TS-Dérivation continuité

TS - Dérivation et continuité
Cours
DÉRIVATION ET CONTINUITÉ
1
Dérivation
Propriété 1.1 :
des
fonctions
(rappel)
f (x)
k (constante)
x
x2
x3
xn , n ∈ N∗
1
x
√
x
Dérivées
usuelles
f (x)
0
1
2x
3x2
nxn−1
1
− 2
x
′
Propriété 1.2 : Opérations sur les fonctions (rappel)
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et k ∈ R.
Opérations
Somme
Multiplication par une constante
Produit
Inverse
Quotient
Fonction f
u+v
ku
uv
1
u
Dérivée f ′
u′ + v ′
k u′
u′v + uv ′
−u′
u2
u
v
u′v − uv ′
v2
1
√
2 x
Propriété 1.3 : Équation d’une tangente (rappel)
Soit f une fonction définie et dérivable sur I et a ∈ I.
La tangente en a à la courbe représentative de f a pour équation y = f ′ (a)(x − a) + f (a) .
Propriété 1.4 : Dérivée de la racine carrée d’une fonction
Soit u une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
q
√ ′
u′
Alors la fonction définie sur I par : x 7→ u(x) est dérivable sur I et ( u) = √
2 u
Propriété 1.5 : Dérivée de la puissance d’une fonction
Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Soit n ∈ Z∗ .
Alors la fonction définie sur I par : x 7→ (u(x))n est dérivable sur I et (un )′ = n u′ un−1
Preuve : On considère deux cas : d’abord n positif, puis n négatif.
– Si n ∈ N∗ , on va raisonner par récurrence.
Initialisation : Pour n = 1, on a (u1 )′ = u′ et 1 u′ u1−1 = u′ u0 = u′ × 1 = u′ .
On a bien (u1)′ = 1 u′ u1−1 et donc la propriété est vraie au rang n = 1.
Hérédité : On suppose que la propriété est vraie pour un certain rang n avec n ∈ N∗ .
′
(un+1 ) = (un × u)′ = (un )′ × u + un × u′ .
Or d’après l’hypothèse de récurrence, (un )′ = n u′ un−1 .
′
Donc (un+1) = n u′ un−1 × u + un × u′ = n u′ un + u′ un = (n + 1)u′ un .
La propriété est donc vraie au rang n + 1.
Conclusion : Donc pour tout n ∈ N∗ , on a (un )′ = n u′ un−1 .
– Si n est négatif, on pose m = −n. On a alors m qui est positif.
1
1
Ainsi un = −n = m
u
u
(um )′
m u′ um−1
n ′
et (u ) = − m 2 = −
= −m u′ um−1−2m = −m u′ u−m−1 = n u′ un−1
2m
u
(u )
1
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Définition 1.1 : Nombre dérivé (rappel)
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soient (x0 , h) ∈ R2 .
f est dérivable en x0 si et seulement si
f (x0 + h) − f (x0 )
tend vers un nombre réel quand h tend vers 0.
h
Dans ce cas, ce nombre réel est appelé nombre dérivé de f en x0 ,
noté f ′ (x0 ).
f (x0 + h) − f (x0 )
= f ′ (x0 ) .
Si f est dérivable en x0 , on a alors lim
h→0
h
A
C
×
×
M
1
O
1
x0
h
x
x0 + h
Propriété 1.6 : Dérivée de x 7→ f (ax + b)
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Soient (a, b) ∈ R2 et J l’intervalle formé des réels x tels que ax + b ∈ I.
Soit la fonction g : x 7→ f (ax + b).
Alors g est dérivable sur J et g ′ (x) = a × f ′ (ax + b) .
Preuve : Soient (x0 , h) ∈ R2 tels que x0 ∈ J et x0 + h ∈ J.
g(x0 + h) − g(x0 )
f (a(x0 + h) + b) − f (ax0 + b)
f (ax0 + ah + b) − f (ax0 + b)
=
=a×
h
h
ah
f (X0 + H) − f (X0 )
g(x0 + h) − g(x0 )
=a×
.
On pose X0 = ax0 + b et H = ah. On obtient alors
h
H
Quand h tend vers 0, H = ah tend aussi vers 0.
De plus, comme x0 ∈ J alors X0 = ax0 + b ∈ I et donc f est dérivable en X0 ,
f (X0 + H) − f (X0 )
et lim
= f ′ (X0 ).
H→0
H
f (X0 + H) − f (X0 )
g(x0 + h) − g(x0 )
= lim a ×
= af ′ (X0 ) = af ′ (ax0 + b).
Finalement, lim
H→0
h→0
h
H
Ainsi g est dérivable sur J et pour tout x ∈ J, g ′ (x) = a × f ′ (ax + b).
2
Continuité
Définition 2.1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle [a, b] avec a et b deux nombres réels.
On dit que f est continue sur [a, b] si on peut tracer sa courbe représentative sans lever le crayon .
Propriété 2.1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle [a, b] avec a et b deux nombres réels.
Si f est dérivable sur [a, b] alors f est continue sur [a, b].
Propriété 2.2 :
– Les fonctions usuelles (polynômes, fonctions rationnelles, racine carrée) sont continues sur
chaque intervalle de leur ensemble de définition.
– Les fonctions construites à partir de fonctions continues par somme, produit, quotient ou composition, sont continues sur chaque intervalle où elles sont définies.
2
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Exemple 2.1 :
a) La fonction carrée x 7→ x2 est continue sur R.
5
3x + 2
est continue sur
b) La fonction rationnelle x 7→
5x− 1
1
1
et ; +∞ .
les intervalles −∞;
5
5
−3
−2
1
−1
2
3
10
−3
−2
1
−1
2
3
−10
c) La fonction partie entière est définie sur R mais n’est
pas continue sur R. En revanche, elle est continue sur
tout intervalle de la forme [k, k + 1[ avec k ∈ Z.
2
1
−2
1
−1
−1
2
3
4
−2
3
Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème 3.1 : Théorème des valeurs intermédiaires
Soit f une fonction définie sur [a, b] et k ∈ R.
(
f est continue sur [a, b]
,
k est compris entre f (a) et f (b)
alors il existe (au moins) un nombre α appartenant à [a, b] tel que
f (α) = k.
Si
f (a)
Cf
k
f (b)
×
×
×
a
b
Propriété 3.1 : Cas d’une fonction strictement monotone
Soit f une fonction définie sur [a, b] et k ∈ R.
Cf



f est continue sur [a, b]
Si  f est strictement monotone sur [a, b] ,

k est compris entre f (a) et f (b)
alors il existe un unique nombre α appartenant à [a, b] tel que f (α) = k.
f (b)
k
f (a)
a
α
b
Exemple 3.1 : Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 2x3 − 5x2 − 7x − 1.
Montrer que l’équation f (x) = −10 admet une unique solution α sur [0; 2] et déterminer une valeur
approchée de α à 10−2 près.
3