MT90/91-Fonctions d`une variable réelle - UTC

MT90/91-Fonctions d’une variable réelle
Chapitre 4 : Limites et continuité
Équipe de Mathématiques Appliquées
UTC
avril 2011
5

Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
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2
Chapitre IV
Limites et continuité
IV.1 Limites .................................. 3
IV.2 Continuité d’une fonction ........................ 21

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3
IV.1 Limites
IV.1.1 Voisinage d’un point ........................ 4
IV.1.2 Définition de la limite ....................... 5
IV.1.3 Limites à gauche, à droite, à l’infini ............... 7
IV.1.4 Caractérisation de la limite par les suites ........... 9
IV.1.5 Propriétés des limites liées aux comparaisons des fonctions . 12
IV.1.6 Opérations sur les limites ..................... 15
IV.1.7 Définition des limites généralisées ............... 17
IV.1.8 Opérations sur les limites généralisées ............. 18

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4
IV.1.1 Voisinage d’un point
Exercices :
Exercice A.1.1
Soit Dle domaine de définition d’une fonction fd’une variable réelle. En pratique,
ce domaine est très souvent constitué de la réunion d’un nombre fini d’intervalles. Nous
allons nous intéresser au comportement de f, lorsque le point xde Dse rapproche d’un
point ade IR.
Pour faire cette étude, il faut donner un sens précis à cette notion intuitive exprimée
par l’expression ‘se rapproche ’. Ceci nous conduit à introduire la notion de voisinage
de aque nous définissons par :
Définition IV.1.1. On appelle voisinage de a∈IR toute partie de IR qui contient un
intervalle de la forme ]a−α, a+α[avec α > 0. On appelle voisinage de adans Dtoute
intersection de Davec un voisinage de adans IR.
Par exemple un voisinage de 0est ]−1,1[ ou [−1,0.5] ou [−1000,+0.001[ mais par
contre [−1,0] n’est pas un voisinage de 0car il n’existe aucun réel αstrictement positif
tel que l’intervalle ]−α, α[soit contenu dans [−1,0].
Lorsque l’on parle de limite ou de continuité d’une fonction en un point a, c’est le
comportement de la fonction dans un voisinage de aqui est important et non pas dans
son domaine de définition tout entier. De manière générale, on dit qu’une propriété
est locale si elle est vraie dans un voisinage d’un point contrairement à une propriété
globale qui est valable pour tout réel.

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5II
IV.1.2 Définition de la limite
Exercices :
Exercice A.1.2
Exercice A.1.3
Exercice A.1.4
Pour étudier la limite d’une fonction en ail n’est pas nécessaire que la fonction f
soit définie au point aconsidéré. Par exemple, il est tout à fait légitime, de s’intéres-
ser au comportement au voisinage de 0, de la fonction de Heaviside, encore appelée
échelon unité définie par :
H(x) = 0,pour x < 0,
1,pour x > 0.
La valeur de Hen 0n’est pas donnée, mais nous allons voir que cela n’empêche absolu-
ment pas l’étude du comportement de Hau voisinage de 0
Définition IV.1.2. Soient Ωun intervalle ouvert de IR,aun point de Ωet fune fonction
numérique définie sur Ωsauf éventuellement en a. On dit que f(x)tend vers lquand x
tend vers asi :
∀ε > 0,∃η > 0,∀x∈Ω,{(0 <|x−a|< η)⇒(|f(x)−l|< ε)}.(IV.1.1)
On dit aussi que lest la limite de fen aet on note :