Probabilités

Psi 945 – 2014/2015
http://blog.psi945.fr Exercices
Probabilités
Exercice 1 —Des événements vers les ensembles
A,Bet Csont trois événements quelconques. Exprimer en terme d’union, intersection, complémentaire...
les événements suivants :
1. Seul Ase produit.
2. Aet Bse produisent, mais pas C.
3. Les trois événements se produisent simultanément.
4. Au moins l’un des événements se produit.
5. Au moins deux des événements se produisent.
6. Deux événements au plus se produisent.
7. Exactement un événement se produit.
8. Aucun des trois événement ne se produit.
9. Pas plus de deux événements ne se produisent.
On fera systématiquement un dessin patatoïdique.
Exercice 2 —Et pour une infinité d’événements...
On suppose cette fois que A1, A2, ..., An, ... constituent une infinité d’événements. Exprimer en terme
d’union, intersection, complémentaire... les événements suivants :
1. Au moins un des événements se produit.
2. Tous les Aise produisent à partir du rang N0.
3. Tous les Aise produisent à partir d’un certain rang.
4. L’un des Aise produit, pour i≥N0.
5. Une infinité des Aise produisent.
1 Dénombrement, probabilités finies
Exercice 3 —Vers la formule du crible
Soit Eun ensemble fini.
1. Montrer que si A,Bet Csont trois parties de E, alors :
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C| − (|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|) + |A∩B∩C|
2. Traduire cette relation en termes probabilistes.
3. Quelle serait la tête de la formule pour la réunion de quatre parties ?
Exercice 4 —Surjections
Déterminer le nombre de surjections de [[1,4]] dans [[1,3]].
Exercice 5 —Et l’as
On tire successivement une carte de deux jeux de 52 cartes.
1. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un as ?
2. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement un as ?
Exercice 6 —Permutations aléatoires
Les nombres 1,2, ..., n sont disposés au hasard linéairement.
1

1. Quelle est la probabilité pour que 1et 2apparaissent dans cet ordre, côte à côte ?
2. Quelle est la probabilité pour que 1,2et 3apparaissent dans cet ordre, côte à côte ?
3. Quelle est la probabilité pour que 1et 2apparaissent dans cet ordre (pas nécessairement côte à
côte) ?
Exercice 7 —Deux sur quatre
Dans une famille avec 4enfants, quelle est la probabilité pour qu’il y ait exactement 2garçons ?
Exercice 8 —Deux sur deux
Dans une famille avec 2enfants :
1. Quelle est la probabilité pour que les deux enfants soient des garçons ?
2. Quelle est la probabilité pour que les deux enfants soient des garçons sachant que l’aîné est un
garçon ?
3. Quelle est la probabilité pour que les deux enfants soient des garçons sachant qu’il y a au moins
un garçon ?
2 Dés, urnes et pièces
Exercice 9 —Six fois deux
On jette 12 dés. Quelle est la probabilité d’obtenir chacune des 6faces exactement deux fois ?
Exercice 10 —Dix dés
On jette 10 dés. Quelle est la probabilité d’obtenir :
1. Au moins un « six » ?
2. Au moins deux ?
3. Au moins deux sachant qu’il y en a au moins un ?
Exercice 11 —Somme paire
On lance ndés. Quelle est la probabilité pour la somme des résultats obtenus soit paire ?
Exercice 12 —Cinq faces
On lance un dé non biaisé à 5faces. On note pnla probabilité que la somme des résultats obtenus lors
des npremiers lancers soit paire.
1. Calculer p1et p2.
2. Donner une relation de récurrence vérifiée par (pn)n∈N, et en déduire la valeur de pn, pour n≥1.
Exercice 13 —Paradoxe du prince de Toscane
On cherche à obtenir une somme de 9ou de 10 en lançant trois dés.
1. Compter le nombre de façons d’obtenir 9, puis 10, comme somme de trois entiers compris entre 1
et 6.
2. Calculer les probabilités d’obtenir 9(respectivement 10) en calculant le total de trois dés.
Exercice 14 —nboules avec remises
Une urne contient initialement une boule rouge et une boule blanche. On répète nfois l’opération
suivante : tirer une boule, noter sa couleur, et la remettre dans l’urne accompagnée d’une autre boule de
la même couleur. (après ktirages-remises, il y a donc k+ 2 boules dans l’urne).
1. Quelle est la probabilité de ne tirer que des boules rouges ?
2. Évaluer cette probabilité si à chaque étape on remet deux boules de la même couleur.
Exercice 15 —Remise ou non
Une urne contient 5boules rouges et trois boules blanches. On tire successivement trois boules, en
remettant la boule si elle est blanche, et en ne la remettant pas si elle est rouge.
2

1. Déterminer la probabilité d’obtenir trois boules blanches.
2. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une boule blanche ?
3. Donner enfin la probabilité d’obtenir exactement une boule blanche.
Exercice 16 —Deux urnes
On dispose de deux urnes U1et U2. La première contient deux boules blanches et trois boules noires. La
seconde contient quatre boules blanches et trois boules noires.
On effectue des tirages successifs dans les conditions suivantes : on choisit choisit initialement une urne au
hasard et on tire une boule dans l’urne choisie. On note la couleur et on la remet dans l’urne. Si la boule
tirée était blanche (respectivement noire), le tirage suivant s’effectue dans l’urne U1(respectivement U2).
Pour n∈N∗, on note Bnl’événement « la boule tirée au n-ième tirage est blanche », et pn=P(Bn).
1. Calculer p1.
2. Montrer :
∀n∈N∗, pn+1 =−6
35pn+4 7·
3. En déduire la valeur de pnpour tout n∈N∗.
Exercice 17 —Boules de même parité
Une urne contient neuf boules numérotées de 1à9. On tire deux boules. Calculer la probabilité d’obtenir
deux boules de même parité dans les différents cas suivants :
1. on tire les deux boules simultanément ;
2. on tire une boule, on la remet, puis on tire la seconde ;
3. on tire une boule, on ne la remet pas, puis on tire la seconde.
Exercice 18 —Une infinité de tirages
On lance une pièce une infinité de fois. Pour n≥1, on note Ail’événement « le i-ème lancer tombe sur
PILE ».
1. Décrire en français les événements
∞
\
n=1
Aiet
∞
[
n=42
Ai.
2. Soit n∈N. Exprimer de façon ensembliste l’événement Dn: « on obtient au moins un pile au delà
du n-ième lancer ».
3. Décrire en français l’événement
∞
\
n=1
Dn. Le comparer à
∞
\
n=945
Dn.
Exercice 19 —Les footeux doivent savoir ça
On dispose d’une pièce truquée (mais fiable !) fournissant PILE avec probabilité p∈]0,1[ et FACE sinon.
Concevoir un processus terminant avec une probabilité 1et permettant de fournir un résultat R∈ {A, B}
avec probabilité uniforme.
On pourra penser aux séances de penalty à la fin des prolongations lors d’un match de foot !
3 Diverses modélisations
Exercice 20 —O.M. vs. F.R.
Le petit Olivier et le petit Franz s’affrontent lors d’une compétition de penalty. À chaque essai, Olivier
marque avec probabilité 5/6, et Franz avec probabilité 4/5. C’est Franz qui tire en premier. Ensuite, les
tirs sont alternés, et le premier qui marque a gagné a compétition.
3

Quelle est la probabilité pour que Franz gagne ?
Qu’en est-t-il si on change la règle en : « À chaque tour, les deux joueurs tirent. Si l’un marque et pas
l’autre alors il a gagné ; sinon on continue. » ?
Exercice 21 —Transmission moyennement fiable
Une information binaire (0/1) est transmise de proche en proche (aka « téléphone arabe »). La personne
numéro 1possède l’information 1. Au temps n≥1, la personne numéro ntransmet son information à la
personne numéro n+ 1 :
– avec une probabilité pelle transmet l’information dont elle dispose ;
– avec une probabilité 1−pelle transmet l’information inverse.
(La personne numéro 2aura donc l’information « 1» avec probabilité p).
1. Avec quelle probabilité la personne numéro 3va-t-elle recevoir la bonne information ?
2. Si on note pnla probabilité que la personne npossède la bonne information 1, déterminer une
relation de récurrence simple vérifiée par les pn, puis la valeur des pn.
3. Quel est le comportement de (pn)n∈N∗lorsque ntend vers +∞?
Exercice 22 —Sortie de pub
Dédé sort du pub, et se retrouve dans la rue (« infinie des deux côtés »), sans but précis.
Il va tirer à pile ou face chaque pas. À l’étape 0il est en position p0= 0, et pour tout n∈N,pn+1 vaut
pn+ 1 avec probabilité 1/2et pn−1avec probabilité 1/2.
1. Préliminaires techniques :
(a) Montrer que si Pαnest une série divergente avec αn∈]0,1[, alors
n
Q
i=1
(1 −αi)−→
n→+∞0.
(b) Après avoir observé les premières lignes du triangle de Pascal, justifier : 2n
n≥1 2n+1 ×1 4n·
2. Évaluer la probabilité pour qu’après 2npas, Dédé se retrouve face au pub.
3. Montrer que Dédé va se retrouver face au pub au moins une fois, avec probabilité égale à 1.
Cet exercice (« marches d’ivrognes ») sera revisité plusieurs fois dans l’année. Sans outils de type « va-
riable aléatoire », et en adaptant ce qui précède, on peut montrer qu’avec probabilité 1, Dédé va se
retrouver une infinité de fois face au pub 2.
Exercice 23 —Puce ivrognesse
Une puce saute entre trois points P,Qet R. À chaque étape, elle saute vers l’un des deux autres points
avec probabilité 1/2. On note, pour n∈N,Xn=
pn
qn
rn
, avec pn,qnet rnles probabilités pour qu’au
temps nla puce se trouve respectivement aux points P,Qet R.
1. Établir une relation entre pn+1 et (pn, qn, rn).
2. En déduire une relation matricielle de la forme Xn+1 =AXn, avec Aà préciser.
3. Vérifier : A2=1
2A+1 2I3, puis déterminer le reste dans la division euclidienne du polynôme Xn
par (X+ 1/2)(X−1). En déduire la valeur de la matrice An.
1. Arrivés ici, vous connaissez p1,p2et p3.
2. Ce qu’on imagine sans mal.
4

4. Montrer que Xnpossède une limite qui ne dépend pas de X0.
Exercice 24 —La taupe
Une taupe rentre dans son terrier par un des deux trous, disons A. À chaque croisement, elle tourne à
droite ou à gauche avec probabilité 1/2.
Quelle est la probabilité qu’elle ressorte par le même trou ?
Exercice 25 —Dérivation formelle
L’action se passe à une époque éloignée où le taupin a du mal à dériver une expression sans calculatrice.
Une proportion c=3
4des taupins utilise une calculatrice, mais fait tout de même une erreur avec une
probabilité 1/4(gros doigts, petites touches). Les aventuriers faisant le calcul à la main obtiennent le
bon résultat avec une probabilité 1/2.
Quelle est la probabilité pour qu’un taupin rendant un résultat faux ait utilisé une calculatrice ?
Exercice 26 —Veaux, vaches, cochons, couvée
Dans une ferme un peu bizarre, certains animaux possèdent trois pattes.
– Les veaux constituent 20% du cheptel ; 10% possèdent 3pattes.
– Les vaches constituent 50% du cheptel ; 1% possèdent 3pattes.
– Les cochons constituent 10% du cheptel ; 2% possèdent 3pattes.
– Les volailles, qui constituent le reste du cheptel, possèdent 3pattes avec une probabilité 5%.
On tire au hasard un animal à trois pattes. Quelle est la probabilité pour qu’il fasse MEUHHH ?
Exercice 27 —Recrutement
L’académie des sciences veut recruter un probabiliste. Il y a ncandidats de niveaux tous distincts. Le
recrutement va se passer de la façon suivante : les kpremiers candidats sont auditionnés puis renvoyés
chez eux 3, et le jury repère le meilleur parmi ces k. Ensuite, les candidats suivants sont auditionnés, et si
un candidat est meilleur que le meilleur rencontré parmi les kpremiers, alors il est choisi et le concours
s’arrête (s’il n’y en a pas, personne ne sera recruté).
3. Ils ne le savent pas, mais aucun parmi ces kne sera recruté.
5