Polynômes 1 Algèbre des polynômes à coefficients dans K

Chapitre 3–Polyn ˆ omes 1
BCPST 851 11 octobre 2011
Chapitre 3
Polynômes
Dans tout ce chapitre, Kdésignera Rou C. On utilisera parfois le terme scalaire pour désigner un
élément de K.
1 Algèbre des polynômes à coefficients dans K
1.1. Définitions
D´ efinition 1
Pour n ∈N, on note Xn:K→K|x7→ xn. On appelle monômes de
degré n les application de la forme λXn:K→K|x7→ λxnavec λ∈K.
Remarques
•On a donc X=X1=IdK(i.e. X :K→K|x7→ x).
•X0est l’application constante égale à 1 : X0:K→K|x7→ 1. Par abus de notation, on écrira
simplement X0=1 et −4 pour −4X0(par exemple).
D´ efinition 2
Une application P :K→Kest appelée polynôme à coefficients dans
Ks’il existe n ∈Net a0,a1,...,an∈Ktels que
P=
n
X
i=0
aiXii.e. ∀x∈K,P(x)=
n
X
i=0
aixi
On note K[X]l’ensemble des polynômes à coefficients dans K.
Remarque
Il est clair qu’une même fonction peut avoir plusieurs écritures différentes de ce type : il suffit de
rajouter des coefficients nuls à la fin. Ainsi, X3+2X−1=0.X5+0.X4+X3+2X−1 (dans le premier
cas, on a n=3, a0=−1, a1=2, a2=0 et a3=1 alors que dans le deuxième cas on a n0=5, a0
0=−1,
a0
1=2, a0 2=0, a0 3=1, a4=0 et a0 5=0). Nous allons voir que c’est en fait la seule manière d’obtenir
deux écritures différentes de cette forme pour une même fonction.
Exercice 1Montrer que les applications suivantes sont des polynômes et préciser leurs coeffi-
cients.
1. f:R→R|x7→ Äx−√2ä3
2. g:C→C|x7→ (x+2)2+ix4−3i(x−ix2)
3. h:R→R|x7→ (2x+1) cos2x+((x+1) sin x)2−x2sin2x

Chapitre 3–Polyn ˆ omes 2
Propri´ et´ e1
Soit P ∈K[x], P =n
P
i=0aiXi.Ona:
P=0⇔ ∀i∈~0,n,ai=0
Propri´ et´ e2
Soient P =n
P
i=0aiXiet Q =m
P
i=0biXidans K[X]et λ∈K.
Quitte à échanger le rôle de P et Q, on peut supposer n >m et poser
bi=0pour m <i6n. On a alors :
•P+Q=Q+P=n
P
i=0(ai+bi)Xi
•λP=n
P
i=0λaiXi
Remarque
On note P−Q=P+(−1) ×Q=n
P
i=0(ai−bi)Xi.
Propri´ et´ e3
Si P,Q,R∈K[X]et λ∈K,ona:
•P+(Q+R)=(P+Q)+R=P+Q+R
•λ(P+Q)=λP+λQ
•P−P=0
Th´ eor` eme 4
Soient P =n
P
i=0aiXiet Q =m
P
i=0biXidans K[X].
Si
•an,0et bm,0et
• ∀x∈K,P(x)=Q(x)(i.e. P=Q),
alors
•n=m et
• ∀i∈~0,n,ai=bi.
Remarque
À condition d’imposer que le coefficient de plus haut degré soit non nul, on pourra donc parler de
l’écriture (unique) d’un polynôme comme somme de monômes.
D´ efinition 3
Soit P ∈K[X], P ,0.
P s’écrit de manière unique P =n
P
i=0aiXiavec an,0.
•Le degré de P est deg(P)=n.
•Le coefficient dominant de P est an.
•Le terme dominant de P est anXn.
•P est dit unitaire si son coefficient dominant vaut 1.
•Le coefficient constant de P est a0.
Par convention, le degré du polynôme nul est −∞.

Chapitre 3–Polyn ˆ omes 3
Remarque
Si P=n
P
i=0aiXiavec P,0, alors deg(P)=max{i∈N,ai,0}.
D´ efinition 4
Pour n ∈N, on note Kn[X]={P∈K[X],deg(P)6n}.
1.2. Opérations sur les polynômes
Propri´ et´ e5
Produit et substitution
Soit P,Q∈K[X], P =n
P
i=0aiXiet Q =m
P
i=0biXi.
•P×Q=Q×P=n+m
P
i=0ciXioù, pour 06i6m+n, on a ci=P
k+l=i
albk.
•P◦Q=P(Q)=n
P
i=0aiQi
Remarque
La notation P(Q) pour P◦Qest très usitée mais elle peut être ambiguë. Ainsi P(X2) signifie
n
P
i=0ai(X2)i, mais P(X2+1) peut signifier soit P◦(X2+1) =n
P
i=0ai(X2+1)isoit P×(X2+1) =
X2×P+P=n
P
i=0aiX2+i+n
P
i=0aiXi, suivant le contexte.
Exercice 2Soient P=X3−X+3 et Q=X2−1. Calculer PQ,P(Q) et Q(P).
Exercice 3Soit P∈K[X]. Déterminer deg(P(X+1)) et deg(P(X+1) −P(X)).
D´ efinition 5
Soit P ∈K[X].
•P est dit pair si P(−X)=P(X).
•P est dit impair si P(−X)=−P(X).
Remarque
Cette définition correspond à la notion usuelle de parité d’une fonction dans le cas particulier des
polynômes.
Propri´ et´ e6
Un polynôme P est
•pair ssi il s’écrit n
P
i=0aiX2i;
•impair ssi il s’écrit n
P
i=0aiX2i+1.

Chapitre 3–Polyn ˆ omes 4
Exercice 4On considère un polynôme P∈K[X]. Montrer qu’il existe un unique couple
(A,B)∈K[X]2tel que P=A+Bavec Apair et Bimpair.
Propri´ et´ e7
Soient P,Q∈K[X].
On pose par convention n +(−∞)=−∞ +n=−∞ si n ∈N.
•deg(P+Q)6max(deg(P),deg(Q))
•deg(PQ)=deg(P)+deg(Q)
•deg(P◦Q)=deg(P) deg(Q)si P ,0et Q ,0.
Exercice 5Trouver P,Q∈K[X] tels que deg(P+Q)<max(deg(P),deg(Q)).
Propri´ et´ e8
Soient P,Q∈K[X].
Si deg(P),deg(Q), alors deg(P+Q)=max(deg(P),deg(Q)).
Propri´ et´ e9
Soient P,Q∈K[X]tels que P ,0et Q ,0.
On a
•PQ ,0
•Le coefficient dominant de PQ est le produit des coefficients domi-
nants de P et de Q.
•Le terme dominant de PQ est le produit des termes dominants de
P et de Q.
2 Dérivée d’un polynôme
D´ efinition 6
Soit P ∈K[X], P =n
P
i=0aiXi.
•Le polynôme dérivé de P est P0=n
P
i=1iaiXi−1.
•On définit par récurrence P(k)pour k ∈N:
P(0) =P
P(k+1) =ÄP(k)ä0
Remarques
•La dérivée du polynôme nul est égale au polynôme nul.
•Cette définition est compatible avec celle de la dérivée d’une fonction d’une variable réelle.

Chapitre 3–Polyn ˆ omes 5
Propri´ et´ e10
Soient P,Q∈K[X],λ∈Ket k ∈N.
•(P+Q)0=P0+Q0et (P+Q)(k)=P(k)+Q(k).
•(λP)0=λP0et (λP)(k)=λP(k).
•(P◦Q)0=Q0×(P0◦Q)
•(P×Q)0=P0×Q+P×Q0
•(P×Q)(k)=k
P
i=0Äk
iäP(i)Q(k−i)=k
P
i=0Äk
iäP(k−i)Q(i)(formule de Leibniz)
Propri´ et´ e11
Soit P ∈K[X]et k ∈N.
P(k)=
deg(P)
X
i=k
i!
(i−k)!aiXi−k
Cette somme étant nulle si k >deg(P), on a
deg(P(k))=deg(P)−ksi k6deg(P)
deg(P(k))=−∞ si k>deg(P)
Remarque
En particulier, on a :
•deg(P0)=deg(P)−1 si P,0.
•P(k)=0 si k>deg(P).
Exercice 6Montrer que exp : R→Rn’est pas une fonction polynôme.
Th´ eor` eme 12
Formule de Taylor pour les polynômes
Soit P ∈K[X], P =n
P
k=0akXket b ∈K.
On a
P=
n
X
k=0
P(k)(b)
k!(X−b)k
En particulier, avec b =0, on obtient
P=
n
X
k=0
P(k)(0)
k!Xk
et donc par identification
∀k∈~0,n,ak=P(k)(0)
k!
Exercice 7Appliquer la formule de Taylor en −1 au polynôme X3−2X2+3X−4.