Chapitre 5 Séries Entières

Chapitre 5
Séries Entières
Étant données une suite (an)n∈Net un complexe z, on peut s’intéresser à la série ((anzn))n∈N.
Ceci définit un type particulier de série de fonctions, qu’on appelle série entière. Ce chapitre s’in-
téresse aux propriétés élémentaires de ces séries.
Dans tout ce qui suit, on adopte la notation suivante : si n∈N?, on note Xnla fonction
Xn:C−→ C
z7−→ zn
et X0est la fonction constante égale à 1 sur C. Autrement dit, Xnest la fonction polynomiale asso-
ciée au polynôme Xndans C[X].
Implicitement, Cest normé par le module et si r>0 et a∈C, on note
•D(a,r) la boule ouverte de centre aet de rayon r;
•D(a,r) la boule fermée de centre aet de rayon r;
•C(a,r) le cercle de centre aet de rayon r.
D(a,r)={z∈C| |z−a|<r}D(a,r)={z∈C| |z−a|6r}C(a,r)={z∈C| |z−a|=r}
5.1 Rayon de convergence
Tout commence par un lemme.
Lemme 5.1.1 (Lemme d’Abel)
Soient (an)n∈Nune suite de nombres complexes et R>0tels que la suite (anRn)n∈Nest bornée. Alors
pour tout r ∈]0; R[, la série ((anXn))n∈Nconverge normalement dans D(0,r).
Preuve : La suite (anRn)n∈Nest bornée donc il existe M >0 tel que
∀n∈N|an|Rn6M
Alors ∀z∈D(a,r)|anzn|6|an|rn=|an|Rn³r
R´n6M³r R´n
Comme 0 <r
R<1, la série ¡¡rn
Rn¢¢n∈Nconverge et on a convergence normale de ((anXn))n∈Ndans
le disque D(a,r). 
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Mathématiques Spéciales SÉRIES ENTIÈRES
Corollaire 5.1.2
Soit (an)n∈Nune suite de nombres complexes. On pose
Ac={r>0|((anrn))n∈Nconverge absolument} A0={r>0|lim
n→∞anrn=0}
et Ab={r>0|(anrn)n∈Nest bornée}
Alors SupAc=SupA0=SupAb.
On rappelle que, par convention, l’ensemble vide a un supremum, qui est −∞; et un en-
semble non majoré a pour supremum +∞.
Preuve : Il est clair que Ac⊂A0⊂Abet que 0 ∈Ac. On note Rc, R0et Rbles suprema respectifs de
ces ensembles ; on a d’ores-et-déjà 0 6Rc6R06Rb.
Du coup, si Ab={0}, les deux autres ensembles sont aussi {0}. Réciproquement, si Ab6= {0},
il contient un R >0 et le lemme d’Abel assure que ]0; R[⊂Ac. Donc Acet Abne sont pas {0}. Donc
Ab={0} ⇐⇒ A0={0} ⇐⇒ Ac={0}
En particulier, si Ac={0}, alors Rb=R0=Rc=0.
Supposons maintenant que Ac6= {0}. Les deux autres ensembles ne sont pas {0} et l’on a alors
0<Rc6R06Rb6+∞. Considérons deux cas :
•Si Abn’est pas majoré : Soit M >0 ; il existe R ∈Abtel que R >M. D’après le lemme d’Abel,
M∈Ac. Donc Ac=R?
+et il s’ensuit que A0et Absont aussi égaux à R? +d’où Rc=R0=Rb=+∞.
•Si Abest majoré : Alors Rc, R0et Rbsont des réels positifs. On fixe ε>0 ; il existe R ∈Abtel que
Rb−ε<R6Rb. D’après le lemme d’Abel, Rb−εse trouve dans Ac, ce qui assure Rc>Rb−ε.
Comme εétait quelconque, on a bien Rb=Rc. Et il s’ensuit que Rb=Rc=R0.
Il ne faut pas faire dire n’importe quoi à ce théorème : il ne dit certainement pas que les
ensembles Ab, Acet A0sont égaux. Seuls leurs suprema sont égaux, ce qui n’est pas du tout
la même chose.
Par exemple, prenons pour (an)n∈Nla suite constante égale à 1. Alors
Ab=[0; 1] A0=[0; 1[ Ac=[0; 1[
Définition 5.1.3 (Rayon de convergence)
Soit (an)n∈Nune suite à valeurs dans C. On appelle rayon de convergence de la série entière
((anXn))n∈Nle réel
Rc=Sup{r>0|((anrn))n∈Nconverge absolument}
On appelle disque ouvert de convergence de la série entière ((anXn))n∈Nle disque D(0,Rc).
Proposition 5.1.4 (Propriété fondamentale du rayon de convergence)
Soit ((anXn))n∈Nune série entière de rayon de convergence Rcnon nul. Elle converge normalement
dans tout compact inclus dans D(0,Rc).
Preuve : C’est une conséquence immédiate du lemme d’Abel. En effet, si K ⊂D(0,Rc) est un com-
pact, il est non vide et borné. Notons
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r=Sup{|z| | z∈K}
Comme K est compact et le module est continu sur K, on sait que ce sup est en fait un max.
Donc il existe z0∈K tel que |z0|=r. Mais K ⊂D(0,Rc) donc r<Rc.
D’après la définition du rayon de convergence, il existe R ∈Actel que r<R<Rcet l’on a :
∀z∈K∀n∈N|anzn|6|an|rn6|an|Rn
Or, la série ((anRn))n∈Nconverge absolument, donc ((anXn))n∈Nconverge normalement dans K.
Définition 5.1.5 (Somme d’une série entière)
Soit (an)n∈Nune suite à valeurs complexes, telle que la série entière associée a un rayon de conver-
gence Rcnon nul. On appelle somme de la série entière ((anXn))n∈Nla fonction définie par
∀z∈D(0,Rc)f(z)=∞
P
n=0anzn
La proposition 1.4 assure que cette définition est bien posée, puisque la série entière ((anXn))n∈N
converge (normalement) dans le compact D(0,R) pour tout R <Rc. On en déduit aussi immédia-
tement le
Théorème 5.1.6 (Continuité de la somme d’une série entière)
La somme d’une série entière de rayon de convergence Rc>0est continue dans son disque ouvert de
convergence.
Ainsi, si ((anXn))n∈Nest une série entière de rayon de convergence Rc>0, de somme f,
∀a∈D(0,Rc) lim
z→af(z)=f(a)
ou encore ∀a∈D(0,Rc) lim
z→alim
N→∞
N
P
n=0anzn=lim
N→∞
N
P
n=0anan
Exemple 5.1.7
Observons aussi qu’on n’a en général aucune information sur ce qu’il se passe au bord du disque ouvert de
convergence. Plus précisément, on a
D(0,Rc)⊂{z∈C|((anzn))n∈Nconverge}
Il peut y avoir égalité ; l’inclusion peut être stricte. Tout peut arriver.
1. On reprend l’exemple de la suite définie par
∀n∈Nan=1
On sait que son rayon est égal à 1. Mais que pour tout z∈C(0,1), la série ((zn))n∈Ndiverge, puisque
son terme général ne tend pas vers 0.
2. En revanche, considérons la suite
∀n∈Nan=1
n+1
Soit r>0 ; la suite ((anrn))n∈Nest bornée si, et seulement si r61. Donc le rayon de convergence de
la série entière ((anXn))n∈Nest 1 et le disque de convergence est D(0,1). Essayons d’étudier ce qui se
passe au bord.
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On sait que la série harmonique ((an))n∈Ndiverge, ce qui correspond au cas z=1.
Maintenant, si z∈Cavec |z|=1 et z6=1, posons
∀n∈NSn=
n
P
k=0zk=1−zn+1
1−z
de sorte que ∀n∈N|Sn|62
|1−z|
On fait une transformation d’Abel : si net psont deux entiers,
n+p
P
k=n+1akzk=
n+p
P
k=n+1ak(Sk−Sk−1)=
n+p
P
k=n+1akSk−
n+p
P
k=n+1akSk−1=
n+p
P
k=n+1akSk−
n+p−1
P
k=n
ak+1Sk
=
n+p−1
P
k=n+1(ak−ak+1)Sk+an+pSn+p−an+1Sn
d’où ¯
¯
¯
n+p
P
k=n+1akzk¯
¯
¯62
|1−z|³n+p−1
P
k=n+1|ak−ak+1|+|an+p|+|an+1|´
Tous calculs faits, en remplaçant les (ak)k∈Npar leurs valeurs,
¯
¯
¯
n+p
P
k=n+1akzk¯
¯
¯64
|1−z|
1
n+2
Le critère de Cauchy assure alors que ((anzn))n∈Nconverge.
Ainsi, la série entière ((anXn))n∈Nconverge sur D(0,1) \ {1} ; mais son disque de convergence est
D(0,1).
Terminons par donner quelques méthodes de calcul du rayon de convergence, à l’aide des
résultats élémentaires qui viennent d’être établis. On se donne une série entière ((anXn))n∈Nde
rayon de convergence Rcqu’on cherche à estimer. Les trois remarques suivantes sont des consé-
quences immédiates de la définition :
•Si on trouve un z0∈Ctel que la suite (anzn
0)n∈Nest bornée, alors Rc>|z0|.
•Si on trouve un z0∈Ctel que la suite (anzn
0)n∈Ntend vers 0, alors Rc>|z0|.
•Si on trouve un z0∈Ctel que la série ((anzn
0))n∈Nconverge, alors Rc>|z0|.
La règle de d’Alembert peut être aussi utilisée pour calculer un rayon de convergence :
Proposition 5.1.8
Soit (an)n∈Nune suite complexe qui ne s’annule pas à partir d’un certain rang. On note Rcle rayon
de convergence de la série entière ((anXn))n∈N. Si la suite ¡¯
¯an+1
an¯
¯¢n∈Nconverge vers une limite R∈R,
alors Rc=1
R.
Preuve : Soit r∈R?
+; soit N ∈N, tel que (an)n>Nne s’annule pas. On a
∀n>N¯
¯
¯
an+1rn+1
anrn¯
¯
¯=¯
¯
¯
an+1
an¯
¯
¯r−−−−→
n→∞ Rr
•Si R = +∞, alors la série ((anrn))n∈Nne converge pas absolument ; l’ensemble Acest réduit
à {0} et Rc=0=1
∞.
•Si R =0+, la série ((anrn))n∈Nconverge absolument ; rétait quelconque strictement positif,
donc Ac=R+et Rc=+∞= 1
0+.
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•Si R est fini non nul, d’après la règle de d’Alembert, la série ((anrn))n∈Nconverge absolument
si r<1
R. Donc [0; 1 R[⊂Acce qui assure Rc>1 R.
Mais si r>1
R, la règle de d’Alembert assure encore que ((anrn))n∈Nne converge pas absolu-
ment ; autrement dit, ] 1
R;+∞[⊂Ac
c, ou encore Ac⊂[0; 1
R]. D’où Rc61 R.
5.2 Opérations sur les séries entières
Le théorème suivant est une conséquence immédiate des résultats démontrés sur les séries
numériques.
Proposition 5.2.1
Soient (an))n∈Net (bn)n∈Ndeux suites de nombres complexes. On pose
∀n∈Nsn=an+bnet pn=
n
P
k=0akbn−k=
n
P
k=0an−kbk
On note enfin Ra
c,Rb c,Rs cet Rp
cles rayons de convergence des séries entières associées. Alors
1. Rs
c>Min(Ra c,Rb c)et
∀z∈C|z|<Min(Ra
c,Rb c)∞
P
n=0snzn=∞
P
n=0anzn+∞
P
n=0bnzn
2. Rp
c>Min(Ra
c,Rb c)et
∀z∈C|z|<Min(Ra
c,Rb c)∞
P
n=0pnzn=³∞
P
n=0anzn´³ ∞
P
n=0bnzn´
À nouveau, il faut suivre ce théorème à la lettre. Il ne dit certainement pas que Rs
cest
le Min(Ra
c,Rb c) ; par exemple, si l’on fixe la suite aet qu’on choisit b= −a, alors Rs c= +∞,
indépendamment de la valeur de Ra
c.
C’est dû au fait, déjà évoqué dans le cours sur les séries numériques, que la somme de
deux suites divergentes peut parfaitement converger.
Une série entière peut se dériver terme-à-terme dans son intervalle ouvert des convergence :
Théorème 5.2.2 (Théorème de dérivation)
Soit (an)n∈Nune suite complexe. On note f la somme de la série entière ((anXn))n∈Net Rcson rayon
de convergence, supposé non nul. Alors la série entière (((n+1)an+1Xn))n∈Na aussi pour rayon de
convergence Rc; de plus, f est dérivable sur ]−Rc; Rc[et
∀x∈]−Rc; Rc[f0(x)=∞
P
n=0(n+1)an+1xn=∞
P
n=1n anxn−1
Preuve : On note R0
cle rayon de convergence de la série entière (((n+1)an+1Xn))n∈N.
Soit r∈R+tel que la suite ((n+1)an+1rn)n∈Nest bornée ; soit M >0 tel que
∀n∈N?|nanrn−1|6M
Alors ∀n∈N?|anrn|6|nanrn|6Mr
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