DM 8 - TS 3 DM 8

Ce devoir est à rendre le 12/05/2008
Ce devoir est à rendre le 12/05/2008
DM 8 - TS 3
DM 8 - TS 3
Un restaurant propose 3 menus diérents X , Y , Z et on suppose que chaque
client choisit au hasard l'un quelconque des trois menus, les choix des différents clients étant indépendants les uns des autres. Chaque client ne choisit
qu'un seul menu.
Soit n est un entier tel que n ≥ 3. Un jour donné, n clients se présentent
au restaurant et on note Xn (respectivement Yn , Zn ) le nombre aléatoire de
clients choisissant le menu X (respectivement Y, Z).
Un restaurant propose 3 menus diérents X , Y , Z et on suppose que chaque
client choisit au hasard l'un quelconque des trois menus, les choix des différents clients étant indépendants les uns des autres. Chaque client ne choisit
qu'un seul menu.
Soit n est un entier tel que n ≥ 3. Un jour donné, n clients se présentent
au restaurant et on note Xn (respectivement Yn , Zn ) le nombre aléatoire de
clients choisissant le menu X (respectivement Y, Z).
1. Quelle est la loi de Xn ( respectivement de Yn , Zn ) ?
Donner son espérance et sa variance.
1. Quelle est la loi de Xn ( respectivement de Yn , Zn ) ?
Donner son espérance et sa variance.
2. Déterminer la loi de la variable aléatoire n − Xn .
Exprimer l'espérance (resp. la variance) de n − Xn en fonction de n.
2. Déterminer la loi de la variable aléatoire n − Xn .
Exprimer l'espérance (resp. la variance) de n − Xn en fonction de n.
3. (a) Que vaut Xn + Yn + Zn ? En déduire la loi de Yn + Zn .
(b) Les variables aléatoires Xn et Yn sont-elles indépendantes ?
3. (a) Que vaut Xn + Yn + Zn ? En déduire la loi de Yn + Zn .
(b) Les variables aléatoires Xn et Yn sont-elles indépendantes ?
4. Quelle est la probabilité que tous les clients choisissent le même
menu ?
4. Quelle est la probabilité que tous les clients choisissent le même
menu ?
5. Calculer la probabilité P ([Xn = 0] ∪ [Yn = 0] ∪ [Zn = 0]).
En déduire la probabilité que le restaurateur soit obligé de préparer au
moins une fois chacun des trois menus.
5. Calculer la probabilité P ([Xn = 0] ∪ [Yn = 0] ∪ [Zn = 0]).
En déduire la probabilité que le restaurateur soit obligé de préparer au
moins une fois chacun des trois menus.
6. On suppose dans cette question que n est un multiple de 3.
Déterminer la probabilité pour que les trois menus soient choisis par le
même nombre de clients.
6. On suppose dans cette question que n est un multiple de 3.
Déterminer la probabilité pour que les trois menus soient choisis par le
même nombre de clients.