cours

Limites d’une fonction — Continuité
ponctuelle
Bcpst 1 — 27 février 2017
I — Parties de R et ordre
I.1 — Intervalles
Définition 1.1 — Intervalle de R
Un intervalle de R est un ensemble d’une des formes suivantes (a, b) ∈ R2 , a < b
∅,
]a ; b[,
{a} ,
]a ; + ∞[,
]a ; b],
R,
[a ; b[,
[a ; + ∞[,
[a ; b],
] −∞ ; a [ ,
] −∞ ; a ]
Propriété 1.2 — Un intervalle I de R vérifie la propriété de continuité
∀(α, β ) ∈ I 2 ,
α < x < β =⇒ x ∈ I
Dém. En énumérant les différentes formes d’intervalles.
ƒ
Définition 1.3 — Segment de R
Un segment de R est un intervalle de la forme [ a ; b ] avec (a, b) ∈ R2 , a < b.
Définition 1.4 — Voisinage
Soit x 0 ∈ R. Un voisinage de x 0 est un intervalle ouvert de la forme ]x 0 − α ; x 0 + α[
avec α > 0.
x0 − α x0 x0 + α
Un voisinage de +∞ est un intervalle ouvert de la forme ]a ; + ∞[ avec a ∈ R.
II — Limites d’une fonction en un point
2
a
II — Limites d’une fonction en un point
Notations du chapitre — Dans tout ce chapitre, D est un domaine de R, c’est-à-dire
un intervalle de R non vide et non réduit à un point, ou bien une réunion finie de tels
intervalles de R.
Typiquement : D = R+ ou D = R∗+ .
D
a (exclu)
Figure I.1 — Un exemple de domaine de définition
II.1 — Limites finies
Définition 2.2 — Limite finie en un point
Soit f est une fonction de D dans R et x 0 un point ou une borne finie de D.
La fonction f tend vers ` en x 0 si et seulement si
∀ε > 0,
∃α > 0,
∀x ∈ D ∩ ]x 0 − α ; x 0 + α[ ,
| f (x) − `| < ε
y
`+ε
`−ε
O
x0 − α x0 x0 + α
x1
x
La fonction représentée ci-dessus admet une limite en x 0 . Elle n’admet pas de
limite en x 1 .
II — Limites d’une fonction en un point
3
Remarque I.0
– On demande à x d’être dans D ∩ ]x 0 − α ; x 0 + α[ afin d’une part que f soit
définie en x et d’autre part que x soit dans un voisinage de x 0 .
– On peut montrer que les inégalités dans la définition précédente peuvent être
larges ou strictes : la notion définie est la même.
Proposition 2.3 — Unicité de la limite
Soit f est une fonction de D dans R et x 0 un point ou une borne finie de D.
Si f tend vers ` en x 0 , alors il existe un seul réel ` vérifiant cette propriété.
Dém. Soit ` et `0 deux réels vérifiant
∀ε > 0,
∃α > 0
tel que
x ∈ D ∩ ]x 0 − α ; x 0 + α[ =⇒ | f (x) − `| < ε
x ∈ D ∩ x 0 − α0 ; x 0 + α0
=⇒ f (x) − `0 < ε
∗
00
0
Prenons
dans
ε quelconque
R+ et α = inf(α, α ). Prenons alors x quelconque dans
00
00
D ∩ x 0 − α ; x 0 + α . Comme
f (x) − `0 < ε
| f (x) − `| < ε
et
` − `0 = ` + f (x) − f (x) − `0 < | f (x) − `| + f (x) − `0 < 2ε
avec l’inégalité triangulaire
Ainsi, pour tout ε > 0, ` − `0 < 2ε , ce qui prouve que ` = `0 .
Notation
ƒ
On parle de la limite de f en x 0 et on note indifféremment lim f = `,
x0
lim f (x) = ` ou f (x) −−−→ `.
x→x 0
x→x 0
Exemple On peut démontrer que lim x 2 = 0 : on prend α =
x→0
de la limite.
p
ε dans la définition
Théorème & Définition 2.4 — Continuité ponctuelle
Soit f est une fonction de D dans R et x 0 un point de D.
Si f admet une limite en x 0 alors nécessairement cette limite est égale à f (x 0 ). Dans ce
cas, on dit que f est continue en x 0 .
Dém. Revenons à la définition de la limite
∀ε > 0,
∃α > 0
tel que
II — Limites d’une fonction en un point
x ∈ D ∩ ]x 0 − α ; x 0 + α[
=⇒
4
| f (x) − `| < ε
Si x 0 ∈ D, alors on peut toujours prendre x = x 0 dans la seconde partie de la formule.
On ainsi
∀ε > 0,
| f (x 0 ) − `| < ε
Ce qui prouve que ` = f (x 0 ).
ƒ
La différence entre la notion de limite en x 0 et la notion de continuité en x 0 est
qu’une fonction continue en x 0 doit être définie en x 0 .
Exemple La plupart des fonctions usuelles sont réputées continues sur leur domaine de définition.
II.2 — Limites infinies – Limite en l’infini
Définition 2.5 — Limites infinies en un point fini
Soit f : D −→ R et x 0 un point ou une borne finie de D.
La fonction f tend vers +∞ en x 0 si et seulement si
∀M > 0,
∃α > 0
∀x ∈ D ∩ ]x 0 − α ; x 0 + α[ ,
f (x) > M .
La fonction f tend vers −∞ en x 0 si et seulement si − f tend vers +∞.
On note lim f (x) = +∞, lim f = +∞, ou encore f (x) −−−→ +∞. Dans ce cas
x→x 0
x→x 0
x0
la courbe représentative de f présente une asyptote verticale en x 0 .
y
O
x0
Figure I.2 — Asymptote verticale x = x 0 .
x
II — Limites d’une fonction en un point
5
Définition 2.6 — Limite finie en +∞
On suppose que D contient un voisinage de +∞. Soit f : D −→ R.
La fonction f tend vers ` ∈ R en +∞ si et seulement si
∀ε > 0,
∃A > 0,
x ∈ D ∩ ]A ; + ∞[ =⇒ | f (x) − `| < ε
Dans ce cas, la courbe représentative de f présente une asymptote horizontale en
+∞.
y
`
x
O
Figure I.3 — Asymptote horizontale y = `
Définition 2.7 — Limite infinie en +∞
On suppose que D contient un voisinage de +∞. Soit f : D −→ R.
La fonction f tend vers +∞ en +∞ si et seulement si
∀M > 0,
∃A > 0
x ∈ D ∩ ]A ; + ∞[ =⇒ f (x) > M .
On définit de même les limites en −∞. Notez qu’il y a également unicité de la limite
finie en +∞ ou en −∞.
II — Limites d’une fonction en un point
6
y
x
O
Figure I.4 — Différents comportements possibles en +∞
Application I.0 — Limite de ln en +∞
Voici la démonstration d’un résultat que nous avons vu dans la partie sur le logarithme : ln(x) −−−−→ +∞.
x→+∞
R∗+ .
Soit A ∈
Alors pour tout réel x plus grand que 3bAc+1 , ln x > (bAc + 1) ln 3 >
ln 3 × A > A. Ainsi,
∀A ∈ R∗+ ,
∃M ∈ R, x > M =⇒ ln(x) > A
Définition 2.8 — Limites par valeurs supérieures, inférieures
f : D −→ R, x 0 un point ou une borne finie ou infinie de D.
La fonction f tend vers ` par valeurs supérieures en x 0 si et seulement si lim f (x) = `
x→x 0
et si f (x) ¾ ` sur un voisinage de x 0 . On note lim f (x) = `+ ou bien f (x) −−−→ `+ .
x→x 0
x→x 0
La fonction f tend vers ` par valeurs inférieures quand x tend vers x 0 si et seulement si
lim f (x) = ` et si f (x) < ` sur un voisinage de x 0 .
x→x 0
On note lim f (x) = `− ou bien f (x) −−−→ `− .
x→x 0
x→x 0
II — Limites d’une fonction en un point
7
II.3 — Limite à gauche, à droite
Définition 2.9 — Limite à gauche en x 0
Soit f : D −→ R et x 0 un point ou une borne supérieure de D.
La fonction f admet une limite à gauche en x 0 si et seulement si la restriction de f à
D ∩ ] −∞ ; x 0 [ admet une limite en x 0 .
Cette limite est notée lim f (x) = ` ou f (x) −−−→ `.
x→x 0
x<x 0
x→x 0
x<x 0
Définition 2.10 — Limite à droite en x 0
Soit f : D −→ R et x 0 un point ou une borne inférieure de D.
La fonction f admet une limite à droite en x 0 si et seulement si la restriction de f
à D ∩ ] x 0 ; + ∞ [ admet une limite en x 0 . Cette limite est notée lim f (x) = ` ou
x→x 0
x>x 0
f (x) −−−→ `.
x→x 0
x>x 0
Ces limites peuvent être finies ou infinies.
y
O
x0
x0
x
Figure I.5 — Limites à gauche et à droite
Exemple La fonction φ : R+ −→ R
x 7−→
admet 1 comme limite à gauche
x
1
en 2 et 2 comme limite à droite en x 0 = 2.
x>2
sinon
II — Limites d’une fonction en un point
8
y
f (x 0 ) = 2
x0
O
x
Remarquez que la limite à gauche est différente de la valeur de la fonction en 2. En
effet, pour étudier la limite à gauche, on prend la restriction de f à [ 0 ; 2 [, ce qui
permet d’obtenir une limite différente de f (2).
Important ! Aux bornes de D, il est sous-entendu qu’on prend la limite à gauche
ou à droite, selon les cas.
Exemple
p
– lim x = 0 (en fait c’est une limite à droite) ;
x→0
– Soit f : R −→ R . À droite en 0, la fonction tend vers 0. À gauche elle tend
x 7−→ bxc
vers 1.
– lim H(x) = 1 et lim H(x) = 0 où H désigne la fonction de Heaviside, qui vaut 1
x→0
x>0
sur
R∗+
et 0 sur
x→0
x<0
R∗− .
Définition 2.11 — Continuité à gauche, à droite
Soit f : D −→ R et x 0 un point de D.
La fonction f est continue...
– ...à gauche en x 0 si elle admet une limite à gauche en x 0 et que lim f = f (x 0 ) ;
x→x 0
x<x 0
– ...à droite en x 0 si elle admet une limite à droite en x 0 et que lim f = f (x 0 ) ;
x→x 0
x>x 0
Proposition 2.12 — Lien entre limite, limites à gauche et à droite
Soit x 0 un point ou une borne de D et f : D \ {x 0 } −→ R.
II — Limites d’une fonction en un point
9
La fonction f admet une limite en x 0 si et seulement si elle admet une limite à gauche et
à droite en x 0 et que
lim f (x) = lim f (x)
x→x 0
x<x 0
x→x 0
x>x 0
auquel cas lim f (x 0 ) = lim f (x)
x→x 0
x→x 0
x<x 0
Dém. Il suffit d’aligner les définitions.
ƒ
Exemple L’exemple typique d’application de ce théorème est la fonction sinuscardinal, définie sur R∗ par
∀x ∈ R∗ ,
f (x) =
sin(x)
x
Cette fonction, non définie en 0, admet tout de même une limite en 0, à savoir 1.
Proposition 2.13 — Lien entre continuité, limites à gauche et à droite
Soit f : D −→ R et x 0 un point à l’intérieur de D.
La fonction f est continue en x 0 si et seulement si elle admet une limite à gauche et à
droite en x 0 et que
lim f (x) = lim f (x) = f (x 0 )
x→x 0
x<x 0
x→x 0
x>x 0
Dém. Il suffit d’aligner les définitions. La dernière condition est rendu nécessaire
par le fait que la limite à gauche ou à droite exclut le point x 0 .
ƒ
Exemple La fonction φ : R+ −→ R
x 7−→
n’est donc pas continue en 2.
x
−1
x>2
sinon
Exemple La fonction sinus-cardinal peut être prolongé par continuité en 0 de la
façon suivante

 sin(x)
x 6= 0
∀x ∈ R,
f (x) =
x
1
sinon
Cette façon de procéder est tellement commode qu’elle mérite un théorème.
Théorème & Définition 2.14 — Prolongement par continuité
Soit x 0 un point de D et f : D \ {x 0 } −→ R.
Si f admet une limite en x 0 , alors il existe un unique prolongement f˜ de f à D ∪ {x 0 }
tel que f˜ soit continue en x 0 .
III — Opérations sur les limites
10
On parle du prolongement par continuité de f en x 0 .
Dém. Soit f˜ une telle fonction. Comme c’est un prolongement de f , on a bien sûr
f˜(x) = f (x) pour x ∈ D.
Comme f˜ est continue en x 0 , nécessairement
f˜(x 0 ) = lim f˜
x0+
f˜(x 0 ) = lim f
puisque f˜(x) = f (x) sur D
x0+
Ce qui fixe la valeur de f˜ en x 0 . Ainsi
(
∀x ∈ D ∪ {x 0 } ,
f˜(x) =
f (x)
x∈D
lim f
x = x0
x→x 0
Cette fonction est bien un prolongement de f sur D ∪ {x 0 } continue en x 0 , et c’est le
seul.
ƒ
Au sens strict, f et f˜ ne sont pas la même fonction. Mais elles partagent de nombreuses propriétés en commun, ce qui conduit en pratique à confondre f et f˜.
y
O
x
Figure I.6 — Prolongement par continuité
III — Opérations sur les limites
III.1 — Opérations algébriques
J’appelle « théorèmes généraux » les résultats permettant de calculer une limite à
partir d’autres limites connues.
Ces résultats sont admis.
III — Opérations sur les limites
11
Théorème 3.1 — Opérations algébriques – Limites finies
Soit f : D −→ R, g : D −→ R, x 0 un point ou une borne éventuellement infinie de D
et λ ∈ R.
On suppose que f (x) −−−→ ` et que g(x) −−−→ `0 , avec ` et `0 deux réels.
x→x 0
x→x 0
f (x) + g(x) −−−→ ` + `0
x→x 0
f (x) × g(x) −−−→ ` × `0
λ f (x) −−−→ λ `
x→x 0
x→x 0
1
1
−−−→
x→x
0 `
f (x)
si ` 6= 0
Ce théorème est également valable pour des limites à gauche et à droite.
Il se transcrit directement en terme de continuité ponctuelle.
Corollaire 3.2 — Opérations algébriques et continuité ponctuelle
Soit f : D −→ R, g : D −→ R, x 0 un point de D et λ ∈ R.
Si f et g sont continues en x 0 alors λ f , f + g et f × g sont continues en x 0 .
Si, de plus, f (x 0 ) 6= 0 alors 1/ f est continue en x 0 .
Théorème 3.3 — Opérations algébriques – Limites infinies
Soit f : D −→ R, g : D −→ R et x 0 un point ou une borne éventuellement infinie
de D.
1
– Si f (x) −−−→ +∞ alors
−−−→ 0 et − f (x) −−−→ −∞ ;
x→x 0
x→x 0
f (x) x→x 0
1
– si f (x) −−−→ 0+ alors
−−−→ +∞ ;
x→x 0
f (x) x→x 0
– si f (x) −−−→ ` et g(x) −−−→ +∞ alors f (x) + g(x) −−−→ +∞ ;
x→x 0
x→x 0
x→x 0
– si f (x) −−−→ ` > 0 et g(x) −−−→ +∞ alors f (x) × g(x) −−−→ +∞
x→x 0
x→x 0
x→x 0
– Si f (x) −−−→ +∞ et g(x) −−−→ +∞ alors f (x) + g(x) −−−→ +∞ et f (x) ×
x→x 0
g(x) −−−→ +∞.
x→x 0
x→x 0
x→x 0
En modifiant le signe de f et/ou de g, on traite le cas des limites −∞, etc.
Tous les autres cas relèvent de ce qu’on appelle les « formes indéterminées ».
Aucun théorème général ne s’applique dans ces cas-là. Des méthodes plus pointues
peuvent parfois permettre de déterminer ces limites.
«∞−∞»
« 1∞ ».
0
∞
« »=«∞×0»=«
»
0
∞
III — Opérations sur les limites
12
III.2 — Composée
Théorème 3.4 — Composée
Soit f : Df −→ R et g : Dg −→ R deux fonctions numériques et x 0 un point ou une
borne éventuellement infinie de Df ,
On suppose que f admet une limite (finie ou infinie) ` en x 0 , ` est un point ou une
borne éventuellement infinie de Dg et que g admet une limite `0 en `.
Dans ce cas g ◦ f (x) −−−→ `0 .
x→x 0
Ce théorème a l’énoncé complexe est extrêmement utile. Il permet, en pratique, de
calculer la plupart des limites.
Exemple
p
– lim sin x =
x→0
p
– lim sin(1/ x) =
x→+∞
1
– lim e sin(x) =
x→0+
Corollaire 3.5 — Continuité d’une composée
Soit f : Df −→ R et g : Dg −→ R et x 0 un point de Df .
On suppose que f est continue en x 0 , que f (x 0 ) ∈ Dg et que g est continue en f (x 0 ).
Alors g ◦ f est continue en x 0 .
Le théorème de composition peut se particulariser dans le cas de la composée d’une
fonction et d’une suite.
Théorème 3.6 — Limite de fonction et de suite
Soit f : D −→ R et x 0 un point de D ou une borne de D. Soit (un )n∈N ∈ D N telle que
un −−−−→ x 0 .
n→+∞
Si f tend vers ` en x 0 alors f (un ) −−−−→ `.
n→+∞
Exemple Limite de 4n sin(4−n ) :
Application I.0 — Fonction n’admettant pas de limite en 0
La fonction f (x) = sin(1/x) n’a pas de limite en 0.
De même la faonction sin n’admet pas de limite en +∞.
IV — Limites et ordre
13
y
1
un = π
+ 2π n
2
x
O
vn =
1
π
− + 2π n
2
Figure I.7 — Une fonction sans limite en 0
IV — Limites et ordre
IV.1 — À partir d’une limite connue, renseignements sur f
Soit f : D −→ R. Soit x 0 un point de D, éventuellement une borne finie ou infinie.
Proposition 4.1 — Si f admet une limite finie en x 0 alors f est bornée sur un voisinage de x 0 .
Dém. On prend ε = 1 dans la définition.
ƒ
y
M
m
x0
x
Proposition 4.2 — Si f admet une limite strictement positive en x 0 alors f est strictement positive sur un voisinage de x 0 .
Dém. On prend ε = `/2 dans la définition.
ƒ
Ce résultat rend de multiples services : par exemple il assure que 1/ f est définie
sur un voisinage de x 0 .
IV — Limites et
C fordre
14
y
x0
O
x
Figure I.8 — 1/ f est définie sur un voisinage de x 0
Corollaire 4.3 — Si f admet une limite strictement négative en x 0 alors f est négative
sur un voisinage de x 0 .
Corollaire 4.4 — Si f admet une limite finie non nulle en x 0 alors f est non nulle sur
un voisinage de x 0 .
En particulier, si f admet une limite non nulle en x 0 alors 1/ f est définie sur un
voisinage de x 0 .
IV.2 — À partir d’un encadrement sur f , renseignements sur la
limite
Proposition 4.5 — Soit f : D −→ R et x 0 un point ou une borne finie ou infinie
de D. On suppose que f admet une limite en x 0 .
f (x) > a
∀x ∈ D,
=⇒
lim f ¾ a
x0
Dém. Considérons le cas d’une limite finie, le seul qui soit vraiment intéressant ici.
∀ε > 0, ∃α > 0
tel que
x ∈ D ∩ ]x 0 − α ; x 0 + α[
=⇒
| f (x) − `| < ε
Ainsi, ε étant quelconque,
∀x ∈ D ∩ ]x 0 − α ; x 0 + α[
f (x) − ε < ` < f (x) + ε
ou encore, puisque f (x) > a,
∀ε > 0,
a−ε <`
Cette inégalité assure que ` ¾ a, mais aucunement que ` > a.
De façon symétrique si ∀x ∈ D,
f (x) < a alors lim f < a.
x0
ƒ
IV — Limites et ordre
15
Exemple Par exemple 1/x > 0 sur R∗+ , mais 1/x −−−−→ 0.
x→+∞
y
x
O
Corollaire 4.6 — Soit f : D −→ R et g : D −→ R, soit x 0 un point ou une borne
finie ou infinie de D.
Si f et g admettent toutes deux une limite en x 0 , et si
f (x) < g(x)
∀x ∈ D,
alors
lim f < lim g
x0
x0
Dém. En appliquant la proposition précédente à la fonction f − g.
ƒ
Exemple
– sin x < x sur ]0 ; 1[ et pourtant elles ont la même limite en 0.
– de même avec 1/x 2 et 1/x en l’infini :
IV.3 — Théorèmes d’encadrement
Nous voyons maintenant les résultats les plus puissants permettant de déterminer
l’existence et la valeur d’une limite.
Théorème 4.7 — Théorème d’encadrement
Soit f , u et v trois fonctions définies sur D et x 0 un point ou une borne finie ou infinie
de D.
Si
si
u(x) < f (x) < v(x)
∀x ∈ D \ {x 0 } ,
u et v admettent une limite en x 0
et si
lim u = lim v
alors
f admet une limite en x 0
et
x0
x0
lim f = lim u = lim v
x0
x0
x0
IV — Limites et ordre
16
Théorème 4.8 — Théorème de minoration/majoration
Soit x 0 un point de D, ou une borne finie ou infinie de D. Soit f et g deux fonctions
définies sur D telles que
f (x) < g(x)
∀x ∈ D \ {x 0 } ,
Si
lim f = +∞
alors
lim g = +∞.
Si
lim g = −∞
alors
lim f = −∞.
x0
x0
x0
x0
IV.4 — Limites et monotonie
Théorème 4.9 — Soit f est une fonction monotone sur un intervalle ] a ; b [, avec
éventuellement a et b infinis.
Alors f admet une limite (finie ou infinie) en a et en b.
La démonstration de ce théorème touche à la définition même de R.
Corollaire 4.10 — Si f est une fonction monotone sur un intervalle I alors f admet
une limite finie à gauche et à droite en tout point de I.
Attention ! On ne peut pas affirmer, en toute généralité, que ces limites soient
égales à la valeur de f , ni même qu’elles soient égales entre elles.
Pensez par exemple à la fonction x 7→ bxc.