Probabilités

Probabilités-Rappels
Exercice 1
1) Une assemblée de 26 personnes comprend 16 femmes et 10 hommes. On choisit au hasard dans
cette assemblée un groupe de nindividus. Quelle est la probabilité que ce groupe contienne au moins
un homme et une femme ?
2) Quelle est la probabilité que 2 élèves ait le même anniversaire dans une classe de 40 ?
Exercice 2
Application de la formule de Poincaré
1) 3 boules numérotées de 1 à 3 sont placées au hasard dans trois urnes numérotées de 1 à 3 (une
boule par urne). Quelle est la probabilité qu’il y ait au moins une coïncidence entre le nř d’une urne
et le numéro de la boule qu’elle contient ?
2) Même question avec n boules et n urnes.
Exercice 3
Accident nucléaire : une certitude statistique. La probabilité d’un accident nucléaire majeur en
Europe dans les trente prochaines années serait de plus de 100% (Libération le vendredi 3 juin 2011).
L’article commence par estimer la probabilité d’un accident majeur par réacteur nucléaire et par
année de fonctionnement. Selon l’article, le parc mondial actuel de réacteurs cumule 14000 réacteurs-
ans (environ 450 réacteurs pendant 31 ans). Pendant cette période, il y a eu quatre accidents majeurs,
ce qui mène à une probabilité d’accident majeur d’environ 0,0003 par an pour chaque réacteur.
Les auteurs en « déduisent »donc que la probabilité d’un accident majeur en France (avec ses 58
réacteurs) pendant les trente prochaines années serait de 58 fois 30 fois 0,0003, donc d’environ 50%.
Quant à la probabilité d’un accident en Europe (143 réacteurs) dans les trente prochaines années,
elle « est »de 143 fois 30 fois 0,003, « donc »d’environ 129%. Commenter.
Exercice 4
Il est la plupart du temps impossible de compter tous les individus d’une population animale donnée.
Différentes méthodes de comptage existent. L’une d’entre elle est la méthode de capture-recapture.
Elle n’est efficace que sous certaines conditions. De nombreuses variantes existent. Son principe est
simple. Supposons que nous voulions estimer la taille d’une population de lapins dans une zone
donnée. Notons Ncette taille (à déterminer). On capture nlapins que l’on marque. On laisse les
lapins vivre quelques temps (ils se mélangent). On en capture de nouveau un certain nombre r. Si
parmi ces r,ksont marqués et si certaines conditions sont réunies, il est raisonnable de penser que
Nvaut à peu près rn/k.
1) Si nlapins sur Nsont marqués, quelle est la probabilité qu’en en capturant r,ksoient marqués ?
2) Pour quelle valeur de Ncette probabilité est-elle maximale ?
Exercice 5
On s’intéresse à la fiabilité d’un alcootest pour automobilistes. Grâce à des études statistiques sur
un grand nombre d’automobilistes, on sait que 0,5% d’entre eux dépassent la dose d’alcool autorisée.
Aucun test n’est fiable à 100%. Avec celui que l’on considère, la probabilité que le test soit positif
quand la dose d’alcool autorisée est dépassée, et la probabilité que le test soit négatif quand elle ne
l’est pas, valent toutes deux ρ= 0,95. Quelle est la probabilité qu’un automobiliste ayant un test
positif ait réellement dépassé la dose d’alcool autorisée ? Quelle devrait être la valeur de ρpour que
cette probabilité soit de 95% ? Un policier affirme : Ce test est beaucoup plus fiable le samedi soir
à la sortie des boites de nuit ! Commenter.
Exercice 6
Une roulette contient 36 cases numérotées de 1 à 36 dont 18 sont rouges et 18 sont noires, plus une
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case numérotée 0 de couleur verte. Un joueur qui mise sur la couleur rouge ou noire gagne deux fois
sa mise si la couleur choisie sort, sinon il perd sa mise. Un joueur qui mise sur un numéro de 1 à 36
gagne 36 fois sa mise si le numéro sort. Il est interdit de miser sur le zéro.
1) Un joueur mise aeuros sur une couleur. Soit Cla variable aléatoire correspondant au gain associé.
Trouvez la loi de Cpuis calculez E(C)et σ(C).
2) Un joueur mise aeuros sur un numéro. Soit Nla variable aléatoire correspondant au gain associé.
Trouvez la loi de N puis calculez E(N)et σ(N).
Exercice 7
Calculer l’espérance d’une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli, une loi binomiale, une loi
hypergéométrique, une loi géométrique, une loi de Poisson, une loi exponentielle.
Exercice 8
On note fla fonction réelle définie sur Rpar f(x) = e−|x−20|.
1) Calculer RRf(t)dt. Déterminer le réel ktel que la fonction gdéfinie par g=kf soit une densité
de probabilité.
2) Une entreprise vend de la farine conditionnée en sacs. Le poids en kilogrammes d’un sac est une
v.a Xadmettant gcomme densité de probabilité. Montrer que Xadmet une espérance.
3) Déterminer la fonction de répartition Fde X.
4) Quelle est la probabilité qu’un sac pèse plus de 20 kilos ?
5) Quelle est la probabilité qu’un sac pèse moins de 21 kilos, sachant qu’il pèse plus de 20 kilos ?
Exercice 9
1) Soit Xune v.a. à densité de loi N(0; 1). Calculer P(X > 1) ;P(X < 2) ;P(−1< X < 2) et
P(|X|>1).
2) Soit Xune v.a. à densité de loi N(m;σ2). Calculer E[X]et V ar(X).
3) On suppose que le poids en kilogrammes d’un nouveau-né suit une loi normale N(3.2; 0.25).
Quelle est la probabilité qu’un nouveau-né pèse plus de 4 kg ?
Exercice 10
On suppose que la taille mesurée en mètre des garçons de 20 ans suit une loi normale de moyenne
met d’écart-type σ. On sait que 84% des garçons de 20 ans mesurent moins de 1 m 86 et que 97%
mesurent plus de 1 m 58. Déterminer met σ.
Exercice 11
Soit Xune v.a. à densité de loi N(0; 1). On pose Y=X2.
1) Donner la fonction de répartition de la loi de Y. Donner la fonction de densité.
2) Montrer que Yadmet une espérance et la calculer.
Exercice 12
Pour un échantillon de 300 individus sains, on a étudié la glycémie ; on a constaté que 20% des
glycémies sont inférieures à 0.82 g/l et que 30% des glycémies sont supérieures à 0.98 g/l. En
supposant que la glycémie suit une loi normale, déterminer la moyenne et l’écart-type de cette loi.
Exercice 13
500 personnes ont postulé pour une place, mais 379 ont été refusées parce qu’elles n’étaient pas
assez grandes. La taile d’un individu suivant une loi normale de moyenne 171.5 cm et d’écart-type
5 cm, estimer la taille minimale exigée.
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