ch. 3.1

Statistique
1e année bachelor, 2009-10
Chapitre 3 : INFERENCE
3.1
L’ÉCHANTILLONNAGE
3.1.1
3.1.2
3.1.3
3.1.4
3.1.5
Introduction
L’échantillonnage aléatoire
Estimation ponctuelle
Distributions d’échantillonnage
Intervalles de probabilité
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
1 / 41
Statistique
1e année bachelor, 2009-10
Chapitre 3 : INFERENCE
3.1
L’ÉCHANTILLONNAGE
3.1.1
3.1.2
3.1.3
3.1.4
3.1.5
Introduction
L’échantillonnage aléatoire
Estimation ponctuelle
Distributions d’échantillonnage
Intervalles de probabilité
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
2 / 41
Statistique
1e année bachelor, 2009-10
Définitions
 En général, l’inférence est définie comme une opération
mentale qui consiste à tirer une conclusion d’une série de
propositions reconnues pour vraies. Ces conclusions sont tirées
à partir de règles de base.
 L’inférence statistique est définie comme le processus
d’utilisation des données d’un échantillon pour estimer ou tester
des hypothèses sur les caractéristiques numériques
(« paramètres ») d’une population.
 Une population (ou « population mère ») est définie comme
l’ensemble de tous les éléments d’intérêt dans une étude
particulière.
 Un échantillon est défini comme un sous-ensemble de la
population.
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
3 / 41
Statistique
1e année bachelor, 2009-10
Pourquoi prendre un échantillon ?
 Le coût : recenser toute la population coûte trop cher et/ou
prend trop de temps
→ Recensement de la population 2010 : recensement
traditionnel (questionnaire à tous les ménages) coûterait 200
millions ; proposition du Conseil fédéral (échantillonnage +
recensement fondé sur les registres coûtera 124 millions
[estimations faites en 2006])
→ Etant donné l’impossibilité d’examiner chaque être humain,
toute étude empirique d’hypothèses générales en sciences
sociales doit être basée sur des échantillons, soit d’individus
soit de groupes d’individus (ménages, firmes, industries,
pays,...)
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
4 / 41
Statistique
1e année bachelor, 2009-10
Un exemple fictif : Statville
 Commune Statville : 2500 habitants adultes (= population)
 Syndic s’intéresse à la distribution des revenus parmi ces
habitants et à la participation des habitants à la dernière
assemblée communale (ils étaient trop nombreux pour être
comptés)
 Interroger tous les 2500 habitants serait trop cher
 Budget permet d’interroger un échantillon de 30 habitants
 Paramètres de la population (inconnus par le syndic !) :
o Revenu moyen (): 51800 francs
o Ecart-type du revenu (): 4000 francs
o Taux de participation à la dernière assemblée (p) : 60%
 Que devrait faire le syndic ?
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
5 / 41
Statistique
1e année bachelor, 2009-10
Chapitre 3 : INFERENCE
3.1
L’ÉCHANTILLONNAGE
3.1.1
3.1.2
3.1.3
3.1.4
3.1.5
Introduction
L’échantillonnage aléatoire
Estimation ponctuelle
Distributions d’échantillonnage
Intervalles de probabilité
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
6 / 41
Statistique
1e année bachelor, 2009-10
L’échantillonnage aléatoire simple
 Population de N éléments ; échantillon de n éléments
 Définition pour une population finie (N connu): tous les
éléments de la population ont la même probabilité de faire partie
de l’échantillon
→ Probabilité qu’un élément de la population soit contenu dans
l’échantillon est n/N.
 Définition pour une population infinie (N inconnu): les éléments
de l’échantillon sont sélectionnés indépendamment de la même
population
 Echantillonnage sans remise (chaque élément ne peut être
sélectionné qu’une fois) :
o Nombre d’échantillons possibles = C = N!/(n!(N-n)!)
o Probabilité qu’un échantillon particulier soit tiré = 1/C
o Exemple Statville : C ≈ 2.75 * 1069
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
7 / 41
Statistique
1e année bachelor, 2009-10
Comment obtenir un échantillon aléatoire
simple ?
 Critère : probabilité de sélection indépendante de toute
caractéristique des éléments de la population
 Population finie :
 Tirage au sort
 Choix avec nombres aléatoires à partir d’une liste des
éléments [Excel : =ALEA() génère des nombres aléatoires
entre 0 et 1]
 Population infinie (processus continu dans le temps) :
→ Sélectionner selon une loi de Bernoulli [Excel :
=SI(ALEA()>=P;″oui″;″non″) répond « oui » dans
(1 P) pourcent de cas]
→ Trouver astuce (exemple contrôle douanier : examiner
chaque voiture arrivant après une voiture orange)
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
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Statistique
1e année bachelor, 2009-10
Autres types d’échantillon
 Echantillon aléatoire stratifié
→ Critère : strates homogènes
→ Difficulté de la pondération représentative des strates
→ Statville : sélectionner aléatoirement des individus selon le
niveau d’éducation
 Échantillon aléatoire par grappes
o Critère : grappes composées de façon hétérogène et donc
représentative
o Statville : sélectionner aléatoirement des ménages/quartiers
 Échantillonnage subjectif
→ Critère : échantillon qui semble représentatif
→ Statville : syndic choisit 30 individus qui lui semblent
représentatifs de la population municipale
→ Évidemment problématique (danger de biais de sélection) !
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
9 / 41
Statistique
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Chapitre 3 : INFERENCE
3.1
L’ÉCHANTILLONNAGE
3.1.1
3.1.2
3.1.3
3.1.4
3.1.5
Introduction
L’échantillonnage aléatoire
Estimation ponctuelle
Distributions d’échantillonnage
Intervalles de probabilité
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
10 / 41
Statistique
1e année bachelor, 2009-10
Bases
 But : estimer la valeur d’un paramètre de la population
(« estimation ponctuelle »)
 Méthode : calculer la statistique d’échantillon correspondante
→ « Méthode des moments » : prendre moment de
l’échantillon comme estimateur du moment de la population
→ Statistiques d’échantillon : toute mesure de tendance
centrale, de dispersion, etc.
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
11 / 41
Statistique
1e année bachelor, 2009-10
Exemple
Statville (1)
Échantillon aléatoire
de 30 individus
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
ind.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
revenu
49094.3
53263.9
49643.5
49894.9
47621.6
55924.0
49092.3
51404.4
50957.7
55109.7
45922.6
57268.4
55688.8
51564.7
56188.2
51766.0
52541.3
44980.0
51932.6
52973.0
45120.9
51753.0
54391.8
50164.2
52973.6
50241.3
52793.9
50979.4
55860.9
57309.1
participation
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
Somme
Moyenne
Ecart type
revenu
1554420
51814
3347.7
participation
19
0.63
0.49
12 / 41
Statistique
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Exemple Statville (2)
 Revenu : moyenne de l’échantillon
revenui 1554420

x

 51814    51800
n
30
 Revenu : écart type de l’échantillon
2
(
revenu
x
)
325009260

i
s

 3348    4000
n -1
29
 Participation : moyenne de l’échantillon
participationi 19

p

 0.63  p  0.60
n
30
 Les estimations ponctuelles ne correspondent pas exactement
aux paramètres de la population  que faire ?
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
13 / 41
Statistique
1e année bachelor, 2009-10
Chapitre 3 : INFERENCE
3.1
L’ÉCHANTILLONNAGE
3.1.1
3.1.2
3.1.3
3.1.4
3.1.5
Introduction
L’échantillonnage aléatoire
Estimation ponctuelle
Distributions d’échantillonnage
Intervalles de probabilité
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
14 / 41
Statistique
1e année bachelor, 2009-10
Bases
 Idée de départ : répéter la sélection d’un échantillon multiples
fois et étudier comment se comportent les statistiques de
l’échantillon par rapport aux paramètres correspondants de la
population
→ En moyenne, la statistique de l’échantillon a-t-elle tendance
à être proche du paramètre « vrai » correspondant, ou y a-til une divergence systématique (c.à.d. un « biais ») ?
 Distribution d’échantillonnage = distribution de probabilité de
toutes les valeurs possibles d’une statistique de l’échantillon
→ Puisque la sélection d’échantillons suit un processus
aléatoire, les statistiques de l’échantillon sont elles-aussi
des variables aléatoires et suivent donc un distribution de
probabilité
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
15 / 41
Statistique
1e année bachelor, 2009-10
Exemple Statville (1)
 Supposons (pour fixer les idées, pas parce-que ce serait réaliste
ou intelligent) que le syndic ait les moyens de répéter
l’expérience initiale multiples fois, c.à.d. de resélectionner des
échantillons aléatoires de taille 30 parmi les habitants de
Statville.
 Pour chacun de ces échantillons, il calcule x , s et p.
 Ensuite il résume les valeurs de chacune de ces trois statistiques
d’échantillon p.ex. sous forme d’un histogramme
 approximation empirique de la distribution d’échantillonnage
 Excel : un histogramme peut être dessiné via les menus Outils
– Utilitaire d’analyse (installer via Macro complémentaire) – Histogramme (Représentation graphique)
voir aussi Utilitaire d’analyse – Génération de
nombres aléatoires et Échantillonnage
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
16 / 41
Statistique
1e année bachelor, 2009-10
Exemple Statville (2)
 Valeurs de x , s et p obtenues à partir de 500 échantillons
aléatoires simples de 30 habitants
échantillon
1
2
3
4
...
500
moyenne
écart type ( sx x, ,spp)
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
revenu:
moyenne ( x )
revenu:
participation:
écart type (s ) moyenne ( p )
51814
52670
51780
51588
...
51752
3347.7
4239.1
4433.4
3985.3
...
3857.8
0.63
0.70
0.67
0.53
...
0.50
51808
729.4
3995.4
0.61
0.0896
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Statistique
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Exemple Statville (3)
 Distribution de fréquence de x obtenue à partir des 500
échantillons
revenu:
moyenne
49500-49999
50000-50499
50500-50999
51000-51499
51500-51999
52000-52499
52500-52999
53000-53499
53500-53999
Total
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
2
16
52
101
133
110
54
26
6
fréquence
relative
0.004
0.032
0.104
0.202
0.266
0.220
0.108
0.052
0.012
500
1
fréquence
18 / 41
Statistique
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Exemple Statville (4)
 Approximation
empirique de la
distribution
d’échantillonnage
de x !
0.3
0.25
fréquence relative
 Histogramme de la
fréquence relative
des valeurs de x
obtenues à partir
des 500
échantillons
0.2
0.15
0.1
0.05
0
4950049999
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
5000050499
5050050999
5100051499
5150051999
5200052499
5250052999
5300053499
5350053999
19 / 41
Statistique
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L’espérance
 La moyenne de la variable aléatoire x si le nombre
d’échantillons tend vers l’infini (« moyenne des moyennes »)
correspond à l’espérance mathématique de x , E( x ).
 Rappel :  = moyenne de la population (le paramètre « vrai »)
 On peut montrer que E( x ) =  .
 La moyenne d’un échantillon aléatoire est un estimateur
non-biaisé de la moyenne de la population.
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
20 / 41
Statistique
1e année bachelor, 2009-10
L’erreur type
 Soit  x l’écart type de la distribution d’échantillonnage de x ,
désormais dénommé « erreur type ».
   N n
 On peut montrer que  x  
.

 n  N 1
 Pour une population infinie (N  ), on a  x = (

n) .
N n
= « facteur de correction pour une population finie »
N 1
 Règle pratique : ( n ) est une approximation satisfaisante si la
population est finie et nN  0.05.
→ Statville : nN = 302500 = 0.012 
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
N n
 0.994  1
N 1
21 / 41
Statistique
1e année bachelor, 2009-10
La distribution d’échantillonnage toute
entière (1)
 Nous avons défini la moyenne et l’écart type de la distribution
d’échantillonnage de la moyenne. Pouvons nous définir la
distribution d’échantillonnage toute entière ? Oui !
 Résultat 1 : Si les données de la population suivent une
distribution normale, la distribution d’échantillonnage de x est
normale elle aussi, quelle que soit la taille de l’échantillon n.
o Cas plutôt rare
o Inspecter histogramme
o On peut tester formellement l’hypothèse selon laquelle un
certain échantillon est tiré d’une population qui suit une
distribution normale (p.ex. test du Khi-deux, ch. 3.3.5)
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
22 / 41
Statistique
1e année bachelor, 2009-10
La distribution d’échantillonnage toute
entière (2)
 Résultat 2 : Si les données de la population ne sont pas
distribuées selon une loi normale, on peut appliquer le théorème
centrale limite :
Pour des échantillons aléatoires simples, la distribution
d’échantillonnage de x peut être approchée par une distribution
de probabilité normale, lorsque la taille de l’échantillon devient
importante.
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
23 / 41
Statistique
1e année bachelor, 2009-10
La distribution d’échantillonnage toute
entière (3)
 Formellement, avec un échantillon aléatoire simple :
x 

x  N (  , x ) , 
 z   N (0,1) ,
 x

 x  
0.5

 x 
où
1
x  N (  , x )  f  x  
e
 x 2
et
1 0.5 z 2
z  N (0,1)  f  z  
e
.
2
2
,
 Règle pratique approximative : le théorème centrale limite peut
être invoqué pour des échantillons de taille n  30.
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
24 / 41
Statistique
1e année bachelor, 2009-10
Illustration
du théorème
centrale limite (1)
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
25 / 41
Statistique
1e année bachelor, 2009-10
Illustration du théorème centrale limite (2)
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
26 / 41
Statistique
1e année bachelor, 2009-10
Illustration du théorème centrale limite (3)
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
27 / 41
Statistique
1e année bachelor, 2009-10
Illustration du théorème centrale limite (4)
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
28 / 41
Statistique
1e année bachelor, 2009-10
Illustration du théorème centrale limite (5)
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
29 / 41
Statistique
1e année bachelor, 2009-10
Illustration du théorème centrale limite (6)
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
30 / 41
Statistique
1e année bachelor, 2009-10
Le cas de p
 Continuons à supposer qu’on ait un échantillon aléatoire simple.
 L’espérance mathématique de la variable aléatoire p (moyenne
dans l’échantillon de la mesure de proportion p) est donnée par :
E( p ) = p
 p est un estimateur non-biaisé de p
p(1  p ) N  n
 L’erreur type de p est donné par :  p 
;
n
N 1
p(1  p )
et, pour une population infinie, par :  p 
.
n
 La distribution d’échantillonnage toute entière peut être
approchée par une distribution de probabilité normale lorsque
np  5 et n(1  p )  5 (règle pratique approximative ; basée sur la
convergenence de la loi binomiale avec la loi normale).
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
31 / 41
Statistique
1e année bachelor, 2009-10
Exemple Statville :
distribution d’échantillonnage de la moyenne
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
32 / 41
Statistique
1e année bachelor, 2009-10
Exemple Statville :
distribution d’échantillonnage d’une proportion
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
33 / 41
Statistique
1e année bachelor, 2009-10
Exemple Statville :
erreur type et taille de l’échantillon
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
34 / 41
Statistique
1e année bachelor, 2009-10
Chapitre 3 : INFERENCE
3.1
L’ÉCHANTILLONNAGE
3.1.1
3.1.2
3.1.3
3.1.4
3.1.5
Introduction
L’échantillonnage aléatoire
Estimation ponctuelle
Distributions d’échantillonnage
Intervalles de probabilité
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
35 / 41
Statistique
1e année bachelor, 2009-10
Base
 Lorsqu’on a un échantillon, il est hautement improbable que les
statistiques de l’échantillon ( x , p ) correspondent exactement aux
paramètres de la population (, p)
 Que peut-on dire sur la probabilité que la valeur d’une statistique
particulière soit « proche » du paramètre de la population, ou
« proche » signifie un écart maximum de M ?
 Les distributions d’échantillonnage contiennent la réponse !
 Statville :
o Quelle est la probabilité que le revenu moyen de
l’échantillon, x , soit à 500 francs près du revenu moyen de la
commune,  ?  (M = 500)
o Quelle est la probabilité que la proportion des participants de
l’échantillon, p , soit à 5 points de pourcentage près de la
proportion totale, p ?  (M = 0.05)
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
36 / 41
Statistique
1e année bachelor, 2009-10
Exemple Statville (1)
 Probabilité que le revenu moyen d’un échantillon de taille 30 soit
à  500 francs près du revenu moyen de la population  ?
x 
 Rappel : 
 N (0,1)

 x 
 x    M  500

4000
 n  30 :  x 

 730.3
n
30
(inconnu par le syndic !)
500 
500 


 P (   500  x    500 n  30)  P  Z 
  P Z 

730.3
730.3




Chapitre 3.1
L’échantillonnage
37 / 41
Statistique
1e année bachelor, 2009-10
Exemple Statville (2)
 500 730.3
 Moyenne : M  500, n  30
 P (   500  x    500 n  30)  P ( 0.68  Z  0.68)  0.50
*
*
* voir la Table 1, p. 730, du
manuel de Anderson et al.,
où F(z)  P(0 < Z < z)
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
38 / 41
Statistique
1e année bachelor, 2009-10
Exemple Statville (3)
 500 400
 Moyenne : M  500, n  100
 P (   500  x    500 n  100)  P ( 1.25  Z  1.25)  0.79
*
*
* voir la Table 1, p. 730, du
manuel de Anderson et al.,
où F(z)  P(0 < Z < z)
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
39 / 41
Statistique
1e année bachelor, 2009-10
Exemple Statville (4)
 0.05 0.089
 Proportion : M  0.05, n  30
 P ( p  0.05  p  p  0.05 n  30)  ( 0.56  Z  0.56)  0.42
*
*
* voir la Table 1, p. 730, du
manuel de Anderson et al.,
où F(z)  P(0 < Z < z)
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
40 / 41
Statistique
1e année bachelor, 2009-10
Exemple Statville (4)
 Grand problème : le syndic ne connaît pas 
 Que faire pour juger de la fiabilité des estimations basées sur
son échantillon?
 Attendre le chapitre prochain...
Chapitre 3.1
L’échantillonnage
41 / 41