Questions-type-Bac-S-Enseignement obligatoire

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Questions « type-bac »
Toutes séries (S et ES) - Mathématiques
Version de démonstration gratuite (extraits)
Enseignement spécifique
(anciennement obligatoire)
Énoncés et corrigés
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en un minimum de temps et avec un maximum d’efficacité ! Vous ferez le bon choix !
Remarques importantes :
1. ces exercices sont ni spécialement difficiles, ni spécialement faciles mais parfaitement adaptés et conçus pour
une préparation optimale pour le bac. L’objectif principal est de vous faire progresser le plus vite ;
2. ces exercices ne sont pas spécialement longs. Même si certains prolongements seraient possibles, leur nombre de
question est volontairement limité afin de cibler au plus juste chaque notion importante ;
3. ces exercices ne sont pas classés par degré de difficulté mais par thèmes et sous-thèmes. Vous pouvez donc
directement travailler vos points faibles. Il n’est donc pas nécessaire de lire ce document de façon linéaire du
début à la fin, vous commencerez là où vous le voudrez ;
4. les solutions des exercices sont rédigées afin de correspondre parfaitement à ce qu’il faudrait, idéalement, noter
sur une copie de baccalauréat ;
5. n’hésitez pas à venir (re)visiter notre site ci-dessous pour trouver les dernières versions de nos documents et
également découvrir nos autres productions.
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2
Faut-il travailler avec les annales de bac ?
On pourrait s’imaginer qu’il s’agit là d’un bon moyen de préparation. Mais c’est loin d’être le travail idéal et
optimal. Les sujets de bac nécessitent souvent d’avoir synthétisé et assimilé plusieurs notions simultanément. Or,
le futur bachelier est rarement à ce stade avancé durant l’année scolaire. Avant de pouvoir faire des synthèses, il
faut, en préalable, travailler indépendamment chaque notion.
Les sujets de bac ne permettent pas un travail ciblé !
On trouve, à profusion, des recueils de sujets de bac sur internet. Il y en a tellement qu’on a tendance à s’y
perdre. Ne pas savoir par quoi commencer. Nous vous proposons une approche totalement différente et nettement
plus efficace (gain de temps considérable sur votre travail de préparation) :
réaliser une préparation ciblée en travaillant les questions-types
Grâce à ce document sur les questions-types, vous travaillez point par point, vous prenez vos repères, vous
progressez en un temps minimum. Et vous serez alors préparé au mieux pour faire une synthèse et réussir vos
épreuves de baccalauréat (tout en vous libérant du temps pour d’autres tâches).

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BAC S ET ES
Questions-types
(version de démonstration)
1.1 Fonction exponentielle
Question 1 -Comparaison entre exet x+ 1
Démontrer que pour tout réel x:
x+ 1 6ex
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Pour comparer deux quantités, une méthode consiste à étudier le signe de leur différence. D’où l’idée de considérer
la fonction fdéfinie pour tout réel xpar :
f(x) = ex−(x+ 1) = ex−x−1
La fonction fest dérivable sur Ret pour tout réel x, on a :
f′(x) = ex−1
Déterminons les réels xpour lesquels cette dérivée est positive. Pour cela, on résout l’inéquation suivante :
f′(x)>0
ex−1>0
ex>1
ex>e0
Et par croissance de la fonction ln sur R∗
+(ou la croissance de la fonction exponentielle sur R)(1)
x>0
On en déduit que la dérivée f′est positive sur l’intervalle [0 ,+∞[ d’où le tableau de variations suivant :
x−∞ 0 +∞
Signe de f′(x) = ex−1−0 +
Variations +∞+∞
de la
fonction f0
1. La croissance de la fonction ln se traduit pour Aet Bstrictement positifs par :
A6B⇐⇒ ln(A)6ln(B)
En particulier, si Aet Bsont des nombres de la forme A= eaet B= eb, on obtient :
ea6eb⇐⇒ lnea6lneb
C’est-à-dire :
ea6eb⇐⇒ a6b
Ce qui traduit la croissance de la fonction exponentielle. En présence de quantités strictement positives, la croissance de la fonction
logarithme népérien est donc équivalente à celle de la fonction exponentielle.

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1.2 Lectures graphiques 4
Figure 1.1 – Tableau de variations de la fonction x7−→ ex−(x+ 1)
On constate que la fonction fadmet, sur R, un minimum égal à 0 en 0.
En conséquence, la fonction fest positive sur R, autrement dit, pour tout réel x:
x+ 1 6ex
Pour aller plus loin, on peut montrer, de même, les inégalités suivantes :
ln(x)6x−1
1−x6e−x
ln(1 + x)6x
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1.2 Lectures graphiques
Question 2 -VRAI ou FAUX à partir de la courbe de la dérivée
Soit fune fonction dérivable sur l’intervalle [−3,2] telle que f(0) = −1.
On donne, ci-dessous, la représentation graphique C′de la fonction dérivée f′de f:
1
2
−1
1 2−1−2−3x
y
C′
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.
1. Pour tout réel xde l’intervalle [−3,−1], f′(x)60.
2. La fonction fest croissante sur l’intervalle [−1,2].
3. Pour tout réel xde l’intervalle [−3,2], f(x)>−1.
4. On note Cla courbe représentative de la fonction f. La tangente à la courbe Cau point d’abscisse 0 passe
par le point de coordonnées (1 ,0). http://question-type- bac.fr
Afin de faciliter les choses, on peut dresser le tableau de variations de la fonction f. Étant donné que la dérivée f′
est strictement négative sur l’intervalle [−3,−1[ puis strictement positive sur l’intervalle ]−1,2], la fonction fest
donc strictement décroissante sur l’intervalle [−3,−1[ puis strictement croissante sur l’intervalle ]−1,2] avec un
minimum m(inconnu) en −1. Rajoutons, de plus, l’information f(0) = −1 dans ce tableau.

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1.2 Lectures graphiques 5
x−3−1 0 2
Signe de f′(x)−0 +
Variations
de la
fonction f m
−1
Figure 1.2 – Tableau de variations de f.
Nous pouvons maintenant aisément répondre aux questions posées.
1. C’est VRAI puisque la courbe C′est située en dessous de l’axe des abscisses sur cet intervalle.
2. C’est VRAI puisque la dérivée f′est positive sur cet intervalle.
3. La fonction fest strictement croissante sur l’intervalle [−1,0] (d’après le tableau de variations précédent) donc :
f(−1) < f(0)
Or, f(0) = −1 donc :
f(−1) <−1
Il existe donc un réel xde l’intervalle [−3,2] (à savoir x=−1) pour lequel f(x) n’est pas supérieur ou égal
à−1. L’affirmation proposée est donc FAUSSE.
4. Notons y=ax +bl’équation de cette tangente. Son coefficient directeur aest donné par le nombre dérivé en 0
donc :
a=f′(0) = 1
L’équation de cette tangente est donc de la forme y=x+b.
De plus, on sait que f(0) = −1 ce qui nous permet de calculer l’ordonnée à l’origine b:
−1 = 0 + b
b=−1
On a, ainsi, complètement déterminé l’équation de la tangente en question, grâce aux données de l’énoncé. Cette
équation est :
y=x−1
On vérifie, sans peine, que lorsque x= 1, on a alors y= 0, ce qui signifie que cette tangente passe bien par le
point de coordonnées (1 ,0). L’affirmation proposée est donc VRAIE.
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