corrigé exos révisions 2.indd - MyMaths

N°106 p321-322
Géométrie Espace- Probabilités
Polynésie juin 2003
Partie - Annales
L'ensemble de ces sujets seront disponibles pour être imprimé sur le site de mymaths.free.fr.
Lors des révisions ils seront proposés à chercher avant d'être corrigés en classe.
Année
Exercice
2003 Nouvelle Calédonie
3 partie 1
2003 Liban
1
2003 Amérique du nord
Thèmes
Exp- ln - Calcul Intégral
116 p 242
Proba- suites
1 - QCM
Loi de densité de probabilité
120 p 287
106 p 321
2003 Polynésie Juin
1
Géométrie Espace
2003 France Juin
2
Géométrie Espace
2003 Centres étrangers
1
Suites
2003 Pondichery
1
Suites
2003 France septembre
manuel
Problème
158 p 90
ED- Calcul Intégral- suites
110 p 240
2004 Nouvelle-Calédonie
2
Géométrie Espace
2004 Nouvelle-Calédonie
3
Exp - Calcul Intégral- suites
118 p 242
2004 Polynésie Juin
1
Loi de densité
136 p 292
2004 Centres étrangers
A. P. M. E.3P.
Exp- ln - Calcul Intégral-suites
147 p 246S
Baccalauréat
NB : d'autres sujets comme Pondichéry 2011 ou Amérique du Nord qui « tombent » avant la session
P ROBLÈME
11 points
de Juin pour la France seront
bien entendu faits pour avoir une idée de la tendance de l'année
2011.
Les trois parties sont dans une large mesure indépendantes.
Pour tout entier naturel n, on définit sur R la fonction numérique f n par :
f 0 (x) =
xn
1
et
pour
n
entier
naturel
non
nul
f
(x)
=
.
n
1 + x2
1 + x2
On note�Γn , la courbe
représentative de f n , dans le plan rapporté à un repère ortho→
− →
−�
normal O, ı ,  , unité graphique : 4 cm.
�1
On désigne par I n l’intégrale I n =
f n (t ) dt .
0
Partie A
1.
a. Étudier les limites de f 1 en +∞ et en −∞. Quelle est la conséquence graphique de ces résultats ?
b. Étudier les variations de f 1 .
c. Tracer la courbe Γ1 .
d. Calculer I1 .
2.
a. Étudier les limites de f 3 en +∞.
b. Étudier les variations de f 3 .
c. Tracer la courbe Γ3 sur le même dessin qu’au 1. c..
3. Calculer I1 + I3 . En déduire la valeur de I3 .
4. Calculer, en unités d’aire, l’aire du domaine limité par les courbes Γ1 , Γ3 et les
droites d’équation x = 0 et x = 1.
Partie B
Pour cette
on dessinera la figure demandée dans un nouveau repère ortho� partie,
→
− →
−�
normal O, ı ,  , unité graphique : 4 cm.
1.
a. Étudier les limites de f 0 en +∞ et en −∞.
b. Étudier les variations de f 0 .
2. Soit (an ) la suite définie, pour n entier naturel non nul, par an =
�n
0
1
dt .
1+ t2
a. Interpréter graphiquement an .
b. Montrer que la suite (an ) est croissante.
1
c. Montrer que pour tout réel t :
� 1 et en déduire que a1 � 1.
� Baccalauréat série S Liban mai 2003 �
E XERCICE 1
Commun à tous les candidats
4 points
Une urne contient quatre boules noires et deux boules blanches.
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On répète n fois l’épreuve qui consiste
à tirer une boule puis la remettre dans l’urne ; on suppose que toutes les boules ont
la même probabilité d’être tirées et que les tirages sont indépendants.
On note p n , la probabilité de tirer exactement une boule blanche lors des n − 1 premiers tirages et une boule blanche lors du n-ième tirage.
1. Calculer les probabilités p 2 , p 3 et p 4 .
2. On considère les évènements suivants :
B n : « On tire une boule blanche lors du n-ième tirage »,
U n : « On tire une boule blanche et une seule lors des n − 1 premiers tirages ».
a. Calculer la probabilité de l’évènement B n .
b. Exprimer la probabilit de l’évènement U n en fonction de n.
c. En déduire l’expression de p n en fonction de n et vérifier l’égalité :
� �n
2
n −1
×
pn =
.
4
3
3. On pose : S n = p 2 + p 3 + · · · + p n .
a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n supérieur ou
égal à 2, on a :
Sn = 1 −
� � 2 �n
+1 ×
.
2
3
�n
b. Déterminer la limite de la suite (S n ).
Baccalauréat
série S Amérique du Nord
E XERCICE
2
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
E XERCICE
1
1. Résoudre
dans C l’équation :
Commun à tous les candidats
juin 20035 points
5 points
2
4z multiples
− 12z + 153
= 0. de six questions : chacune
Cet exercice est un questionnaire à choix
constitué
� →
− →
−�
comporte trois réponses, une et une seule étant exacte.
2. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé O, u , v , d’unité graphique
Les réponses à cet exercice sont à inscrire dans la feuille jointe en annexe, page 5, en
3
cochant1pour
chaque
question
la caseA,
correspondante
la réponse proposée.
cm on
considère
les points
B, C, P d’affixesà respectives
: zA = + 6i,
2
Toute réponse3ambigüe sera considérée
comme une absence
1
5
−
→de réponse. Toute réponse
→ = −1 + i.
zB = −une
6i ; bonification,
zC = −3 − i,toute
zP = 3erreur
+ 2i etest
lepénalisée.
vecteur w d’affixe z−
exacte entraîne
w
2
4
2
On s’intéresse
à la durée l’affixe
de vie, zexprimée
en
années,
d’un
appareil
ménager
avant
a. Déterminer
du
point
Q,
image
du
point
B
dans
la
translation
t
Q
−
→ modéliser cette situation par une loi de probabilité p de
la première panne.
On
peut
de vecteur w .
durée de vie sans vieillissement, définie sur l’intervalle [0 ; +∞[. Ainsi, la probabilité
b. Déterminer
l’affixe
R, imageque
du l’appareil
point P par
l’homothétie
R du
d’un intervalle
[0, t [, notée
p([0, tz[),
estpoint
la probabilité
ménager
tombe h
1
de centre
C tet. de rapport − .
en panne avant
l’instant
�t
3
Cette loi est
que p([0,l’affixe
t [) = zS du
λe−λx
dx,S,oùimage
t est un
réellapositif
repréc. telle
Déterminer
point
du nombre
point P par
rotation
r de
0π
centred’années
A et d’angle
.
sentant le nombre
(loi −
exponentielle
de paramètre λ, avec λ > 0).
2
Placer
les points
P, Q,de
R p([t
et S., +∞[) est :
1. Pour t �
0, la valeur
exacte
−λt
a. que
1 −lee quadrilatère
b. e−λt
1 +parallélogramme.
e−λt
3.
a. Démontrer
PQRSc.est un
2. La valeur de t pour laquelle on a p([0, t [) = p([t , +∞[) est :
λ
λ
ln 2
b.
c.
a.
λ
ln 2
2
3. D’après une étude statistique, la probabilité que l’appareil tombe en panne
avant la fin de la première année est 0,18. La valeur exacte de λ est alors :
� �
� �
41
ln(82)
50
b. ln
c.
a. ln
41
50
ln(100)
4. Sachant que cet appareil n’a connu aucune panne au cours des deux premières années après sa mise en service, la probabilité qu’il ne connaisse aucune panne l’année suivante est :
3. D’après une étude statistique, la probabilité que l’appareil tombe en panne
avant la fin de la première année est 0,18. La valeur exacte de λ est alors :
� �
� �
41
ln(82)
50
a. ln
b. ln
c.
41
50
ln(100)
4. Sachant que cet appareil n’a connu aucune panne au cours des deux premières années après sa mise en service, la probabilité qu’il ne connaisse aucune panne l’année suivante est :
a. p([1, +∞[) b. p([3, +∞[) c. p([2 ; 3[
Dans la suite de l’exercice on prendra λ = 0, 2.
5. La probabilité que l’appareil n’ait pas eu de panne au cours des trois premières
années, arrondie à 10−4 près, est :
a. 0,552 3 b. 0,548 8 c. 0,451 2
6. Dix appareils neufs de ce type ont été mis en service en même temps. On désigne par X la variable alatoire égale au nombre d’appareils qui n’ont pas de
panne au cours des trois premières années.
La valeur la plus proche de la probabilité de l’évènement « X = 4 » est :
a. 0,555 5 b. 0,802 2 c. 0,160 7
E XERCICE 2 � Baccalauréat S Polynésie juin 2003 � 5 points
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
� →
− →
−�
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé O, u , v , d’unité graE XERCICE 1
4 points
phique 1 cm, on considère les points A0 , A1 , A2 d’affixes respectives z0 = 5 − 4i,
A4i, z2 = −4 − i.
z1Partie
= −1 −
� →
−�
− →
− →
Dans
l’espace
muni
d’un
repère
orthonormal
O,
ı
,

,
k , on
considère
points
1.
a. Justifier l’existence d’une unique similitude directe
S telle
que S(Ales
0 ) = A1
A, B, C et D
de
coordonnées
respectives
:
et S(A
�
� �
� 1 ) = A2 .
�
A(0 ; 0 ; 3), B(2 2 ; 0 ; −1), C(− 2 ; − 6 ; −1), D(− 2 ;1 −6i ; −1).
−3 + i
b. Établir que l’écriture complexe de S est z ′ =
z+
.
2
2 un tétraèdre dont
1. Démontrer que ABCD est un tétraèdre régulier, c’est-à-dire
c. En les
déduire
rapport,
l’angle
et l’affixe ω du centre Ω de la similitude S.
toutes
arêteslesont
de même
longueur.
2. On note R, S, T et U les milieux respectifs des arêtes [AC], [AD], [BD] et [BC] ;
démontrer que RSTU est un parallélogramme de centre O.
3. Ce parallélogramme a-t-il des propriétés supplémentaires ? Expliquer.
A
→
− →
−
ı k
→
−

C
B
D
Partie B
On dispose de trois tétraèdres identiques au précédent, parfaitement équilibrés.
Chacun d’eux a une face peinte en bleu, une face peinte en jaune et deux faces
peintes en rouge.
On lance les trois tétraèdres simultanément (on remarquera que, lorsqu’on lance un
tel tétraèdre, une seule face est cachée et trois faces sont visibles).
1. Calculer la probabilité pour qu’au moins trois faces rouges soient visibles sur
les trois tétraèdres.
2. Calculer la probabilité pour que la couleur bleue ne soit visible sur aucun tétraèdre.
3. Calculer la probabilité de l’évènement E « les six faces rouges sont visibles ».
4. On répète n fois l’expérience qui consiste à lancer les trois tétraèdres.
Calculer la probabilité p n pour que l’évènement E soit réalisé au moins une
fois.
Calculer lim p n .
n→+∞
E XERCICE 2 (Obligatoire)
�
5 points
→
− →
−�
b. Soit Γ le cercle de diamètre [BC].
Déterminer et construire l’image Γ′ du cercle Γ par la rotation r .
3. Soit M un point de Γ d’affixe z, distinct de C et M ′ d’affixe z ′ son image par r .
�
� π� �π
∪
; 2π tel que
a. Montrer qu’il existe un réel θ appartenant à 0 ;
2
2
z = 1 + eiθ .
b. Exprimer z ′ en fonction de θ.
c. Montrer que
alignés.
z′ − c
est un réel. En déduire que les points C, M et M ′ sont
z −c
d. Placer sur la figure le point M d’affixe 1 + ei
par r .
2π
3
et construire son image M′
E XERCICE 2
5 points
Baccalauréat série S Métropole juin 2003
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
C
E XERCICE 1
Commun à tous les candidats
5 points
� →
− →
−�
Soient a Dans
un réel
strictele plan
complexe muni d’un repère orthonormal O, u , v (unité graphique :
ment positif et OABC un
2 cm), on considère les points A, B et C d’affixes respectives a = 2, b = 1−i et c = 1+i.
tétraèdre tel que :
a. Placer
• OAB, OAC1.et OBC
sont les points A, B et C sur une figure.
c −a
des triangles rectangles
b. Calculer
. En déduire que le triangle ABC est rectangle isocèle.
b−a
en O,
H A telle que r (B) = C.
• OA = OB =2.
OC =a.a. On appelle r la rotation de centre
O de r et calculer l’affixe d du point D = r (C).
On appelle I le pied
de
Déterminer
l’angle
la hauteur issue b.
de Soit
C duΓ le cercle de diamètre [BC].
B
triangle ABC, H le pied D
′
Déterminer et construire l’image Γ du cercle Γ par la rotation r .
de la hauteur issue de O
SoitetMDun
C et M ′ d’affixe z ′ son image par r .
du triangle 3.
OIC,
le point de Γ d’affixe z, distinct de
I
�
� π� �π
point de l’espace défini
∪
; 2π tel que
−−→ −−→ a. Montrer qu’il existe un réel θ appartenant à 0 ;
par HO = OD .
2
2
z = 1 + eiθ .
A
b. Exprimer z ′ en fonction de θ.
1. Quelle est la nature du triangle
ABC ?
z′ − c
c.
Montrer
que
est un réel. En déduire que les points C, M et M ′ sont
2. Démontrer que les droites (OH)
z − cet (AB) sont orthogonales, puis que H est l’oralignés.ABC.
thocentre du triangle
2π
3. Calcul de OH
d. Placer sur la figure le point M d’affixe 1 + ei 3 et construire son image M′
par r .
a. Calculer le volume V du tétraèdre OABC puis l’aire S du triangle ABC.
�
3
E
XERCICE
2
5 points
b. Exprimer OH en fonction de V et de S, en déduire que OH = a
.
1
3
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
4. Étude du tétraèdre ABCD.
C
�
�
1 −−→ 1 −−→ 1 −−→
L’espace est rapporté au repère orthonormal O ; OA , OB , OC .
a
a
a
�a a a�
a.
Démontrer
questrictele point H a pour coordonnées :
.
, ,
Soient
a un réel
3 3 3
ment
positif etque
OABC
un
b.
Démontrer
le tétraèdre
ABCD est régulier (c’est-à-dire que toutes ses
tétraèdre
tel que
: longueur).
arêtes ont
même
• OAB, OAC et OBC sont
c. Soit Ω le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD. Démontrer
des triangles rectangles
que Ω est un point de la droite (OH) puis calculer ses coordonnées.
en O,
H
• OA = OB = OC = a.
O
E XERCICEOn
2 appelle I le pied de
5 points
la ayant
hauteur
issue
de C du
Candidats
suivi
l’enseignement
de spécialité
B
triangle
H indépendantes
le pied D
Les questions
3. etABC,
4. sont
des questions 1. et 2. seule l’équation de Γ
de1.lac.hauteur
issue
O
donnée en
intervient
à lade
question
4..
� →
du triangle OIC, et D le
− �I
− →
− →
1. L’espace est rapporté au repère orthonormal O, ı ,  , k .
point de l’espace défini
−−→ −−→
�
parMontrer
HO = OD
a.
que. les plans P et Q d’équations respectives x + y 3 − 2z = 0 et
2x − z = 0 ne sont pas parallèles. A
b. Donner
unest
système
d’équations
paramétriques
de la droite ∆ intersec1. Quelle
la nature
du triangle
ABC ?
tion des plans P et Q.
2. Démontrer que les droites (OH) et (AB) sont orthogonales, puis que H est l’orc. On considère le cône de révolution Γ d’axe (Ox) contenant la droite ∆
thocentre du triangle ABC.
comme génératrice.
� Baccalauréat série S Centres étrangers juin 2003 �
E XERCICE 1
Commun à tous les candidats
5 points
On définit, pour tout entier naturel n > 0, la suite (un ) de nombres réels strictement
n2
positifs par un = n .
2
un+1
1. Pour tout entier naturel n > 0, on pose v n =
un
1
a. Montrer que lim v n = .
n→+∞
2
1
b. Montrer que pour tout entier naturel n > 0, v n > .
2
3
c. Trouver le plus petit entier N tel que si n � N , v n < .
4
3
d. En déduire que si n � N , alors un+1 < un .
4
On pose pour tout entier naturel n � 5, S n = u5 + u6 + · · · + un .
2. On se propose de montrer que la suite (S n )n �5 est convergente.
a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n � 5,
un �
� �n−5
3
u5 .
4
b. Montrer que pour tout entier naturel n � 5,
�
� �2
� �n−5 �
3
3
3
Sn � 1 + +
u5 .
+·+
4
4
4
c. En déduire que pour tout entier naturel n � 5, S n � 4u5 .
3. Montrer que la suite (S n )n �5 est croissante et en déduire qu’elle converge.
E XERCICE 2
6 points
Réservé aux candidats
n’ayant pas
suivi l’enseignement
de spécialité
Baccalauréat
série
S Pondichéry
mars 2003
Une entreprise d’autocars dessert une région montagneuse. En chemin, les véhicules peuvent être bloqués par des incidents extérieurs comme des chutes de pierres,
E XERCICE 1
4 points
la présence de troupeaux sur la route, etc.
Un On
autocar
part de
son entrepôt.
On(u
note
D la variable
alatoire
qui mesure la disconsidère
la suite
numérique
sur N par
:
n ) définie
tance en kilomètres que l’autocar va parcourir jusqu’à ce qu’il survienne un inci1
et,loi
pour
tout entier de
n, u
0 = a,
n+1 = u n (2
dent. On admet que Dusuit
une
exponentielle
paramètre
λ−=un )., appelée aussi
82
oùdurée
a est un
donné
tel que 0 < a < 1.
loi de
de réel
vie sans
vieillissement.
On rappelle que la loi de probabilité est alors définie
1 par :
1. On suppose dans cette question que a =
�A
8
1 −x
82 dx.
e
p(D
�
A)
=
a. Calculer u1 et u2 .
0 82
b.
Dans
un
repère
orthonormal
8 cm),
tracer, sur l’interDans tout l’exercice, les résultats numériques(unité
serontgraphique
arrondis au
millime.
valle [0 ; 2], la droite (d) d’équation y = x et la courbe (Γ) représentative
1. Calculer la
parcourue sans incident soit :
deprobabilité
la fonction que
: f :lax distance
�→ x(2 − x).
c. Utiliserentre
(d) et50
(Γ)
construire
sur l’axe des abscisses les points A1 , A2 , A3
a. comprise
etpour
100 km
;
d’abscisses respectives u1 , u2 , u3 .
b. supérieure à 300 km.
2. On suppose dans cette question que a est un réel quelconque de l’intervalle
]0 ; 1[.
a. Montrer par récurrence que, pour tout entier n, 0 < un < 1.
b. Montrer que la suite (un ) est croissante.
c. Que peut-on en déduire ?
3. On suppose à nouveau dans cette question que a =
numérique (v n ) définie sur N par :
v n = 1 − un .
1
. On considère la suite
8
a. Montrer par récurrence que, pour tout entier n, 0 < un < 1.
A. P. M. E. P.
b. Montrer que la suite (un ) est croissante.
Baccalauréat S
c. Que peut-on en déduire ?
1
2. Soit a un entier tel que : 1 � a � 2002.
3. On suppose à nouveau dans cette question que a = . On considère la suite
8
a. Déterminer
: sur N par :
numérique
(v n ) définie
v n = 1PGCD(a,
− un . 2003).
En déduire
qu’ilentier
existen,
unventier
tel que de
: vn .
a. Exprimer,
pour tout
fonction
n+1 enm
b. En déduire l’expression de v n en fonction de n.
am ≡ 1 [2003].
c. Déterminer la limite de la suite (v n ), puis celle de la suite (un ).
b. Montrer que, pour tout entier b, il existe un unique entier x tel que :
E XERCICE 2
Enseignement obligatoire
0 � x � 2002 et ax ≡ b [2003].
5 points
Première partie
On considère dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation suivante :
P ROBLÈME
10 points
Commun à tous les candidats 3
(E) z + 2z 2 − 16 = 0.
Partie A : Une équation différentielle
1. Montrer
de (E), puis que (E) peut s’écrire sous la forme :
� que 2 est solution
�
On
:
(z considère
− 2) az 2 +l’équation
bz + c = 0,différentielle
où a, b et c sont
trois réels que l’on déterminera.
2. En déduire les solutions de l’équation (E) sous
−3eforme algébrique, puis sous
(E) y ′ − 3y = �
�2 .
forme exponentielle.
1 + e−3x
Deuxième partie
On donne une fonction ϕ dérivable sur R et la fonction
f définie
sur R par
� →
− →
−�
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal O, ı ,  .
f (x) = e−3x ϕ(x).
1. Placer les points A, B et D d’affixes respectives
1. Montrer que f est dérivable sur R et pour tout réel x, exprimer ϕ′ (x) − 3ϕ(x)
en fonction de fzA′ (x).
= −2 − 2i, zB = 2 et zD = −2 + 2i.
e
2. Déterminer
ϕ soit
de un
(E) parallélogramme.
sur R et vérifie ϕ(0)
= .
2. Calculer
l’affixe zfC de
dusorte
pointque
C tel
que solution
ABCD soit
Placer
2
C.
Partie B : étude d’une fonction
Soit la fonction f définie sur R par :
e1−3x
.
1 + e−3x
On désigne par C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm.
f (x) =
1. Déterminer les limites de f en −∞ et en +∞, puis étudier les variations de f .
2. Tracer C .
3. Pour α réel non nul, on pose I α =
�α
0
f (x) dx.
a. Donner le signe et une interprétation graphique de I α en fonction de α.
b. Exprimer I α en fonction de α.
c. Déterminer la limite de I α lorsque α tend vers +∞.
Partie C : étude d’une suite
On définit sur N∗ la suite (un ) par :
un =
�1
0
x
f (x)e n dx, où f est la fonction définie dans la partie B.
On ne cherchera pas à calculer un .
1.
a. Donner, pour tout n de N, le signe de un .
Métropole
3
septembre 2003
�
�
π déterminer la limite πde f en −∞.
3. Vérifier que f (x) = e−2x e2x + ex − 2 , puis
m
= ei 3 (a − b) + b,
n = ei 3 (c − b) + b,
A. P. M. E. P.
′
4.
a. Soit f la fonction dérivee de la fonction f , calculer f ′ (x).
Baccalauréat S
π
π que (4 − e x ), puis étudier
b. Montrer que f ′ (x) a Ie même signe
le signe de
q = ei 3 (a − d) + d.
p = ei 3 (c − d) + d,
′
f (x).
b. Donner le sens de variation de la suite (un ).
2. En utilisant les relations précédentes :
c. Dresser le tableau de
f . On montrera que le maximum est
c. variations
La suite (ude
n ) est-elle convergente ?
un nombre rationnel.
a. Démontrer que MNPQ est un parallélogrammme.
2.
a. Montrer que pour tout n de N
b. Démontrer
a : D d’équation y = 1 n’ont qu’un
5.
a. Démontrer que
la courbe Cque
et l’on
la droite
1
point d’intersection A dont on déterminera
� coordonnées.
�−−→ −−→les
π I1 � un � e n I1
ACrapport
, QP =a la droite
[2π], D.AC = QP
b. Étudier la position de la courbe C par
3
où I1 est l’intégrale de la partie B obtenue pour α égal à 1.
6. Déterminer une équation de la tangente
T à la �courbe C au point A.
� −→
−−→ de π
b. En déduire−
la limite
la suite (u ).
NP
7. Tracer les droites D et T , puis la courbe C ,. BD = 3 [2π], net NP = BD.
Donner sa valeur exacte.
3. Démontrer que MNPQ est un carré si, et seulement si, les diagonales [AC] et
Partie B étude d’une [BD]
suite du quadrilatère ABCD vérifient :
AC = BD et
�−−→ −−→� π
AC , BD = + kπ
6
où k est un entier relatif.
2
Nouvelle–Calédonie
mars 2004
E XERCICE 2
5 points
On considère le cube ABCDEFGH ci-contre.
O1 et O2 sont les centres des carrés ABCD et
EFGH, et I est le centre de gravité du triangle F
EBD.
Soit m un nombre réel et G m le barycentre du
système de points pondérés :
E
H
G
A
B
Terminale S
{(E ; 1), (B ; 1 − m), (G ; 2m − 1), (D ; 1 − m)}
D
C
A. P. M. E. P.
Partie A
1. Justifier l’existence du point G m .
2. Préciser la position du point G1 .
3. Vérifier que G0 = A. En déduire que les points A, I et G sont aIignés.
−−−→
−−−→
4. Démontrer que AG m = m AO2 . En déduire l’ensemble des points G m lorsque
m parcourt l’ensemble des nombres réels.
a. Vérifier que les points A, G m , E et O1 sont coplanaires.
5.
b. Déterminer la valeur de m pour laquelle G m se trouve sur la droite (EI).
Partie B
� −−→ −−→ −→�
Dans cette question, l’espace est rapporté au repère orthonormal A ; AB , AD , AE .
1. Démontrer que la droite (AG) est orthogonale au plan (EBD). En déduire une
équation cartésienne du plan ABD.
2. Déterminer les coordonnées du point G m .
3. Pour
quelles valeurs de m, la distance de G m au plan (EBD) est-elle égale à
�
3
?
3
E XERCICE 3
11 points
Partie A étude d’une fonction
Métropole
On considère la fonction f définie sur R par
4
f (x) = 1 + e−x − 2e−2x
septembre 2003
� →
− →
−�
et C sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère orthogonal O, ı ,  ,
(unités graphiques : 3 cm sur l’axe des abscisses et 8 cm sur l’axe des ordonnées).
1.
a. Soit le polynôme P défini sur R par P (X ) = 1 + X − 2X 2 .
33
??
3
3
XERCICE33
EEXERCICE
11points
points
11
PartieAAétude
étuded’une
d’unefonction
fonction
Partie
Onconsidère
considèrelalafonction
fonctionf f définie
définiesur
surRRpar
par
On
−x
−2x
(x)==11++ee−x −−2e
2e−2x
f f(x)
�� →
− →
−��
−→
−→
sacourbe
courbereprésentative
représentativedans
dansun
unplan
planrapporté
rapportéààun
unrepère
repèreorthogonal
orthogonal O,
O, ı ı , ,   , ,
etetCCsa
(unitésgraphiques
graphiques: :33cm
cmsur
surl’axe
l’axedes
desabscisses
abscissesetet88cm
cmsur
surl’axe
l’axedes
desordonnées).
ordonnées).
(unités
1.1.
Soitlelepolynôme
polynômePPdéfini
définisur
surRRpar
parPP(X
(X) )==11++XX−−2X
2X22. .
a.a. Soit
Étudierlelesigne
signede
dePP(X
(X).).
Étudier
Endéduire
déduirelelesigne
signede
def f(x)
(x)sur
surR.
R.
b.b. En
Quepeut-on
peut-onen
endéduire
déduirepour
pourlalacourbe
courbeCC??
c.c. Que
Déterminerlalalimite
limitede
delalafonction
fonction f f en
en+∞.
+∞.Qu’en
Qu’endéduire
déduirepour
pourlalacourbe
courbe
2.2. Déterminer
C
?
C?
� 2x
��
−2x� 2x
x
3.
Vérifierque
quef f(x)
(x)==ee−2x
puisdéterminer
déterminerlalalimite
limitede
def f en
en−∞.
−∞.
3. Vérifier
ee ++eex −−22, ,puis
4.4.
′
Soitf f′ ′lalafonction
fonctiondérivee
dériveede
delalafonction
fonctionf f, ,calculer
calculerf f′ (x).
(x).
a.a. Soit
′
Montrerque
quef f′ (x)
(x)aaIeIemême
mêmesigne
signeque
que(4(4−−eexx),),puis
puisétudier
étudierlelesigne
signede
de
b.b. Montrer
′
′
(x).
f f (x).
Dresserleletableau
tableaude
devariations
variationsde
def f. .On
Onmontrera
montreraque
quelelemaximum
maximumest
est
c.c. Dresser
unnombre
nombrerationnel.
rationnel.
un
5.5.
Démontrerque
quelalacourbe
courbeCC etetlaladroite
droiteDDd’équation
d’équationyy==11n’ont
n’ontqu’un
qu’un
a.a. Démontrer
pointd’intersection
d’intersectionAAdont
donton
ondéterminera
déterminerales
lescoordonnées.
coordonnées.
point
Étudierlalaposition
positionde
delalacourbe
courbeCCpar
parrapport
rapportaalaladroite
droiteD.
D.
b.b. Étudier
Déterminerune
uneéquation
équationde
delalatangente
tangenteTT ààlalacourbe
courbeCCau
aupoint
pointA.
A.
6.6. Déterminer
Tracerles
lesdroites
droitesDDetetTT, ,puis
puislalacourbe
courbeCC. .
7.7. Tracer
A. P. M. E. P.
Terminale S
PartieBBétude
étuded’une
d’unesuite
suite
Partie
1. Calculer l’aire, en unités d’aire, de la partie de plan limitée par la courbe C
l’axe des ordonnées et la droite D.
Nouvelle–Calédonie
2. On considère la suite (un ) définie sur22N∗ par :
Nouvelle–Calédonie
un =
�n+ln 2
(n−1)+ln 2
�
mars2004
2004
mars
�
f (x) − 1 dx.
a. Démontrer que la suite (un ) est à termes positifs.
b. Donner une interprétation géométrique de (un ).
3.
a. En utilisant le sens de variation de f , montrer que, pour tout n � 2 :
si x ∈ [(n − 1) + ln 2 ; n + ln 2] alors
f (n + ln 2) − 1 � f (x) − 1 � f [(n − 1) + ln 2] − 1.
b. En déduire que, pour tout n, n � 2, on a :
f (n + ln 2) − 1 � un � f [(n − 1) + ln 2] − 1.
c. Démontrer que la suite (un ) est décroissante à partir du rang 2.
d. Montrer que la suite (un ) est convergente.
4. Soit la suite (S n ) définie pour n > 0, par
S n = u1 + u2 + u3 + · · · + un .
a. Écrire S n à l’aide d’une intégrale.
b. Interpréter géométriquement S n .
c. Calculer S n et déterminer la limite de la suite (S n ).
� Baccalauréat
Baccalauréat SS Polynésie
Polynésie juin
juin 2004
2004 �
�
�
� �
2. Étude de la suite p n .
L’utilisation
d’une
calculatrice
est autorisée.
autorisée.
L’utilisation d’une calculatrice
est
Durée
: 4 heures
4
= p ncandidats.
− .
Pour
tout
entier
naturel
non
nul
n,
on
pose v n des
Du
papier
millimétré
est
mis
à
la
disposition
des
candidats.
Du papier millimétré est mis à la disposition
23
Le candidat
candidat doit
doit traiter
traiter tous
tous les
les exercices.
3
Le
� Baccalauréat
Sexercices.
Polynésie
juin
2004
a.La
Démontrer
que
suite
géométrique
dedes
raison
− .�
(v n ) est une
qualité
de
la
rédaction,
la
clarté
et la
la précision
précision
raisonnements
entreront
La qualité de la rédaction, la clarté et
des raisonnements
entreront
20
pour
une
part
importante
dans
l’appréciation
des
copies.
fonction
de n. des copies.
b. Exprimer
v n puis p n en
pour
une part importante
dans
l’appréciation
� �
L’utilisation
d’une
calculatrice
autorisée. et calculer sa limite.
c. Justifier que
la suite
p n estest
convergente
Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
Le
candidat
E
XERCICE
points
E XERCICE
11 doit traiter tous les exercices.
44 points
La
qualité
de
la
rédaction,
la
clarté
et
la
précision
des
raisonnements
entreront
Commun
à
tous
les
candidats
Commun à tous les candidats
2
5 points
E XERCICE
pour une
part importante
dans l’appréciation
des copies.
Le laboratoire
laboratoire
de physique
physique
d’un lycée
lycée dispose
dispose
d’un parc
parc d’oscilloscopes
d’oscilloscopes
idenLe
de
d’un
d’un
idenRéservé
aux
candidats
ayant
suivi
l’enseignement
de spécialité
tiques.
La
durée
de
vie
en
années
d’un
oscilloscope
est
une
variable
aléatoire
notée
tiques. La durée de vie en années d’un oscilloscope est une variable aléatoire notée
On
se propose
dans
exercice
d’étudier
le problème»suivant
:
qui
suit la
la «« loi
loi de
decet
durée
de vie
vie
sans vieillissement
vieillissement
(ou encore
encore
loi exponentielle
exponentielle
XX qui
suit
durée
de
sans
» (ou
loi
«de
Les
nombres dont
l’écriture
décimale n’utilise que le seul chiffre 1 peuvent-ils être
paramètre
λ
avec
λ
>
0.
de paramètre
λ avec λ > 0.
E XERCICE
1
4 points
−3
premiers
? »les probabilités seront données à 10−3
Toutes
près.
Toutes
les
probabilités
seront données à 10 près.
Commun
à tous
les candidats
Pour tout entier naturel p � 2, on pose N p = 1 . . . 1 où 1 apparaît p fois.
−3
Le1.laboratoire
dep(X
physique
lycée
dispose
d’un valeur
parc d’oscilloscopes
idenprès
Sachant
que
>=10)
10)
=d’un
0,286,
montrer
qu’une
approchée àà 10
10−3
On rappelle
dès lors
que
N p>
10p−1
+ 10p−2
+ · · · +qu’une
100 . valeur
près
1. Sachant
que
p(X
=
0,286,
montrer
approchée
tiques. La
durée
de
vie
en
années
d’un
oscilloscope
est
une
variable
aléatoire
notée
de
λ
est
0,125.
de
λ est 0,125.
Les
nombres
=
11, Nde
111,
N4vieillissement
= 1111 sont-ils» premiers
? loi exponentielle
X1.qui
suit
« loi N
de20,125
durée
vie
sans
(ou
encore
3=
Onla
prendra
pour
valeur
de λ dans la suite
de l’exercice.
On
prendra
ppour valeur de λ dans la suite de l’exercice.
de paramètre
λ avec0,125
λ 10
> 0.
− 1 qu’un oscilloscope du modèle
2. Calculer
Calculer
lapprobabilité
probabilité
étudié
ait une
unepar
durée
de
2. Prouver
que la
N
. qu’un
Peut-on
certain
que
10p − 1étudié
= seront données
est divisible
9 ? de
2.
oscilloscope
modèle
ait
durée
Toutes
les probabilités
àêtre
10−3
près.du
9
vie
inférieure
à
6
mois.
inférieuredeà démontrer
6 mois.
3. On vie
se propose
que si p n’est pas premier, alors N p n’est−3pas
3.Sachant
Sachant
qu’un
appareil
déjà fonctionné
fonctionné
huit années,
années,
quelle est
est la
la
probabilité
près
1.3.
que
p(Xappareil
> 10) = 0,286,
montrer
qu’une
valeur approchée
à 10
Sachant
qu’un
aa déjà
huit
quelle
probabilité
premier.
qu’il
ait
une
durée
de
vie
supérieure
dix
ans?
dequ’il
λ estait
0,125.
une durée de vie supérieure dix ans?
On
rappelle
que
pour
tout
nombre
x et
tout
naturel
n non nul, de celle
prendra
0,125
pour
valeur
devie
λréel
dans
la
suiteentier
de l’exercice.
4.On
On
considère
que
la durée
durée
de
vie
d’un
oscilloscope
est indépendante
indépendante
4.
On
considère
que
la
de
d’un
oscilloscope
est
de celle
des autres
autres
appareils. Le
Le responsable
responsable
du laboratoire
laboratoire
décide
de commander
commander
15
2. Calculer
la probabilité
qu’un
oscilloscope
du
modèle
étudié
ait
une
durée
de15
�
�
des
appareils.
du
décide
de
n
n−1
n−2
x
−
1
=
(x
−
1)
x
+
x
+
·
·
·
+
x
+
1
.
oscilloscopes.
Quelle
est
la
probabilité
qu’au
moins
un
oscilloscope
ait
une
vie
inférieure à 6Quelle
mois. est la probabilité qu’au moins un oscilloscope ait une
oscilloscopes.
durée
de
vie supérieure
supérieure
10fonctionné
ans?
3. Sachant
qu’un
appareil
a déjà
la probabilité
de
vie
ââpair
10
ans?
a.durée
On suppose
que p est
et on pose huit
p = années,
2q, où qquelle
est unest
entier
naturel
5.
Combien
l’établissement
devrait-il
acheter
d’oscilloscopes
pour
que
la probaprobaqu’il
ait
une
durée
de
vie
supérieure
dix
ans?
plus
grand
que
1.
5. Combien l’établissement devrait-il acheter d’oscilloscopes pour que la
bilité
qu’au
moins
l’un
d’entre
eux
fonctionne
plus
de
10
ans
soit
supérieure
4. On
considère
que
la
durée
de
vie
d’un
oscilloscope
est
indépendante
de
celle àà
bilité
qu’auque
moins
l’undivisible
d’entre eux
fonctionne
plus de 10 ans soit supérieure
Montrer
N p est
par N
2 = 11.
0,999?
des
autres
appareils.
Le
responsable
du
laboratoire
décide
de
commander
15
b.0,999?
On suppose que p est multiple de 3 et on pose p = 3q, où q est un entier
Rappel
:
oscilloscopes.
Quelle
est
la
probabilité
qu’au
moins
un
oscilloscope
ait
une
Rappel
: plus grand que 1.
naturel
Loi exponentielle
exponentielle
de paramètre
paramètre
sur [0 ;; +∞[,
+∞[, dite
dite aussi
aussi loi
loi de
de durée
durée de
de vie
vie sans
sans
durée
de vie supérieure
â 10 ans?λ sur
Loi
Montrer que:N pde
est divisible λ
par N[0
3 = 111.
vieillissement
5. Combien
l’établissement
devrait-il
vieillissement
:
�b acheter d’oscilloscopes pour que la proba�
bet on
c. Onqu’au
suppose
p non
pose p = kq où k et q sont des entiers
−λt
bilité
moins
l’un ;premier
d’entre
eux
−λt dt et plus de 10 ans soit supérieure à
pour
0
�
a
�
b,
p([a
b])
=
λefonctionne
pour
0 � aplus
� b,grands
p([a ; b])
=1. a λe
dt et
naturels
que
0,999?
�c
a�
c
−λt k .
En déduire
que; N
est =
divisible
par
Rappel
−λtNdt
pour
� 0,
0, p([c
p([c
+p∞[)
∞[)
− λe
λe
pour
c:c �
; +
= 11−
dt ..
0
0sur [0 ; +∞[, dite aussi loi de durée de vie sans
Loi
exponentielle
de
paramètre
λ
4. Énoncer une condition nécessaire pour que N p soit premier.
vieillissement :
�b ?
Cette condition est-elle suffisante
pour 0 � a � b, p([a ; b]) =
λe−λt dt et
a
XERCICE 2
points
�c
2
55 points
EEXERCICE
−λt de spécialité
Candidat
n’ayant
pas
suivi
l’enseignement
pour
c
�
0,
p([c
;
+
∞[)
=
1
−
λe
dt
.
Candidat n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
→
− →
→
− ��
�� →
0
−
E XERCICE
3
9 points
Le plan
plan
complexe est
est muni
muni d’un
d’un repère
repère orthonormal
orthonormal direct
direct O,
O, −
On prenprenLe
complexe
uu ,, vv .. On
Commun
à
tous
les
candidats
dra pour
pour unité
unité graphique
graphique 11 cm.
cm.
dra
On s’intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale
1. On
On désigne
désigne
par
A, B
B et
et IIfles
les
points d’affixes
d’affixes
respectives
d’une
entreprise.
Lespar
fonctions
associées
définiesrespectives
sur l’intervalle
[0 ; 1] doivent
1.
A,
points
::
2
5 points
E XERCICE
vérifier
les
conditions
suivantes
:
Candidat n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
� →
− →
−�
= 33+
+2i,
2i, zzB =
= −3
−3 et
et zzI =
= 11−
−2i.
2i.
(1) f (0) = 0 et f (1) = 1 ; zzAA =
Idirect
Le plan complexe est muni d’un
repèreB orthonormal
O, u , v . On pren(2) f est croissante sur l’intervalle [0 ; 1]
a. Faire
Faire
une figure
figure
que l’on
l’on complétera
complétera au cours
cours de
de l’exercice.
dra pour unité
graphique
1 cm.
que
(3) Pour a.
tout
réelune
x appartenant
à l’intervalle �[0 ; au
1], f (x)
� x.l’exercice.
→
− →
−�
zI − zA
Le plan
est rapporté
au
repère
R
=nombre
O,respectives
ı , complexe
 , unité
1. On
désigne
par
A,
Bforme
et Iorthonormal
lesalgébrique
points d’affixes
: graphique
b. Écrire
Écrire
sous
le nombre
= zI − zA ..10 cm.
b.
sous
forme algébrique
le
complexe ZZ =
−zzB
zzII −
B
Que peut-on
peut-on en
en déduire
déduire sur
sur la
la nature
nature du
du triangle
triangle IAB?
IAB?
Que
zA modèle
= 3 + 2i, zB = −3 et zI = 1 − 2i.
I. Première partie Étude d’un
On appelle g la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1] par
a. Faire une figure que l’on complétera au cours de l’exercice.
zI − zA
x−1
Baccalauréat
S
g (x) = xe
.
b. Écrire sous forme algébrique
le nombre
complexe Z =
.
zI − zB
Que peut-on en déduire sur la nature du triangle IAB?
1.
Prouver
que g vérifie les conditions (1)2et (2).
Centres
étrangers
juin 2004
x
2. Montrer que g (x) − x = (ex − e) et en déduire que g vérifie la condition (3).
e
3. Tracer les droites d’équations y = x et x = 1 et la courbe représentative de g
dans le repère R.
II. Seconde partie Un calcul d’indice
Pour une fonction f vérifiant les conditions (1), (2) (3), on définit un indice I f
égal à l’aire exprimée en unité d’aire, du domaine plan M délimité par les droites
e
3. Tracer les droites d’équations y = x et x = 1 et la courbe représentative de g
dans le repère R.
II. Seconde partie Un calcul d’indice
Pour une fonction f vérifiant les conditions (1), (2) (3), on définit un indice I f
égal à l’aire exprimée en unité d’aire, du domaine plan M délimité par les droites
d’équations y = x, x = 1 et la courbe représentative de f .
�1
�
�
1. Justifier que I f =
x − f (x) dx.
0
2. À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’indice I g , associé à g .
3. On s’intéresse aux fonctions f n , définies sur l’intervalle [0 ; 1] par
f n (x) =
2x n
1+x
où n est un entier naturel supérieur en égal à 2. On admet que ces fonctions
vérifient les conditions (1), (2), (3) et on se propose d’étudier l’évolution de
leur indice I n lorsque n tend vers l’infini.
�1
�1
�
�
a. On pose I n =
f n (x) dx. Prouver que
x − f n (x) dx et un =
0
0
1
I n = − un .
2
t n+1
tn
b. Comparer
et
sur l’intervalle [0 ; 1] ; en déduire que la suite (un )
1+t
1+t
est décroissante.
c. Prouver que pour tout réel t appartenant à l’intervalle [0 ; 1],
0�
tn
� tn.
1+t
2
.
n +1
e. Déterminer alors la limite de I n quand n tend vers l’infini.
d. En déduire que pour tout entier naturel n � 2, 0 � un �
Centres étrangers
3
juin 2004