Université de Pau et des pays de l’Adour M mms, tmuzu Année 2008-2009 Partiel du 17 novembre M oduleŊ projectifŊ D ans tout ce qui suit, A désigne un anneau commutatif. Les termes « module » et « linéaire » seront employés au sens de « A-module » et « A-linéaire ». 1 Préliminaires a) Soient E et F des modules et f : E → F une application linéaire. On dit que f est scindée, ou admet une section s’il existe un morphisme s : F → E tel que f ◦ s = 1F . On dit alors que s est une section de f et que f est une projection de E sur F . Montrer que (i) si f est scindée, elle est surjective et ses sections sont injectives ; (ii) si F est libre et f surjective, alors f est scindée ; (iii) pour tous modules P et Q, la surjection canonique πP : P ×Q → P est scindée par l’injection canonque iP : P → P ⊕ Q = P × Q. b) Montrer que tout module isomorphe à un module libre est libre. c) Soient P et E des modules. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) P est isomorphe à un facteur direct de E ; ∼ (ii) il existe un module Q et un isomorphisme ϕ : E −→ P ⊕ Q ; f / (iii) il existe des applications linéaires E o P telles que f ◦ g = 1P . g 2 Modules projectifs. Soit P un A-module. On considère les asser- tions (i) (ii) (iii) suivantes : toute surjection linéaire f : E → P est scindée ; il existe un module Q et un module libre L tels que P ⊕ Q ' L ; P est facteur direct d’un module libre, i.e., il existe un module Q et un module libre L tels que P ⊕ Q = L ; (iv) pour tous modules E et F et toute surjection linéaire f : E → F , l’application f∗ : HomA (P, E) −→ HomA (P, F ) u 7−→ f ◦u est surjective ; (v) si f : E → F est une surjection linéaire, tout morphisme de P dans F se factorise par f (il n’est pas demandé qu’une telle factorisation soit unique ; par contre, il est entendu qu’elle se doit d’être composée d’applications linéaires). P@ @ E @@ @@ @ /F f a) Montrer que tout module libre satisfait (v). b) En déduire que tout facteur direct d’un module libre satisfait (v). c) Montrer que ces cinq assertions sont équivalentes. Le module P est dit projectif si ces conditions sont satisfaites. 3 Modules projectifs de type fini. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) P est projectif de type fini ; (ii) il existe un module Q et un entier n tels que P ⊕ Q ' An . 4 Exemples et contre-exemples. a) Montrer que (i) Z/3Z est un Z/6Z-module projectif ; (ii) pour n 6= 0, Z/nZ n’est pas un Z-module projectif ; (iii) tout A-module libre est projectif. b) Donner un exemple d’anneau A et de A-module projectif qui n’est pas libre. 5 Changement d’anneau. Soit ϕ : A → B un morphisme d’anneaux. Montrer que pour tout A-module projectif P , le B-module ϕ∗ (P ) obtenu par extension des scalaires est projectif. Cela reste-t-il valable pour les modules projectifs de type fini ? 2 Université de Pau et des pays de l’Adour M mms, tmuzu Année 2008-2009 Exercices C orrection du partiel du 17 novembre 1 a) (i) Supposons f scindée ; soient s une section de f et x un élément de F . Alors x = f s(x) ∈ im f et s(x) = 0 =⇒ x = f (0) = 0. Par suite, im f = F et ker s = {0} : f est surjective et s injective. (ii) Supposons F libre et f surjective. Choisissons une base (ei )i∈I de F et, pour tout i ∈ I, choisissons un élément ui de E tel que f (ui ) = ei . Soit s : F → E l’unique application linéaire telle que pour tout i ∈ I, s(ei ) = ui . Alors f ◦ s est l’unique application linéaire de F vers F telle que ∀i ∈ I (f ◦ s)(ei ) = f (ui ) = ei . Donc f ◦ s = 1F et f est scindée. (iii) L’injection canonique iP : P → P ×P est définie par iP (x) = (x, 0) et πP est la première projection. Donc pour tout x ∈ P, πP i(x) = πP (x, 0) = x. b) Si f : E → F est un isomorphisme, alors l’image de toute base de E est une base de F . Si E est libre, il possède une base et par conséquent F aussi. c) Supposons (i). Existent alors des sous-modules P 0 et Q de E et un ∼ isomorphisme f : P 0 → P tels que P 0 ⊕ Q = E. Étant donné x ∈ E, il existe un unique couple (y, z) ∈ P 0 × Q tel que x = y + z. Poser ϕ(x) = f (y), z) ∈ P × Q = P ⊕ Q définit une application ϕ : E → P ⊕ Q qui est clairement un isomorphisme. Supposons (ii). Notons iP : P → P ⊕ Q = P × Q et πP : P × Q → P l’injection et la projection canoniques ; les morphismes f = πP ◦ ϕ : E → P et g = ϕ−1 ◦ iP : P → E sont tels que f ◦ g = πP ϕ ϕ−1 iP = πP iP = 1P . Supposons (iii). Alors g est injective, donc réalise un isomorphisme de P sur son image. Remarquons que tout élément x de E se décompose en x = (g ◦ f )(x) + x − (g ◦ f )(x) . Posons P 0 = im g, q = g ◦ f et Q = im(1E − q) ; de la décomposition ci-dessus résulte (puisque im q ⊂ im g = P 0 ) que E = P 0 + Q et il reste à montrer que cette somme est directe. Soit x ∈ P 0 ∩ Q ; alors – x ∈ P 0 = im g, donc il existe y ∈ P tel que x = g(y) ; – x ∈ Q = im(1E − q), donc il existe z ∈ E tel que x = z − q(z) ; – f ◦ g = 1P , donc y = f (x) = f (z) − f gf (z) = f (z) − (f g) f (z) = f (z) − f (z) = 0 et par suite x = g(y) = 0. 2 a) Soient f : E → F une surjection linéaire, L un module libre et v : L → F une application linéaire. Fixons une base (ei )i∈I de L ; pour chaque i ∈ I, choisissons xi ∈ E tel que f (xi ) = v(ei ) et notons u l’application linéaire de L vers E telle que pour tout i, u(ei ) = xi . Alors pour tout i, v(ei ) = f u(ei ) , de sorte que v = f ◦ u : L satisfait la condition (v). b) Soient f : E → F une surjection linéaire, L un module libre, P un facteur directde L et v : L → F une 1 c), existent des appliapplication linéaire. D’après π / cations linéaires L o P telles que π ◦ i = 1P . Li u1 π / P@ @ i @@v @@ @ /F f E i D’après la question précédente, le morphisme v1 := v ◦ π se factorise par f : il existe u1 : L → E linéaire tel que f u1 = v1 . Posant u = u1 i, il vient f u = f u1 i = v1 i = v π i = v. (P ) c) (i) ⇒ → P est alors scindée, donc Supposons (i) ; la surjection A (ii) 1 c), il existe un module Q et un isomorphisme entre P ⊕ Q et le d’après module libre A(P ) . 1 b), si P ⊕ Q est isomorphe à un module libre, alors (ii) ⇒ (iii) D’après il est libre. (iii) ⇒ (iv) est l’objet de la question b) ci-dessus. (iv) ⇔ (v) Si f ∈ HomA (E, F ), la surjectivité de f∗ signifie que ∀v ∈ HomA (P, F ), ∃u ∈ HomA (P, E) : v = f∗ (u) = f ◦ u i.e., que toute application linéaire P → F se factorise par f . (v) ⇒ (i) Supposons (v). Soit f : E → P une surjection linéaire. Appliquant (v) à F = P et v = 1P , on s en déduit que cette application se factorise par f , i.e., qu’il existe s : P → E tel que f ◦ s = 1P . E 3 Si (ii) est satisfaite, alors P P @@@ @ f @@@@ @@@@ @@ /P est projectif (2e condition de la définition) et de type fini car, choisissant une projection f de An sur P (qui existe d’après 2 les préliminaires) et notant (e1 , . . . , en ) la base caononique de An , on a que f (e1 ), . . . , f (en ) est génératrice de P . Supposons (i). P étant de type fini, il existe un entier n et une famille génératrice à n éléments de P . Si (u1 , . . . , un ) est une telle famille, poser f (e1 ) = u1 , . . . , f (en ) = un définit une surjection linéaire An → P , qui est scindée puisque P est projectif. Par suite, il existe un module Q et un isomorphisme P ⊕ Q ' An . 4 a) (i) On a (grâce au théorème chinois, par exemple) Z/6Z ' Z/2Z × Z/3Z = Z/2Z ⊕ Z/3Z et il est aisé de voir que cet isomorphisme de groupes abéliens est Z/6Zlinéaire. Donc Z/3Z, Z/6Z-module facteur direct du Z/6Z-module libre Z/6Z, est projectif en tant que Z/6Z-module. (ii) Quand n est non nul, il n’existe aucun morphisme de Z-modules (de groupes abéliens) de Z/nZ vers Z, a fortiori aucune section de la surjection canonique Z → Z/nZ. Ce dernier n’est donc pas projectif en tant que Zmodule. 1 a)(ii). (iii) est conséquence immédiate (et triviale) de b) Z/3Z est un Z/6Z-module projectif mais n’est pas libre, car sinon il existerait un isomorphisme Z/3Z ' (Z/6Z)n . Or (Z/6Z)n possède 6n éléments et Z/3Z en possède 3, qui n’est pas une puissance de 6. 3