY = 1 et σY2 = 4. X2 X1 a) b) Quelle est la probabilité que la longueur du côté X1 d’un objet soit supérieure à 8 cm ? On s’intéresse à l’aire A de la face supérieure des objets considérés. Quelle est la proportion d’objets ayant une aire inférieure à 45 cm2 . Exercice no 4 On considère le poids X et la taille Y des individus d’une population forment un vecteur aléatoire [X, Y ] de loi binormale de paramètres µX = 75 kg, µY = 178 cm, σX = 10 kg, σY = 12 cm, ρ = 0,9. a) Si un individu de cette population pèse 80 kg, quelle est la probabilité qu’il mesure plus de 178 cm ? b) Si un individu de cette population mesure 160 cm, quelle est la probabilité qu’il pèse moins de 75 kg ? MTH2302B page 2 Séance no 6