Probabilités

Probabilités-Rappels
Exercice 1
1) Une assemblée de 26 personnes comprend 16 femmes et 10 hommes. On choisit au hasard dans
cette assemblée un groupe de n individus. Quelle est la probabilité que ce groupe contienne au moins
un homme et une femme ?
2) Quelle est la probabilité que 2 élèves ait le même anniversaire dans une classe de 40 ?
Exercice 2
Application de la formule de Poincaré
1) 3 boules numérotées de 1 à 3 sont placées au hasard dans trois urnes numérotées de 1 à 3 (une
boule par urne). Quelle est la probabilité qu’il y ait au moins une coïncidence entre le nř d’une urne
et le numéro de la boule qu’elle contient ?
2) Même question avec n boules et n urnes.
Exercice 3
Accident nucléaire : une certitude statistique. La probabilité d’un accident nucléaire majeur en
Europe dans les trente prochaines années serait de plus de 100% (Libération le vendredi 3 juin 2011).
L’article commence par estimer la probabilité d’un accident majeur par réacteur nucléaire et par
année de fonctionnement. Selon l’article, le parc mondial actuel de réacteurs cumule 14000 réacteursans (environ 450 réacteurs pendant 31 ans). Pendant cette période, il y a eu quatre accidents majeurs,
ce qui mène à une probabilité d’accident majeur d’environ 0,0003 par an pour chaque réacteur.
Les auteurs en « déduisent »donc que la probabilité d’un accident majeur en France (avec ses 58
réacteurs) pendant les trente prochaines années serait de 58 fois 30 fois 0,0003, donc d’environ 50%.
Quant à la probabilité d’un accident en Europe (143 réacteurs) dans les trente prochaines années,
elle « est »de 143 fois 30 fois 0,003, « donc »d’environ 129%. Commenter.
Exercice 4
Il est la plupart du temps impossible de compter tous les individus d’une population animale donnée.
Différentes méthodes de comptage existent. L’une d’entre elle est la méthode de capture-recapture.
Elle n’est efficace que sous certaines conditions. De nombreuses variantes existent. Son principe est
simple. Supposons que nous voulions estimer la taille d’une population de lapins dans une zone
donnée. Notons N cette taille (à déterminer). On capture n lapins que l’on marque. On laisse les
lapins vivre quelques temps (ils se mélangent). On en capture de nouveau un certain nombre r. Si
parmi ces r, k sont marqués et si certaines conditions sont réunies, il est raisonnable de penser que
N vaut à peu près rn/k.
1) Si n lapins sur N sont marqués, quelle est la probabilité qu’en en capturant r, k soient marqués ?
2) Pour quelle valeur de N cette probabilité est-elle maximale ?
Exercice 5
On s’intéresse à la fiabilité d’un alcootest pour automobilistes. Grâce à des études statistiques sur
un grand nombre d’automobilistes, on sait que 0,5% d’entre eux dépassent la dose d’alcool autorisée.
Aucun test n’est fiable à 100%. Avec celui que l’on considère, la probabilité que le test soit positif
quand la dose d’alcool autorisée est dépassée, et la probabilité que le test soit négatif quand elle ne
l’est pas, valent toutes deux ρ = 0, 95. Quelle est la probabilité qu’un automobiliste ayant un test
positif ait réellement dépassé la dose d’alcool autorisée ? Quelle devrait être la valeur de ρ pour que
cette probabilité soit de 95% ? Un policier affirme : Ce test est beaucoup plus fiable le samedi soir
à la sortie des boites de nuit ! Commenter.
Exercice 6
Une roulette contient 36 cases numérotées de 1 à 36 dont 18 sont rouges et 18 sont noires, plus une
1
case numérotée 0 de couleur verte. Un joueur qui mise sur la couleur rouge ou noire gagne deux fois
sa mise si la couleur choisie sort, sinon il perd sa mise. Un joueur qui mise sur un numéro de 1 à 36
gagne 36 fois sa mise si le numéro sort. Il est interdit de miser sur le zéro.
1) Un joueur mise a euros sur une couleur. Soit C la variable aléatoire correspondant au gain associé.
Trouvez la loi de C puis calculez E(C) et σ(C).
2) Un joueur mise a euros sur un numéro. Soit N la variable aléatoire correspondant au gain associé.
Trouvez la loi de N puis calculez E(N ) et σ(N ).
Exercice 7
Calculer l’espérance d’une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli, une loi binomiale, une loi
hypergéométrique, une loi géométrique, une loi de Poisson, une loi exponentielle.
Exercice 8
On note f laR fonction réelle définie sur R par f (x) = e−|x−20| .
1) Calculer R f (t) dt. Déterminer le réel k tel que la fonction g définie par g = kf soit une densité
de probabilité.
2) Une entreprise vend de la farine conditionnée en sacs. Le poids en kilogrammes d’un sac est une
v.a X admettant g comme densité de probabilité. Montrer que X admet une espérance.
3) Déterminer la fonction de répartition F de X.
4) Quelle est la probabilité qu’un sac pèse plus de 20 kilos ?
5) Quelle est la probabilité qu’un sac pèse moins de 21 kilos, sachant qu’il pèse plus de 20 kilos ?
Exercice 9
1) Soit X une v.a. à densité de loi N (0; 1). Calculer P(X > 1) ; P(X < 2) ; P(−1 < X < 2) et
P(|X| > 1).
2) Soit X une v.a. à densité de loi N (m; σ 2 ). Calculer E[X] et V ar(X).
3) On suppose que le poids en kilogrammes d’un nouveau-né suit une loi normale N (3.2; 0.25).
Quelle est la probabilité qu’un nouveau-né pèse plus de 4 kg ?
Exercice 10
On suppose que la taille mesurée en mètre des garçons de 20 ans suit une loi normale de moyenne
m et d’écart-type σ. On sait que 84% des garçons de 20 ans mesurent moins de 1 m 86 et que 97%
mesurent plus de 1 m 58. Déterminer m et σ.
Exercice 11
Soit X une v.a. à densité de loi N (0; 1). On pose Y = X 2 .
1) Donner la fonction de répartition de la loi de Y . Donner la fonction de densité.
2) Montrer que Y admet une espérance et la calculer.
Exercice 12
Pour un échantillon de 300 individus sains, on a étudié la glycémie ; on a constaté que 20% des
glycémies sont inférieures à 0.82 g/l et que 30% des glycémies sont supérieures à 0.98 g/l. En
supposant que la glycémie suit une loi normale, déterminer la moyenne et l’écart-type de cette loi.
Exercice 13
500 personnes ont postulé pour une place, mais 379 ont été refusées parce qu’elles n’étaient pas
assez grandes. La taile d’un individu suivant une loi normale de moyenne 171.5 cm et d’écart-type
5 cm, estimer la taille minimale exigée.
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