ModuleŊ projectifŊ

Université de Pau et des pays de l’Adour Année 2008-2009
Mmms, tmuzuPartiel du 17 novembre
oduleŊ projectifŊ
ans tout ce qui suit, Adésigne un anneau commutatif. Les termes
« module » et « linéaire » seront employés au sens de « A-module »
et « A-linéaire ».
1 Préliminaires
a) Soient Eet Fdes modules et f:E→Fune application linéaire. On
dit que fest scindée, ou admet une section s’il existe un morphisme
s:F→Etel que f◦s= 1F. On dit alors que sest une section de f
et que fest une projection de Esur F. Montrer que
(i) si fest scindée, elle est surjective et ses sections sont injectives ;
(ii) si Fest libre et fsurjective, alors fest scindée ;
(iii) pour tous modules Pet Q, la surjection canonique πP:P×Q→P
est scindée par l’injection canonque iP:P→P⊕Q=P×Q.
b) Montrer que tout module isomorphe à un module libre est libre.
c) Soient Pet Edes modules. Montrer que les conditions suivantes sont
équivalentes :
(i) Pest isomorphe à un facteur direct de E;
(ii) il existe un module Qet un isomorphisme ϕ:E∼ −→ P⊕Q;
(iii) il existe des applications linéaires E
f//P
g
ootelles que f◦g= 1P.
2 Modules projectifs. Soit Pun A-module. On considère les asser-
tions suivantes :
(i) toute surjection linéaire f:E→Pest scindée ;
(ii) il existe un module Qet un module libre Ltels que P⊕Q'L;
(iii) Pest facteur direct d’un module libre, i.e., il existe un module Qet un
module libre Ltels que P⊕Q=L;
(iv) pour tous modules Eet Fet toute surjection linéaire f:E→F,
l’application
f∗: HomA(P, E)−→ HomA(P, F )
u7−→ f◦u
est surjective ;
(v) si f:E→Fest une surjection linéaire, tout morphisme
de Pdans Fse factorise par f(il n’est pas demandé
qu’une telle factorisation soit unique ; par contre, il est en-
tendu qu’elle se doit d’être composée d’applications linéaires).
P
@
@
@
@
@
@
@
Ef//F

a) Montrer que tout module libre satisfait (v).
b) En déduire que tout facteur direct d’un module libre satisfait (v).
c) Montrer que ces cinq assertions sont équivalentes.
Le module Pest dit projectif si ces conditions sont satisfaites.
3 Modules projectifs de type fini. Montrer que les conditions sui-
vantes sont équivalentes :
(i) Pest projectif de type fini ;
(ii) il existe un module Qet un entier ntels que P⊕Q'An.
4 Exemples et contre-exemples.
a) Montrer que
(i) Z/3Zest un Z/6Z-module projectif ;
(ii) pour n6= 0,Z/nZn’est pas un Z-module projectif ;
(iii) tout A-module libre est projectif.
b) Donner un exemple d’anneau Aet de A-module projectif qui n’est pas
libre.
5 Changement d’anneau. Soit ϕ:A→Bun morphisme d’anneaux.
Montrer que pour tout A-module projectif P, le B-module ϕ∗(P)obtenu par
extension des scalaires est projectif. Cela reste-t-il valable pour les modules
projectifs de type fini ?
2

Université de Pau et des pays de l’Adour Année 2008-2009
Mmms, tmuzuExercices
orrection du partiel du 17 novembre
1 a) (i) Supposons fscindée ; soient sune section de fet xun élément
de F. Alors x=fs(x)∈im fet s(x) = 0 =⇒x=f(0) = 0. Par suite,
im f=Fet ker s={0}:fest surjective et sinjective.
(ii) Supposons Flibre et fsurjective. Choisissons une base (ei)i∈Ide F
et, pour tout i∈I, choisissons un élément uide Etel que f(ui) = ei. Soit
s:F→El’unique application linéaire telle que pour tout i∈I,s(ei) = ui.
Alors f◦sest l’unique application linéaire de Fvers Ftelle que
∀i∈I(f◦s)(ei) = f(ui) = ei.
Donc f◦s= 1Fet fest scindée.
(iii) L’injection canonique iP:P→P×Pest définie par iP(x)=(x, 0) et πP
est la première projection. Donc pour tout x∈P, πPi(x)=πP(x, 0) = x.
b) Si f:E→Fest un isomorphisme, alors l’image de toute base de Eest
une base de F. Si Eest libre, il possède une base et par conséquent Faussi.
c) Supposons (i). Existent alors des sous-modules P0et Qde Eet un
isomorphisme f:P0∼ →Ptels que P0⊕Q=E. Étant donné x∈E, il existe
un unique couple (y, z)∈P0×Qtel que x=y+z. Poser
ϕ(x) = f(y), z)∈P×Q=P⊕Q
définit une application ϕ:E→P⊕Qqui est clairement un isomorphisme.
Supposons (ii). Notons iP:P→P⊕Q=P×Qet πP:P×Q→P
l’injection et la projection canoniques ; les morphismes
f=πP◦ϕ:E→Pet g=ϕ−1◦iP:P→E
sont tels que f◦g=πPϕ ϕ−1iP=πPiP= 1P.
Supposons (iii). Alors gest injective, donc réalise un isomorphisme de P
sur son image. Remarquons que tout élément xde Ese décompose en
x= (g◦f)(x) + x−(g◦f)(x).
Posons P0= im g,q=g◦fet Q= im(1E−q); de la décomposition ci-dessus
résulte (puisque im q⊂im g=P0) que E=P0+Qet il reste à montrer que
cette somme est directe.
Soit x∈P0∩Q; alors

–x∈P0= im g, donc il existe y∈Ptel que x=g(y);
–x∈Q= im(1E−q), donc il existe z∈Etel que x=z−q(z);
–f◦g= 1P, donc
y=f(x) = f(z)−fgf(z)=f(z)−(fg)f(z)=f(z)−f(z) = 0
et par suite x=g(y) = 0.
2 a) Soient f:E→Fune surjection linéaire, Lun module libre et
v:L→Fune application linéaire. Fixons une base (ei)i∈Ide L; pour chaque
i∈I, choisissons xi∈Etel que f(xi) = v(ei)et notons ul’application
linéaire de Lvers Etelle que pour tout i,u(ei) = xi. Alors pour tout i,
v(ei) = fu(ei), de sorte que v=f◦u:Lsatisfait la condition (v).
b) Soient f:E→Fune surjection linéaire, Lun mo-
dule libre, Pun facteur direct de Let v:L→Fune
application linéaire. D’après  1 c), existent des appli-
cations linéaires Lπ//P
i
ootelles que π◦i= 1P.
Lπ//
u1
P
i
ii
v
@
@
@
@
@
@
@
Ef//F
D’après la question précédente, le morphisme v1:= v◦πse factorise par f:
il existe u1:L→Elinéaire tel que f u1=v1.
Posant u=u1i, il vient fu =f u1i=v1i=v π i =v.
c) (i) ⇒(ii) Supposons (i) ; la surjection A(P)→Pest alors scindée, donc
d’après  1 c), il existe un module Qet un isomorphisme entre P⊕Qet le
module libre A(P).
(ii) ⇒(iii) D’après  1 b), si P⊕Qest isomorphe à un module libre, alors
il est libre.
(iii) ⇒(iv) est l’objet de la question b) ci-dessus.
(iv) ⇔(v) Si f∈HomA(E, F ), la surjectivité de f∗signifie que
∀v∈HomA(P, F ),∃u∈HomA(P, E): v=f∗(u) = f◦u
i.e., que toute application linéaire P→Fse factorise par f.
(v) ⇒(i) Supposons (v). Soit f:E→Pune surjec-
tion linéaire. Appliquant (v) à F=Pet v= 1P, on
en déduit que cette application se factorise par f,i.e.,
qu’il existe s:P→Etel que f◦s= 1P.
P
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
s
Ef//P
3Si (ii) est satisfaite, alors Pest projectif (2econdition de la définition) et
de type fini car, choisissant une projection fde Ansur P(qui existe d’après
2

les préliminaires) et notant (e1, . . . , en)la base caononique de An, on a que
f(e1), . . . , f(en)est génératrice de P.
Supposons (i). Pétant de type fini, il existe un entier net une famille
génératrice à néléments de P. Si (u1, . . . , un)est une telle famille, poser
f(e1) = u1, . . . , f(en) = undéfinit une surjection linéaire An→P, qui
est scindée puisque Pest projectif. Par suite, il existe un module Qet un
isomorphisme P⊕Q'An.
4 a) (i) On a (grâce au théorème chinois, par exemple)
Z/6Z'Z/2Z×Z/3Z=Z/2Z⊕Z/3Z
et il est aisé de voir que cet isomorphisme de groupes abéliens est Z/6Z-
linéaire. Donc Z/3Z,Z/6Z-module facteur direct du Z/6Z-module libre
Z/6Z, est projectif en tant que Z/6Z-module.
(ii) Quand nest non nul, il n’existe aucun morphisme de Z-modules (de
groupes abéliens) de Z/nZvers Z,a fortiori aucune section de la surjection
canonique Z→Z/nZ. Ce dernier n’est donc pas projectif en tant que Z-
module.
(iii) est conséquence immédiate (et triviale) de  1 a)(ii).
b) Z/3Zest un Z/6Z-module projectif mais n’est pas libre, car sinon il exis-
terait un isomorphisme Z/3Z'(Z/6Z)n. Or (Z/6Z)npossède 6néléments
et Z/3Zen possède 3, qui n’est pas une puissance de 6.
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