TD3 Dynamique du solide

TD3 Dynamique du solide-correction
Objectifs : mouvements circulaires, accelérations et relation fondamentale de la dynamique
Exercice 1
Un homme cours sur une piste circulaire de rayon 200 m à la vitesse constante de 5 m/s. Quelle est son
acceleration ?
dυ
rep : l'acceleration tangentielle est nulle puisque l'homme court à vitesse constante γT =
= 0 en revanche
dt
son acceleration normale n'est pas nulle
γN =
υ2
25
=
= 0.125ms−2
R
200
Exercice 2
Un garçon roule à velo avec une vitesse constante de 10 m/s sur une portion de route circulaire de rayon
500 m.
a) Quelle est son acceleration ?
υ2
100
rep : idem ci-dessus γN =
=
= 0.2 ms−2
R
500
b) si la masse totale du garçon + vélo est de 80 kg . Quelle est la force qu'il faut déployer pour obtenir cette
accélération ?
∑ −−−−→
→
−
υ2
→
→
=
rep :
f orces = m−
γ , le poids et la réaction du sol se compense il ne reste que F = m−
γ F =m
R
80 × 0.2 = 16 N
Exercice 3
La roue d'un vélo à une massem = 2 kg et un rayon R de 0.35 m. Calculez son moment d'inertie
rep : pour un anneau de rayon R, le moment d'inertie J est J = mR2 = 2.(0.35)2 = 0.245 kgm2
Exercice 4
Une meule constituée d'un disque d'épaisseur uniforme de rayon R = 0.1 m et de masse m = 5 kg
a) Quel est son moment d'inertie J ?
1
rep : pour un disque J = mR2 = 0.5 × 5 × (0.1)2 = 2, 5.10−2 kgm2
2
b) Quelle est la valeur du moment du couple de force nécessaire pour amener cette roue, initialement à l'arrêt,
à une vitesse angulaire ω = 120rads−1 en t = 8s sachant que l'accélération angulaire α est une constante ?
dω
rep M∆ = Jα où α est l'acceleration angulaire α est constante α =
d'où ω = αt + cte au départ (à
dt
t = 0s) ω = 0 donc cte = 0
on en tire α =
ω
120
120
=
rads−2 d'où M∆ = Jα = 2, 5.10−2 ×
= 0.375 Joules
t
8
8
Exercice 5
La vitesse des centrifugeuses est lmitée en partie par la résistance des matériaux utilisés pour les construire.
Une centrifugeuse fait tourner un échantillon de m = 10g placé à une distance r = 0.05m de l'axe, à une vitesse
agulaire ω de 60000 tours/min.
a) Quel est la force exercée par la centrifugeuse sur l'échantillon ?
rep : F = m × accélération ici on a qu'une accélération normale (centripète) F = m
(
−2
F = 10
× 5 10
−2
×
60000
× 2π
60
)2
r2 ω 2
υ2
=m
= mrω 2
r
r
≃ 2 104 N il faut mettre en kg
b) Quelle est la masse de l'échantillon au repos si son poid était égal à la force calculée en a)
rep : m =
F
= 2 tonnes
g
1
Exercice 6
Une centrifugeuse utilisée pour tester la resistance de l'homme à l'acceleration est munie d'une nacelle placée
à 16 m de l'axe vertical de rotation.
Quelle est la vitesse necessaire pour produire une acceleration horizontale de 11g , où g ≃ 10 ms−2 est
l'acceleration de la pesanteur ?
√
υ2
=⇒ υ = 16 × 110 = 42ms−1
R
υ
si on veut en vitesse angulaire ω =
= 2.6rads−1 ≃ 25tours/min ( 1 tour = 2π radiands et 1 min = 60
R
γN = 11g = 110ms−2 =
secondes )
Relation fondamentale de la dynamique : Étude d'un yoyo
On prendra :
Accélération de la pesanteur : g = 10m/s2
1
2
Moment d'inertie d'un disque de masse m et de rayon r : J = mr2
On schématise un yoyo par 2 disques identiques homogènes de rayon R et de masse M , reliés par un tambour
de rayon r < R et de masse négligeable autour duquel est enroulé un l (lui aussi de masse négligeable). Les
deux disques et le tambour sont solidaires et ont le même axe.
Une extrémité du l est attaché au tambour et l'autre à un point xe O. Le l est enroulé, on lache le yoyo
sans vitesse initiale, l'axe étant horizontal. On admettera que l'axe reste horizontal au cours du mouvement
(on ne donne pas de mouvement de balancier au yoyo).
On cherche à calculer l'accélération linéaire du yoyo et la tension du l. On va faire cela par étapes.
−
→
−
→
1. Dessiner sur le schéma les forces en présence : le poids du yoyo P , et la tension du l T .
2. Quel est le moment d'inertie J du yoyo en fonction de M et R ?
Attention dans l'introduction on donne J de façon générale, il faut adapter au problème
1
Ici on a 2 disques de masse M ⇒J = × 2M × R2 = M R2
−
→ 2
3. Ecrire le moment de la tension T dans le référentiel du centre de masse du yoyo. quel est le moment du
−
→
poids P ? Préciser la direction des vecteurs.
−
→−
→
−
→
−
M(T ) = →
r ∧ T en norme M oment = T r direction perpendiculaire à la feuille vers la table. le moment du
−
→
poids P est nul car le point d'application de la masse est en O'.
4. Ecrire le théorême du moment cinétique dans ce repère du centre de masse en fonction de T , r, J et
l'accélération
α.
∑ −−−−−→angulaire
→
→
moment = J −
α en norme T r = Jα, −
α est dirigé perpendiculairement à la feuille vers la table.
5. Quelle est la relation entre α et γ accélération linéaire du yoyo ?
2
ne pas oublier les relation υ = rω et γ = rα
6. Ecrire la relation fondamentale de la dynamique pour le yoyo.
∑ −−−−→
→
− →
−
→
f orces = masse × accélération avec les données du problème T + P = 2M −
γ
si on projette le long de Ox donne : −T + P = 2M γ
7. Remplacer dans la relation 4. la tension à l'aide de l'équation obtenue en 3.
−T + P = 2M γ avec T r = Jα et J = M R2 ⇒ T =
⇒−
M R2
γ + P = 2M γ
r2
(
Jα
M R2 α
M R2
γ
=
=
×
r
r
r
r
)−1
R2
8. En déduire que γ = g 1 + 2
.
2r
P = 2M g
(
)−1
M R2
R2
− 2 γ + 2M g = 2M γ d'où le résultat : γ = g 1 + 2
r
2r
2M gR2
2
2
R
( + 2r 2 )−1
2
2
2
MR
MR
MR
R
ça vient de la question 3. T = 2 γ = 2 × γ = 2 × g 1 + 2
r
r
r
2r
(
)
2r2
M R2
T =g
×
on s'implie par r2 et on trouve le résultat demandé
2r2 + R2
r2
9. Montrer alors que la norme de la tension du l s'écrit : T =
3