Le mouvement circulaire

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Le mouvement circulaire
v7.1
NGC 2997b
1
Mouvement circulaire .1
ar : accélération centripète
(vers le centre)
r
ar =
v2/r
Q.: prouver cette formule
par analyse dimensionnelle
v
ar
ar =
^
2
-(v /r)r
^
Fr = -m(v2/r)r
2
Mouvement circulaire .2
rayon de
courbure
en p
r
ar
v
p
ar(p) = v(p)2/r(p)
3
Les angles
s
θ
θ radians = s / r
r
exemple: s = 2πr
donc 2π radians ≡ 360°
⇒
θ = 2πr / r = 2π
radians = degrés / 57.32
4
Mouvement circulaire .3
Vitesse angulaire : ω = dθ / dt
Accélération angulaire : α = dω / dt
Cas important: mouvement circulaire à vitesse constante v
sur un cercle de rayon r :
L'objet parcourt le cercle en un temps T = 2πr / v
(T est la période)
la vitesse angulaire est alors (en radians/s):
ω =
2π / T =
2π v / 2πr
= v / r
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Mouvement circulaire .4
Conventions pour une représentation vectorielle:
Le vecteur ω est parallèle à l'axe de rotation.
Le sens est celui du pas de vis (ou du tire-bouchon).
z
α = dω / dt
ω
y
x
α
est aussi // à l'axe de
rotation
p. ex., dans la figure ω est
positif, parallèle à z. α > 0 indique que ω
augmente avec le temps
α non nul <=> mouvement non uniforme
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Mouvement circulaire .5
cas où le mouvement n'est pas uniforme
v=ωr
α≠0 r
v ≠ cte
est toujours valable instantanément avec v = v(t),
ω = ω(t).
€
Nous avons alors une accélération "tangentielle"
r
d v dv
at =
=
dt dt
Q.: montrer que at = α r €
v(t)
ω(t)
at
α
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Mouvement circulaire .6
r
cas où le mouvement est uniforme, v = cte
on a
v = ω r constant ( at = 0 )
que l'on remplace dans
ar = -( v2 / r )^
r
€
^
ar = -( ω2 r2 / r )r^
= - ω2 r r
ω
v
Attention: ne pas confondre ar
avec l'accélération tangentielle at
que l'on observe quand la vitesse
de rotation change, ω ≠ cte.
ar
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Mouvement circulaire .7
Démontrer que dans un mouvement circulaire uniforme
ar = -
ω2
^
r r
v2
par la méthode des
"petits accroissements"
v1
δθ
9
€
Calcul de l'accélération dans un mouvement
circulaire de rayon r, à vitesse cte = v
v2
r r
r
r
v 2 − v1
δv
a r = lim
= lim
t 2 →t 1 t 2 − t1
δt →0 δt
v1
δθ est l'angle parcouru
dans le temps δt
r
(t2)
δθ
(t1)
10
€
Calcul de l'accélération .2
r r
r
r
v 2 − v1
δv
a r = lim
= lim
t 2 →t 1 t 2 − t1
δt →0 δt
δv
v1
v2
transport parallèle
de v2 vers v1:
δθ
δv anti// r
δθ
11
€
€
angles en rad !
Calcul de l'accélération .3
δv
δθ ≈
⇒ δv ≈ v δθ
v
δv
avec ω la vitesse angulaire
ω = δθ/δt et
v1
v = ωr
v2
δv vδθ
ar ≈
=
= vω =
δt
δt
2
v
= ω 2r =
r
δθ
δθ
transport parallèle
de δv au milieu
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Moment des forces τ, accélération angulaire α
et moment d'inertie I
Force F appliquée à une tige fixée en C
Ft est la composante qui agit sur la rotation du point de masse m
Ft est ⊥ au rayon r
Ft = m at
at = r α => Ft = m r α
,
multiplier par r :
r Ft = m
r2
α
τ=Iα
(analogue à F = ma)
m
attention au
carré
F
r
avec I = m r2
C
Ft
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Moment d'inertie .1 ra
rb
I = ma ra2 + mb rb2
mb
ma
dx
x
a
-a
axe de rotation
I
tige de masse m
(densité uniforme)
et de longueur l=2a
masse d'un élément de longueur dx vaut
a
=
-a
(m/2a)dx
x2 (m/2a) dx = (m/2a) x3/3
a
-a
= ma2/3 ( ou I = m(l/2)2/3 = ml2/12 )
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Moment d'inertie .2
l
l
I = m l2/12
I = m l2/3
attention
à la position
de l'axe de
rotation !
tube (mince) de rayon R: I = mR2
disque de rayon R: I = mR2/2
sphère homogène I = 2mR2/5
enveloppe sphérique I = 2mR2/3
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Moment des forces et rotation
Un τ positif induit un α positif (cas de la figure).
Si l'objet est initialement au repos,
il acquiert un ω positif (une rotation anti-horaire) α
τ / Ι = α
τ
r
i)
ω
F
f)
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Exemple
Une meule de r=0.08 m et M=2 kg
r
I = Mr2/2 = 2 x 0.082/2 = 0.0064 kg m2
moment de la force qui fait passer le disque du repos → ω=120 rad/s
en 8 secondes ?
Δω 120
α=
=
= 15 rad /s2
Δt
8
m
τ = Iα = 0.0064 ×15 = 0.096 kg 2 m = 0.096 Nm
s
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Exemple 2
poulie de masse M et rayon R qui tourne
sans frottement
M
R
T2
T1
a
Calculer l'accélération tangentielle de la roue
si m2=M et m1=M/2
a = module de l'accélération des deux masses = ? a
T1 et T2 = tensions:
m1
m2
M
T1 = m1 (g + a) = (g + a)
2
T2 = m2 (g − a) = M(g − a)
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Exemple 2 .2
M
(g + a)
2
T2 = m2 (g − a) = M(g − a)
T1 = m1 (g + a) =
M
R
T2
T1
€
a
a
moment total des forces sur la poulie: τ = T2R − T1R = (T2 − T1 )R =
⎡
⎤
1
1
M⎢(g − a) − (g + a)⎥R = MR (g − 3a)
⎣
⎦
2
2
m1
m2
on a aussi
τ = Iα = I
a
R
1
I = MR 2
2
€
1
1
1
1
2 a
τ = Iα = MR
= MRa ⇒ MR (g − 3a) = MRa
2
R 2
2
2
€
a = g /4
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