Polynômes 1 Algèbre des polynômes à coefficients dans K

Chapitre 3 – Polynômes
1
BCPST 851
11 octobre 2011
Chapitre 3
Polynômes
Dans tout ce chapitre, K désignera R ou C. On utilisera parfois le terme scalaire pour désigner un
élément de K.
1
Algèbre des polynômes à coefficients dans K
1.1. Définitions
Définition 1
Pour n ∈ N, on note X n : K → K | x →
7 xn . On appelle monômes de
degré n les application de la forme λX n : K → K | x 7→ λxn avec λ ∈ K.
Remarques
• On a donc X = X 1 = IdK (i.e. X : K → K | x 7→ x).
• X 0 est l’application constante égale à 1 : X 0 : K → K | x 7→ 1. Par abus de notation, on écrira
simplement X 0 = 1 et −4 pour −4X 0 (par exemple).
Définition 2
Une application P : K → K est appelée polynôme à coefficients dans
K s’il existe n ∈ N et a0 , a1 , . . . , an ∈ K tels que
P=
n
X
ai X i
i.e. ∀x ∈ K, P(x) =
i=0
n
X
ai x i
i=0
On note K[X] l’ensemble des polynômes à coefficients dans K.
Remarque
Il est clair qu’une même fonction peut avoir plusieurs écritures différentes de ce type : il suffit de
rajouter des coefficients nuls à la fin. Ainsi, X 3 + 2X − 1 = 0.X 5 + 0.X 4 + X 3 + 2X − 1 (dans le premier
cas, on a n = 3, a0 = −1, a1 = 2, a2 = 0 et a3 = 1 alors que dans le deuxième cas on a n0 = 5, a00 = −1,
a01 = 2, a02 = 0, a03 = 1, a4 = 0 et a05 = 0). Nous allons voir que c’est en fait la seule manière d’obtenir
deux écritures différentes de cette forme pour une même fonction.
Exercice 1
cients.
Montrer que les applications suivantes sont des polynômes et préciser leurs coeffiÄ
1. f : R → R | x 7→ x −
√ ä3
2
2. g : C → C | x 7→ (x + 2)2 + ix4 − 3i(x − ix2 )
3. h : R → R | x 7→ (2x + 1) cos2 x + ((x + 1) sin x)2 − x2 sin2 x
Chapitre 3 – Polynômes
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Propriété 1
Soit P ∈ K[x], P =
n
P
i=0
ai X i . On a :
P = 0 ⇔ ∀i ∈ ~0, n, ai = 0
Propriété 2
Soient P =
n
P
i=0
ai X i et Q =
m
P
i=0
bi X i dans K[X] et λ ∈ K.
Quitte à échanger le rôle de P et Q, on peut supposer n > m et poser
bi = 0 pour m < i 6 n. On a alors :
n
P
• P + Q = Q + P = (ai + bi )X i
• λP =
n
P
i=0
i=0
λai X
i
Remarque
On note P − Q = P + (−1) × Q =
n
P
(ai − bi )X i .
i=0
Propriété 3
Si P, Q, R ∈ K[X] et λ ∈ K, on a :
• P + (Q + R) = (P + Q) + R = P + Q + R
• λ(P + Q) = λP + λQ
• P−P=0
Théorème 4
Soient P =
n
P
i=0
ai X i et Q =
m
P
i=0
bi X i dans K[X].
Si
• an , 0 et bm , 0 et
• ∀x ∈ K, P(x) = Q(x) (i.e. P = Q),
alors
• n = m et
• ∀i ∈ ~0, n, ai = bi .
Remarque
À condition d’imposer que le coefficient de plus haut degré soit non nul, on pourra donc parler de
l’écriture (unique) d’un polynôme comme somme de monômes.
Définition 3
Soit P ∈ K[X], P , 0.
n
P
P s’écrit de manière unique P = ai X i avec an , 0.
i=0
• Le degré de P est deg(P) = n.
• Le coefficient dominant de P est an .
• Le terme dominant de P est an X n .
• P est dit unitaire si son coefficient dominant vaut 1.
• Le coefficient constant de P est a0 .
Par convention, le degré du polynôme nul est −∞.
Chapitre 3 – Polynômes
3
Remarque
Si P =
n
P
i=0
ai X i avec P , 0, alors deg(P) = max{i ∈ N, ai , 0}.
Définition 4
Pour n ∈ N, on note Kn [X] = {P ∈ K[X], deg(P) 6 n}.
1.2. Opérations sur les polynômes
Propriété 5
Produit et substitution
n
Soit P, Q ∈ K[X], P =
• P×Q = Q×P =
• P ◦ Q = P(Q) =
P
i=0
n+m
P
i=0
n
P
i=0
ai X i et Q =
m
P
i=0
bi X i .
ci X i où, pour 0 6 i 6 m+n, on a ci =
P
k+l=i
al bk .
ai Qi
Remarque
n
P
i=0
2
La notation P(Q) pour P ◦ Q est très usitée mais elle peut être ambiguë. Ainsi P(X 2 ) signifie
n
P
ai (X 2 )i , mais P(X 2 + 1) peut signifier soit P ◦ (X 2 + 1) =
ai (X 2 + 1)i soit P × (X 2 + 1) =
X ×P+P=
n
P
i=0
ai X
2+i
+
n
P
i=0
i=0
i
ai X , suivant le contexte.
Soient P = X 3 − X + 3 et Q = X 2 − 1. Calculer PQ, P(Q) et Q(P).
Exercice 2
Soit P ∈ K[X]. Déterminer deg(P(X + 1)) et deg(P(X + 1) − P(X)).
Exercice 3
Définition 5
Soit P ∈ K[X].
• P est dit pair si P(−X) = P(X).
• P est dit impair si P(−X) = −P(X).
Remarque
Cette définition correspond à la notion usuelle de parité d’une fonction dans le cas particulier des
polynômes.
Propriété 6
Un polynôme P est
n
P
• pair ssi il s’écrit ai X 2i ;
i=0
• impair ssi il s’écrit
n
P
i=0
ai X 2i+1 .
Chapitre 3 – Polynômes
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Exercice 4
On considère un polynôme P ∈ K[X]. Montrer qu’il existe un unique couple
(A, B) ∈ K[X] tel que P = A + B avec A pair et B impair.
2
Propriété 7
Soient P, Q ∈ K[X].
On pose par convention n + (−∞) = −∞ + n = −∞ si n ∈ N.
• deg(P + Q) 6 max(deg(P), deg(Q))
• deg(PQ) = deg(P) + deg(Q)
• deg(P ◦ Q) = deg(P) deg(Q) si P , 0 et Q , 0.
Trouver P, Q ∈ K[X] tels que deg(P + Q) < max(deg(P), deg(Q)).
Exercice 5
Propriété 8
Soient P, Q ∈ K[X].
Si deg(P) , deg(Q), alors deg(P + Q) = max(deg(P), deg(Q)).
Propriété 9
Soient P, Q ∈ K[X] tels que P , 0 et Q , 0.
On a
• PQ , 0
• Le coefficient dominant de PQ est le produit des coefficients dominants de P et de Q.
• Le terme dominant de PQ est le produit des termes dominants de
P et de Q.
2
Dérivée d’un polynôme
Définition 6
Soit P ∈ K[X], P =
n
P
i=0
ai X i .
• Le polynôme dérivé de P est P0 =
n
P
i=1
iai X i−1 .
• On définit par récurrence P(k) pour k ∈ N :

 P(0)
=P
Ä
ä0
= P(k)
 P(k+1)
Remarques
• La dérivée du polynôme nul est égale au polynôme nul.
• Cette définition est compatible avec celle de la dérivée d’une fonction d’une variable réelle.
Chapitre 3 – Polynômes
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Propriété 10
Soient P, Q ∈ K[X], λ ∈ K et k ∈ N.
• (P + Q)0 = P0 + Q0 et (P + Q)(k) = P(k) + Q(k) .
• (λP)0 = λP0 et (λP)(k) = λP(k) .
• (P ◦ Q)0 = Q0 × (P0 ◦ Q)
• (P × Q)0 = P0 × Q + P × Q0
• (P×Q)(k) =
k Ä ä
P
k
P(i) Q(k−i)
i
i=0
=
k Ä ä
P
k
P(k−i) Q(i) (formule de Leibniz)
i=0
i
Propriété 11
Soit P ∈ K[X] et k ∈ N.
(k)
P
=
deg(P)
X
i=k
i!
ai X i−k
(i − k)!
Cette somme étant nulle si k > deg(P), on a

deg(P(k) )
deg(P(k) )
= deg(P) − k
= −∞
si k 6 deg(P)
si k > deg(P)
Remarque
En particulier, on a :
• deg(P0 ) = deg(P) − 1 si P , 0.
• P(k) = 0 si k > deg(P).
Exercice 6
Montrer que exp : R → R n’est pas une fonction polynôme.
Théorème 12
Formule de Taylor pour les polynômes
Soit P ∈ K[X], P =
n
P
k=0
ak X k et b ∈ K.
On a
P=
n
X
k=0
P(k) (b)
(X − b)k
k!
En particulier, avec b = 0, on obtient
P=
n
X
k=0
P(k) (0) k
X
k!
et donc par identification
∀k ∈ ~0, n, ak =
Exercice 7
P(k) (0)
k!
Appliquer la formule de Taylor en −1 au polynôme X 3 − 2X 2 + 3X − 4.
Chapitre 3 – Polynômes
3
6
Factorisation
3.1. Racines d’un polynôme
Définition 7
Soient P, Q ∈ K[X] avec Q , 0.
On dit que Q divise P s’il existe R ∈ K[X] tel que P = QR.
Propriété 13
Soient P, Q ∈ K[X] avec P , 0 et Q , 0.
Si Q divise P, alors deg(Q) 6 deg(P).
Définition 8
Soit P ∈ K[X] et α ∈ K. On dit que α est une racine de P si P(α) = 0.
Propriété 14
Soient P, Q ∈ K[X] et n ∈ N.
On a Pn − Qn = (P − Q)
n−1
P
k=0
Pk Qn−1−k = (P − Q)
En particulier, si a, b ∈ C : an − bn = (a − b)
n−1
P
n−1
P
Pn−1−k Qk .
k=0
ak bn−1−k .
k=0
Théorème 15
Soit P ∈ K[X] et α ∈ K.
α est une racine de P ssi X − α divise P.
Remarque
Autrement dit, α est une racine de P ssi P s’écrit (X − α)Q avec Q ∈ K[X] (ou si P = 0).
Propriété 16
Soient P ∈ K[X] non nul et α1 , . . . , αn ∈ K deux à deux distincts. On a
P(α1 ) = · · · = P(αn ) = 0 ssi P = (X − α1 ) . . . (X − αn )Q avec Q ∈ K[X].
Propriété 17
Soit n ∈ N
• Un polynôme non nul de degré n a au plus n racines distinctes.
• Si P ∈ Kn [X] et si P a au moins n + 1 racines, alors P = 0.
• Si P ∈ K[X] a une infinité de racines, alors P = 0.
• Si un polynôme de degré n a n racines distinctes, alors ce sont ses
seules racines.
Exercice 8
1. Montrer que sin : R → R n’est pas une application polynôme.
2. Soient P, Q ∈ R[X] tels que ∀n ∈ N, P(n) = Q(n). Montrer que P = Q.
Chapitre 3 – Polynômes
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3.2. Ordre de multiplicité d’une racine
Définition 9
Soit P ∈ K[X] non nul et α ∈ K une racine de P.
Si (X − α)n divise P, alors n 6 deg(P) d’après la propriété 13.
On appelle ordre (de multiplicité) de α comme racine de P le plus grand
entier n tel que (X − α)n divise P.
Remarques
• On a utilisé ici le principe du maximum pour les entiers : toute partie de N non vide et majorée
admet un plus grand élément (appelé également maximum). Ici, {n ∈ N∗ , (X − α)n divise P} est
non-vide (α étant une racine de P, (X − α)1 divise P) et majoré (par deg(P)). Il admet donc un
plus grand élément, qu’on appelle ordre de multiplicité de α comme racine de P.
• Une racine d’ordre 1 est dite racine simple, une racine d’ordre 2 racine double.
Propriété 18
Soient P ∈ K[X], P , 0, α ∈ K et n ∈ N∗ .
α est racine d’ordre n de P ⇔ ∃Q ∈ K[X], P = (X − α)n Q et Q(α) , 0.
Montrer que 1 est racine double de X 4 − 7X 3 + 17X 2 − 17X + 6 et déterminer les
autres racines éventuelles de ce polynôme, ainsi que leur ordre de multiplicité.
Exemple 9
Propriété 19
Soit P ∈ K[X] non nul et α1 , . . . , αn des racines distinctes de P d’ordre
respectif p1 , . . . , pn .
P s’écrit alors P = (X − α1 ) p1 × · · · × (X − αn ) pn Q où Q est un polynôme
n’admettant aucun des αi comme racine.
3.3. Racines et dérivée
Théorème 20
Soit P ∈ K[X], α ∈ K et r ∈ N∗ .
• α est racine d’ordre r de P ssi P(α) = P(1) (α) = · · · = P(r−1) (α) = 0
et P(r) (α) , 0.
• En particulier, α est racine simple de P ssi α est racine de P mais
pas de P0 .
Soit P = X 4 − X 3 + X 2 − 3X + 2. En utilisant le théorème précédent, montrer que
1 est racine d’ordre 2 de P.
Exercice 10
Chapitre 3 – Polynômes
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3.4. Factorisation sur C
Théorème 21
D’Alembert-Gauss
Tout polynôme non constant à coefficients dans C admet au moins une
racine dans C.
Remarques
• En anglais, ce théorème s’appelle «fundamental theorem of algebra», ce qui traduit bien son
importance.
• En particulier, tout polynôme non constant à coefficients dans R admet au moins une racine dans
C.
• L’exemple de X 2 +1 montre qu’il n’y a en revanche pas forcément de racine réelle. Intuitivement,
l’ensemble des nombres complexes est construit précisément de manière à ce que ce théorème
soit vrai.
Théorème 22
Factorisation dans C[X]
Soient
• P ∈ C[X] tel que deg(P) > 1 (i.e. P non constant),
• c son coefficient dominant,
• α1 , . . . , αn ses racines, d’ordre respectif r1 , . . . , rn .
On a :
n
P=c
(X − αi )ri
Y
i=1
Remarques
• Un polynôme de C[X] de degré n a donc exactement n racines comptées avec leur ordre de
multiplicité. Autrement dit, avec les notations du théorèmes, deg(P) = r1 + · · · + rn .
• On parle de forme factorisée d’un polynôme.
• On peut donc écrire tout polynôme (à coefficients réels ou complexes) comme un produit de
polynômes de C[X] de degré 1.
Exercice 11
Factoriser dans C[X] X 4 − 1, X 4 − 4 et X 4 + 1.
Exercice 12
Soit a ∈ C et n ∈ N∗ .
1. Déterminer les racines de X n − an .
2. En déduire la forme factorisée de X n − an .
3. En déduire la forme factorisée de an−1 + an−2 X + · · · + aX n−2 + X n−1 .
Chapitre 3 – Polynômes
9
3.5. Factorisation sur R
Propriété 23
Soit P ∈ R[X], P , 0 et α ∈ C.
α est racine de P d’ordre r ssi ᾱ est racine de P d’ordre r.
Théorème 24
Factorisation dans R[X]
Soient
• P ∈ R[X] tel que deg(P) > 1 (i.e. P non constant),
• c son coefficient dominant,
• α1 , . . . , α p ses (éventuelles) racines réelles et r1 , . . . , r p leur ordre
respectif,
• β1 , β¯1 , . . . , βq , β¯q ses (éventuelles) racines complexes non réelles et
s1 , . . . , sq leur ordre respectif.
On a
! q Å
ã
p
P=c
(X − αi )ri
Y
Y
i=1
j=1
2 s j
X 2 − 2<(β j )X + β j Remarque
Tout polynôme à coefficients réels se factorise donc en un produit de polynômes à coefficients réels
de degré au plus 2.
Exercice 13
Factoriser dans R[X] X 4 − 1, X 4 − 4 et X 4 + 1.
Exercice 14
Montrer à l’aide du théorème 24 (i.e. sans argument analytique) que tout polynôme
à coefficients réels de degré impair a au moins une racine réelle.
Chapitre 3 – Polynômes
10
Travaux dirigés
Exercice 15
Soit n ∈ N∗ .
1. Montrer que
Å n Ä ä ã2
P n k
X
k=0
n
P
2. En déduire que
k=0
k
Ä ä2
n
k
=
=
2n Ä ä
P
2n
Xk.
k=0
k
Ä ä
2n
n
.
Exercice 16
Soit (Pn )n∈N la suite de polynômes définie par P0 = 1 et ∀n ∈ N, Pn+1 = P3n + X.
1. Pour n ∈ N, déterminer le coefficient constant de Pn .
2. Pour n ∈ N, déterminer le coefficient dominant et le degré de Pn .
Exercice 17
Soit n ∈ N∗ . Montrer que 1 est racine de nX n+2 − (n + 2)X n+1 + (n + 2)X − n et déterminer son ordre
de multiplicité.
Exercice 18
Soit n ∈ N∗ . Montrer que (X − 3)(X − 2) divise (X − 3)2n + (X − 2)n − 1.
Exercice 19
1. Factoriser 1 + X + X 2 + X 3 + X 4 dans C[X] puis dans R[X].
2. En déduire la valeur de cos
Ä
2π
5
ä
et sin
Ä
2π
5
ä
.
Exercice 20
Résoudre dans C[X] les équations suivantes.
1. P = P0 + X
2. (X 2 + 1)P00 = 2P
3. P(X 2 ) = P(X)2
4. P(X) = P(X + 1)
Exercice 21
On considère l’équation (E) : P = P0 P00 , d’inconnue P ∈ C[X].
Chapitre 3 – Polynômes
11
1. Soit P ∈ C[X] un polynôme non nul. On suppose que P est solution de (E).
(a) Déterminer deg(P).
(b) Déterminer le coefficient dominant de P.
(c) Justifier l’existence d’une racine α de P0 et montrer que P(α) = 0, puis que P00 (α) = 0.
(d) Donner alors la factorisation de P.
2. Déterminer l’ensemble des solutions de (E).
Exercice 22
Ä
ä
On veut déterminer les polynômes de P de C [X] solutions de P X 2 = P (X) P (X + 1)
(E).
1. Quels sont les polynômes constants qui conviennent ?
2. On suppose maintenant que P est solution de (E), que deg P > 1 et que a est une racine de P.
(a) Montrer que |a| ∈ {0, 1}.
(b) Montrer que (a − 1)2 est racine de P.
n
iπ
iπ
o
(c) En déduire que a ∈ 0, 1, e 3 , e− 3 .
(d) En déduire que P est de la forme P = λX p (X − 1)q , avec p, q ∈ N et λ ∈ C.
3. Conclure.
Exercice 23
Polynômes de Lagrange
1. Soient a, b et c dans R.
(a) Montrer qu’il existe un unique P1 ∈ R2 [X] tel que P1 (−1) = 1, P1 (1) = 0 et P1 (2) = 0,
puis le calculer.
(b) Montrer qu’il existe un unique P2 ∈ R2 [X] tel que P2 (−1) = 0, P2 (1) = 1 et P2 (2) = 0,
puis le calculer.
(c) Montrer qu’il existe un unique P3 ∈ R2 [X] tel que P3 (−1) = 0, P3 (1) = 0 et P3 (2) = 1,
puis le calculer.
(d) En déduire qu’il existe un unique P ∈ R2 [X] tel que P (−1) = a, P (1) = b et P (2) = c,
puis le calculer.
2. Soit n ∈ N et a0 ,. . . ,an dans C distincts deux à deux. On pose, pour tout k ∈ [[0, n]],
QÄ
j,k
X − aj
ä
ä.
Lk = Q Ä
ak − a j
j,k
Ä
ä
(a) Calculer, pour tous k ∈ [[0, n]] et p ∈ [[0, n]], Lk a p .
(b) En déduire que tout P ∈ Cn [X] s’écrit de manière unique sous la forme
n
P
k=0
λk Lk , et expri-
mer λk en fonction de P.
3. Soient n ∈ N, a0 , . . . , an dans C deux à deux distincts et b0 , . . . , bn dans C.
Montrer qu’il existe un unique P ∈ Cn [X] tel que ∀i ∈ ~0, n, P(ai ) = bi et l’exprimer en
fonction des Lk .