PHY244 partiel mars 2014-2015 Français

UE PHY244 – Vibrations, ondes et optique ondulatoire, 2014-2015
L2 Université Joseph Fourier, Grenoble
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UE PHY244 – Partiel – 12 mars 2015 – durée 2h – 5 pages
Calculatrice collège autorisée, documents interdits, téléphone portable interdit
L’examen est composé d’un problème et de deux exercices.
PROBLEME : PENDULES COUPLÉS PAR UNE BARRE DE
TORSION
Le but de ce problème sera de résoudre le système de pendules couplés par
un fil de torsion, système similaire à celui vu en TD.
Les différentes parties de ce problème sont largement indépendantes.
La première partie sera consacrée à l’étude du pendule simple non amorti ;
la deuxième partie à l’étude du pendule simple en régime amorti ; la
troisième partie au système de pendules couplés en régime libre et enfin, la
quatrième partie étudiera le système de pendules couplés en régime forcée.
I. Pendule simple non amorti ( 3 points)
On considère une masse m = 100 g de dimension négligeable, suspendue par une
barre de longueur = 40 cm (dont la masse est négligeable devant la masse m),
qui oscille librement sans frottement. L’angle repère la position de la masse m
par rapport à la verticale. Pour les applications numériques, l’accélération de la
pesanteur g sera prise comme étant égale à 9,81m/s2.
1) Établir l’équation différentielle en du mouvement de la masse m. Vous pouvez
utiliser la méthode de votre choix : principe fondamental de la dynamique projeté sur
, théorème du moment cinétique, ou dérivée temporelle de l’équation de
conservation de l’énergie mécanique.
2) Montrer que dans le cadre des petites amplitudes d’oscillation, ce pendule est
équivalent à un oscillateur harmonique.
3) Déterminer la pulsation propre
0, la fréquence f0 et la période d’oscillation T0 de ce
pendule (expression littérale puis application numérique).
4) Établir l’équation horaire du mouvement lorsque le pendule est lâché à    sans
vitesse initiale avec un angle
0 par rapport à la verticale.
5) Représenter dans ces conditions son mouvement (t) sur un graphique correctement
annoté.
II. Pendule simple amorti ( 3 points)
On reprend le pendule précédent en considérant, cette fois, que des frottements fluides s’appliquent
sur ce pendule de type
fv
où
v
est la vitesse de la masse m. On veillera à donner les réponses
finales en fonction des données m,  et α. L’équation différentielle qui régit le mouvement du
u
r
u
m

pendule simple amorti s’écrit dans le cadre de l’approximation des faibles amplitudes :
2
20
d d g
m dt
dt
.
1) Vérifier l’homogénéité de cette équation.
2) Ecrire la condition sur , pour que l’on soit en régime pseudo-périodique.
3) Déterminer (expression littérale puis valeur numérique) la pseudo-période Tp de ce
mouvement ainsi que le temps caractéristique de la décroissance de ce signal en
considérant que g/s. Déterminer le nombre de pseudo-périodes que l’on peut
observer pendant la durée
4) Dans le cadre de ce régime, avec les mêmes conditions initiales que dans la partie
précédente (pendule lâché à t = 0 sans vitesse initiale avec un angle par rapport à la
verticale), représenter en fonction du temps, en annotant votre schéma aussi
précisément que possible (les grandeurs Tp, doivent y apparaître clairement).
III. Pendules couplés en régime libre ( 4,5 points)
On considère deux pendules identiques P1 et P2 de longueur  et
de masse m couplés par un fil de torsion de constante de
torsion C, ce fil étant sur l’axe de rotation des pendules (Δ),
c'est-à-dire perpendiculaire au plan d'oscillation des pendules
On suppose que lorsque les deux pendules sont à la verticale, le
fil ne subit aucune torsion et donc que le moment des forces
est nul. Par ailleurs, on rappelle que lorsque les pendules P1 et
P2 sont inclinés par rapport à la verticale d'un angle
et d'un
angle
, alors le moment des forces s’appliquant par rapport à
l’axe Δ pour le pendule P1 est :
1, 1 2fil
MC
.
On négligera les frottements dans toute cette partie.
Le système d’équations différentielles couplées s’écrit :
211 1 2
22
222 2 1
22
0
0
dgC
dt m
dgC
dt m
1) En déduire le système d’équations différentielles vérifié par S =
et D = .
2) Déterminer (en le justifiant) les pulsations propres ’ et ’’ de ce système
d’oscillateurs couplés en fonction de m, g,  et C.
3) En déduire la forme générale des équations horaires
(t) et (t) des mouvements
des deux pendules. Dessiner l’allure du spectre en fréquences de
(t) (on veillera à
indiquer les valeurs en abscisse et en ordonnée).
4) Donner la définition précise d’un mode propre.
P1
P2
1
2
O1
O2
Fil de torsion
(constante de
torsion C)
()

5) Quelle relation simple existe-t-il entre
et  dans chacun des modes propres
(justifier) ? Commenter la dépendance avec la constante de rappel C des expressions
de ’ et ’’ trouvées précédemment.
6) Donner un exemple de conditions initiales qui permettent de faire osciller le système
dans chacun des deux modes propres indépendamment (un exemple par mode
propre soit deux exemples en tout, décrire clairement et sans ambiguïté les
procédures).
7) Comment faut-il choisir la valeur de la constante de rappel C par rapport à g, m et ,
pour obtenir des battements avec ce système (on rappelle que les pulsations propres
doivent alors être proches l’une de l’autre)? L’approche ici est qualitative mais doit
être clairement justifiée.
IV. Pendules couplés en régime forcé ( 4 points)
On considère le même système de pendules couplés que dans la partie III et on applique à présent au
pendule P1 un couple excitateur sinusoïdal à la pulsation ω, de telle manière que le système
d’équations du mouvement de ces pendules couplés devient :
20
11 1 2
2 2 2
222 2 1
22
cos
0
C
dgC t
dt m m
dgC
dt m
Une fois le régime transitoire passé s’établit un régime forcé qu’on recherche sous la forme
1 1 1
cost A t
et
2 2 2
cost A t
1) Donner les expressions des grandeurs complexes
1t
associée à
1t
et
2t
associée à
2t
.
2) En utilisant la représentation complexe pour les variables
1t
et
2t
, montrer
que :
2
2
0
122 2 2 2
' ''
it
Cg
Cm
te
m
3) Donner l’expression de la pulsation qui permet au premier pendule de
s’immobiliser (pulsation d’antirésonance).
4) Rappeler la définition du phénomène de résonance de
1
.
5) Pour quelle(s) valeur(s) de y-a-t-il résonance de
1
?
6) Tracer l’allure du graphe de l’amplitude de
1t
en fonction de . On précisera sur les
axes les valeurs remarquables.
7) Comment se modifie qualitativement ce graphe en tenant compte de faible frottement
visqueux ?

EXERCICE 1 : UNE CORDE DE GUITARE ( 3 points)
Les frettes placées le long du manche d’une guitare permettent au musicien de modifier la hauteur
du son produit par la corde. En pressant la corde contre une frette, il diminue la longueur de la partie
utile de la corde, provoquant une modification de la fréquence fondamentale de vibration de la
corde.
1) Pourquoi prend-on des cordes de guitare plus grosses pour les notes graves ?
2) Déterminer la fréquence f1 de vibration fondamentale d’une corde de longueur L le
long de laquelle les ondes se propagent à la célérité C. Faire l’application numérique
pour L = 80 cm et C =704 m/s (on fera attention au nombre de chiffre significatif).
3) Représenter sur un même graphique l’allure de la corde à différents instants pour le
mode fondamental. Recommencer pour les deux harmoniques de fréquences
immédiatement supérieures à celle du fondamental.
4) Lorsque le guitariste diminue la longueur de la partie utile de la corde, la note
obtenue est-elle plus aigue ou plus grave (justifier) ?
5) La note monte d’un demi-ton lorsque la fréquence est multipliée par 21/12. Pour cela,
comment doit-on modifier la longueur de la corde ? Calculer la nouvelle longueur L'.
EXERCICE 2 : INTENSITE ACOUSTIQUE DU SON PRODUIT PAR
UNE ALARME ( 4.5 points)
1) Donner un ordre de grandeur des valeurs de l’amplitude de la surpression
correspondant au seuil d’audibilité minimale et au seuil de douleur (pour une onde
sonore se propageant dans l’air dans les conditions normales).
2) Donner l’expression de la force dF associée à l’élément de surface dS exercée par la
surpression p.
3) Rappeler la définition de l’intensité acoustique, qu’on notera Iac.
4) On note va la vitesse de déplacement des molécules dû à l’onde sonore. Établir
l’expression de Iac. en fonction de p et va.
5) Quel est l’intérêt d’utiliser pour l’intensité acoustique une échelle logarithmique (en
décibels) ?
6) Donner la définition du niveau d’intensité sonore NdB en décibels (on rappelle
que le niveau de référence correspond à l’intensité acoustique I0 = 10-12 W/m2).
L

Une sirène située au point O émet un signal d’alarme avec une puissance moyenne P0 = 10 W.
On suppose qu’elle se comporte comme une source ponctuelle émettant uniformément dans toutes
les directions.
7) Comment s’exprime l’intensité acoustique Iac en un point M situé à la distance
r = OM de la sirène (justifier) ?
8) Quelle est la valeur numérique de l’intensité acoustique Iac si le niveau d’intensité
sonore vaut 60 dB ?
9) En déduire la distance à laquelle le niveau d’intensité acoustique est égal à 60 dB.