Probabilités, MATH 424 Feuille de travaux dirigés 6 - LAMA

Probabilités, MATH 424
Feuille de travaux dirigés 6 : Approximations et théorèmes limites
Exercice 1 (Approximations).Des études effectuées par une compagnie aérienne montrent qu’il y a une probabilité 0.05
qu’un passager ayant effectué une réservation n’effectue par le vol. Dès lors elle vend toujours 94 billets pour ses avions à
90 places. On note Ale nombre d’absents à l’embarquement.
1. Quelle est la loi suivie par A.
2. Quelle est la probabilité pour qu’il y ait un problème à l’embarquement ?
3. Comparer les approximations par la loi de Poisson et par la loi normale, quelle est la meilleure ? pourquoi pouvait on
s’en douter ?
Exercice 2 (Sondage avec et sans remise).Deux individus Aet Bsont les candidats d’une élection dans une population de N
personnes. On note pla proportion d’électeurs pour Adans la population totale. Afin d’estimer pon fait un sondage auprès
de npersonnes.
1. On suppose le sondage fait sans remise et on note Yle nombre d’électeurs favorables à Adans cet échantillon. Donner
la loi de Net calculer son espérance.
2. On suppose le sondage fait avec remise et on note Xle nombre d’électeurs favorables à Adans cet échantillon.
(a) Quelle est la loi suivie par X?
(b) Grâce à l’approximation normale, donner en fonction de net pun intervalle où Xa 95% de chance de se situer.
(c) Donner un estimateur naturel ˆpde p. Quelle est sa moyenne ?
(d) Donner un majorant de x(1−x)lorsque x∈[0,1]. En déduire un intervalle de confiance à 95% pour p.
(e) Quelle est la taille de cet intervalle lorsque l’on interroge 1000 personnes ?
(f) Combien de personnes faut-il interroger pour obtenir une estimation à ±2%.
(g) On suppose que la taille nde l’échantillon est très petite devant la taille Nde la population. Comparer Xet Y.
Exercice 3 (Méthode de Monte-Carlo).Soit (Un)une suite de variables aléatoires indépendantes toutes de loi uniforme sur
l’intervalle [0,1]. Soit f:[0,1]→Rune fonction continue. Que peut on dire de
f(U1) + ... +f(Un)
n
lorsque ntend vers l’infini ?
Exercice 4 (Somme de lois de Poisson).Soit Xnune suite de variable aléatoires indépendantes de même loi de Poisson de
paramètre 1. Soit Sn=∑n
k=1Xk. Donner la loi de Snet calculer la limite de la suite e−n∑n k=0
nk
k!.
Exercice 5 (Dé).La somme des résultats de 10000 lancers d’un même dé est 35487. Pensez-vous que ce dé soit truqué ?
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