DM2 Informatique Pour Tous / Physique PC 2016 – 2017 Autour du pendule On se propose d’étudier un système physique simple : le pendule. On considère une masse ponctuelle m, repérée par le point M, suspendu au point O via une tige rigide sans masse et de longueur l. O y θ l T~ ~θ e M b ~r e 1 Étude du pendule simple 1.1 x ~ p Préliminaires 1. Établir l’équation différentielle qui régit le mouvement du pendule. 2. On se place dans le cas de petits mouvements (i.e. θ ≪ 1 rad). Simplifier alors l’équation précédente. Quel nom porte un système physique décrit par une telle équation ? 3. Résoudre l’équation obtenue pour les conditions initiales suivantes : θ(t = 0) = θ0 et θ̇(t = 0) = 0. 4. Quelle est la période des oscillations ? 1.2 Pendule simples aux grands angles Dans cette partie, on ne suppose plus que θ ≪ 1 rad. L’équation différentielle ne peut donc pas être linéarisée. On va alors chercher à la résoudre numériquement. 1. Rappeler le principe de la méthode d’Euler pour intégrer une équation différentielle. 2. Comment doit-on choisir le pas de temps ? 3. Proposer une fonction qui prend comme arguments : la longueur du pendule, sa position initiale et sa vitesse angulaire initiale et qui renvoie θ(t) ainsi que θ̇(t). 4. Écrire un script qui affiche les deux courbes y = θ(t) et y = θ̇(t). 5. Proposer une fonction qui mesure la période T d’un signal périodique de valeur moyenne nulle. On pourra commencer par chercher les passages à zéros du signal. 6. Donner un algorithme qui trace la période T des oscillations en fonction de θ0 . 7. Écrire un script qui affiche le portrait de phase de l’oscillateur pour plusieurs conditions initiales. 2 Pendules couplés 2.1 Deux pendules couplés On considère deux pendules identiques (longueur l, masse m) que l’on repère par les angles θ1 et θ2 qu’ils font respectivement avec la verticale. Ces deux pendules sont reliés par un fil de torsion de constante de raideur C . Ainsi le pendule 1 exerce sur le pendule 2 un couple de moment Γ = −C (θ2 − θ1 ). 1. Établir le système d’équations couplées qui régit le mouvement des deux pendules. 2. Dans le cas des petits angles, découpler ces deux équations en posant : S = θ1 + θ1 et D = θ1 − θ2 . 3. Trouver l’expression de S(t) et D(t), on prendra commme conditions initiales θ1 (t = 0) = θ0 , θ˙1 (t = 0) = 0, θ2 (t = 0) = 0, θ˙2 (t = 0) = 0. Lycée Victor Hugo – Besançon 1 à rendre le Lundi 9 Janvier DM2 Informatique Pour Tous / Physique PC 2016 – 2017 4. En déduire l’expression de θ1 (t) et θ2 (t). 5. On se place désormais dans le cas où les angles sont quelconques. Écrire un algorithme qui résoud le système d’équations couplées non linéaires qui régit le mouvement des pendules. On écrira une fonction qui prend quatre arguments : les quatres conditions initiales sur θ1 , θ˙1 , θ2 , θ˙2 et qui renvoie : θ1 (t), θ˙1 (t), θ2 (t), θ˙2 (t). On choisira m = 10 g, l = 10 cm et C = 6.10−2 N.m. L’algorithme pourra commencer par calculer à un instant t les différents moments de force agissant sur les pendules, puis intégrer les équations du mouvement pour trouver la position des pendules à l’instant t + dt. 6. Écrire une fonction qui, à partir de θ1 (t), θ˙1 (t), θ2 (t), θ˙2 (t) affiche l’énergie mécanique de chacun des pendules au cours du temps ainsi que l’énergie mécanique totale du système. Justifier que l’énergie mécanique totale est constante. Supposons que l’algorithme de résolution donne une énergie mécanique qui diverge, comment pourrait-on interpréter un tel résultat ? 2.2 Chaîne (presque) infinie de pendules couplés : génération de soliton On considère une chaîne de N pendules (N ≫ 1) tous identiques et couplés par une même constante de raideur. On notera θn l’angle que fait le pendule n avec la verticale. 1. Établir l’équation différentielle vérifiée par la position du nieme pendule (1 < n < N). 2. On impose les conditions suivantes : – le dernier pendule de la chaine est maintenu fixe à la position θN−1 = 0 – le premier pendule effectue un tour en un temps τ, puis reste fixe :θ0 (0) = 0, θ0 (τ) = 2π et θ0 (t > τ) = 2π. On crée ainsi une onde progressive non sinusoïdale appelé soliton 1 dont on souhaite connaître la vitesse de propagation. Calculer numériquement la position θn (t) des N pendules au cours du temps. 3. Représenter ce soliton sous la forme d’un diagramme spatio-temporel : on affichera une image en niveau de gris dont l’intensité du pixels I(n,m) représente la position du pendule n à l’instant m. 4. Écrire une fonction qui mesure la vitesse de propagation du soliton. 2.3 Pour les plus courageux Il est possible de calculer analytiquement la forme du soliton. Pour cela, on fait l’approximation des milieux continus. On suppose que la largeur du soliton est grande devant la distance séparant deux pendules. On remplacera donc θn (t) par une fonction à deux variables : Θ(x,t). 1. En effectuant un développement de Taylor à l’ordre 2 en x, montrer que la fonction Θ vérifie l’équation suivante (appelée équation de Sine-Gordon 2 ) : 1. Un soliton est une onde solitaire qui se propage sans se déformer, on les rencontre dans de nombreuses situations physique, on peut citer par exemple : les tsunamis, les mascaret, les morning glory cloud, ou encore les solitons dans les jonctions Josephson 2. Sine n’est pas le nom d’un scientifique, mais veut dire sinus en anglais... Lycée Victor Hugo – Besançon 2 à rendre le Lundi 9 Janvier DM2 Informatique Pour Tous / Physique 2. Donner l’expression de c0 et Ω0 PC 2016 – 2017 2 ∂2 Θ 2∂ Θ − c + Ω20 sin(Θ) = 0. 0 ∂t 2 ∂x 2 3. On cherche une solution à cette équation sous la forme d’une onde progressive (Θ(x,t) = Θ(x − vt)), et non sinusoïdale : le soliton. En utilisant le fait que l’on cherche une solution progressive, transformer l’équation de Sine-Gordon aux dérivées partielles en une équation différentielles avec des dérivées exactes par rapport à x. 4. Intégrer une première fois cette équation pour aboutir à une équation du type : 1 2 5. On donne l’intégrale suivante : Z √ ∂Θ ∂x 2 dθ 2 sin(θ/2) = Eef f (Θ) = √ 2 ln (tan θ/2) . Montrer alors qu’il existe deux solutions possibles : Ω0 (x − x0 − vt) Θ± (x,t) = 4 arctan exp ± q 2 2 c0 − v 6. Représenter ces deux solutions en fonction de x à un instant t donné. Lycée Victor Hugo – Besançon 3 à rendre le Lundi 9 Janvier