cours

Limites d’une fonction — Continuité
ponctuelle
Bcpst 1 — 27 février 2017
I — Parties de Ret ordre
I.1 — Intervalles
Définition 1.1 — Intervalle de R
Un intervalle de Rest un ensemble d’une des formes suivantes (a,b)∈R2,a<b
∅,R,
]a;b[,]a;b],[a;b[,[a;b],
{a},]a;+∞[,[a;+∞[,]−∞ ;a[,]−∞ ;a]
Propriété 1.2 — Un intervalle Ide Rvérifie la propriété de continuité
∀(α,β)∈I2,α<x<β=⇒x∈I
Dém. En énumérant les diérentes formes d’intervalles. 
Définition 1.3 — Segment de R
Un segment de Rest un intervalle de la forme [a;b]avec (a,b)∈R2,a<b.
Définition 1.4 — Voisinage
Soit x0∈R .Unvoisinage de x0 est un intervalle ouvert de la forme ]x0−α;x0+α[
avec α>0.
x0
x0−αx0+α
Un voisinage de +∞est un intervalle ouvert de la forme ]a;+∞[avec a∈R.

II — Limites d’une fonction en un point 2
a
II — Limites d’une fonction en un point
Notations du chapitre — Dans tout ce chapitre, D est un domaine de R , c’est-à-dire
un intervalle de R non vide et non réduit à un point, ou bien une réunion finie de tels
intervalles de R.
Typiquement : D=R+ou D=R∗
+.
D
a(exclu)
Figure I.1 — Un exemple de domaine de définition
II.1 — Limites finies
Définition 2.2 — Limite finie en un point
Soit fest une fonction de Ddans Ret x0un point ou une borne finie de D.
La fonction ftend vers `en x0si et seulement si
∀ε>0,∃α>0,∀x∈ D ∩ ]x0−α;x0+α[,|f(x)−`|<ε
Ox
y
x1 x0
`−ε
`+ε
x0−αx0+α
La fonction représentée ci-dessus admet une limite en x0. Elle n’admet pas de
limite en x1.

II — Limites d’une fonction en un point 3
Remarque I.0
– On demande à x d’être dans D ∩ ]x0−α;x0+α[ afin d’une part que f soit
définie en xet d’autre part que xsoit dans un voisinage de x0.
– On peut montrer que les inégalités dans la définition précédente peuvent être
larges ou strictes : la notion définie est la même.
Proposition 2.3 — Unicité de la limite
Soit fest une fonction de Ddans Ret x0un point ou une borne finie de D.
Si ftend vers `en x0, alors il existe un seul réel `vérifiant cette propriété.
Dém. Soit `et `0deux réels vérifiant
∀ε>0,∃α>0tel que
x∈ D ∩]x0−α;x0+α[ =⇒ |f(x)−`|<ε
x∈ D ∩x0−α0;x0+α0=⇒f(x)−`0<ε
Prenons ε quelconque dans R∗
+
et α00 =inf(α,α0) . Prenons alors x quelconque dans
D ∩x0−α00 ;x0+α00. Comme
|f(x)−`|<εet f(x)−`0<ε
`−`0=`+f(x)−f(x)−`0
<|f(x)−`|+f(x)−`0<2εavec l’inégalité triangulaire
Ainsi, pour tout ε>0,`−`0<2ε, ce qui prouve que `=`0.
Notation On parle de la limite de f en x0 et on note indiéremment lim
x0f=`
,
lim
x→x0f(x) = `ou f(x)−−−→ x→x0`.
Exemple On peut démontrer que lim
x→0x2=0
: on prend α=pε dans la définition
de la limite.
Théorème & Définition 2.4 — Continuité ponctuelle
Soit fest une fonction de Ddans Ret x0un point de D.
Si f admet une limite en x0 alors nécessairement cette limite est égale à f(x0) . Dans ce
cas, on dit que fest continue en x0.
Dém. Revenons à la définition de la limite
∀ε>0,∃α>0tel que

II — Limites d’une fonction en un point 4
x∈ D ∩]x0−α;x0+α[ =⇒ |f(x)−`|<ε
Si x0∈ D , alors on peut toujours prendre x=x0 dans la seconde partie de la formule.
On ainsi
∀ε>0,|f(x0)−`|<ε
Ce qui prouve que `=f(x0).
La diérence entre la notion de limite en x0 et la notion de continuité en x0 est
qu’une fonction continue en x0doit être définie en x0.
Exemple La plupart des fonctions usuelles sont réputées continues sur leur do-
maine de définition.
II.2 — Limites infinies – Limite en l’infini
Définition 2.5 — Limites infinies en un point fini
Soit f:D −→ Ret x0un point ou une borne finie de D.
La fonction ftend vers +∞en x0si et seulement si
∀M>0,∃α>0∀x∈ D ∩ ]x0−α;x0+α[,f(x)>M.
La fonction ftend vers −∞ en x0si et seulement si −ftend vers +∞.
On note lim
x→x0f(x) = +∞
, lim
x0f= +∞
, ou encore f(x)−−−→
x→x0+∞
. Dans ce cas
la courbe représentative de fprésente une asyptote verticale en x0.
Ox
y
x0
Figure I.2 — Asymptote verticale x=x0.

II — Limites d’une fonction en un point 5
Définition 2.6 — Limite finie en +∞
On suppose que Dcontient un voisinage de +∞. Soit f:D −→ R.
La fonction ftend vers `∈Ren +∞si et seulement si
∀ε>0,∃A>0,x∈ D ∩ ]A;+∞[ =⇒ |f(x)−`|<ε
Dans ce cas, la courbe représentative de f présente une asymptote horizontale en
+∞.
Ox
y
`
Figure I.3 — Asymptote horizontale y=`
Définition 2.7 — Limite infinie en +∞
On suppose que Dcontient un voisinage de +∞. Soit f:D −→ R.
La fonction ftend vers +∞en +∞si et seulement si
∀M>0,∃A>0x∈ D ∩]A;+∞[ =⇒f(x)>M.
On définit de même les limites en −∞ . Notez qu’il y a également unicité de la limite
finie en +∞ou en −∞.