Suites géométriques Exercices corrigés

Suites géométriques – Exercices corrigés
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Sont abordés dans cette fiche :
 Exercice 1 : reconnaissance d’une suite géométrique, raison et premier terme
 Exercice 2 : calcul d’une raison et calcul des termes d’une suite géométrique
 Exercice 3 : somme de termes d’une suite géométrique
 Exercice 4 : calcul d’une somme et résolution d’une équation polynômiale
 Exercice 5 : résolution de problème
Déterminer si les suites suivantes sont géométriques et préciser la raison et le premier terme de chaque suite
géométrique.
1)
3)
2)
4)
Rappel : Définition d’une suite géométrique
Une suite  est une suite géométrique lorsqu’on passe de chaque terme au suivant en multipliant toujours
par le même nombre non nul , appelé raison de la suite. On a :  .
Point méthode : Comment montrer qu’une suite est géométrique ?
Pour prouver qu’une suite est géométrique, plusieurs méthodes sont envisageables :
 s’assurer que  n’est jamais nul et montrer que, pour tout entier naturel  tel que  où 
désigne le rang à partir duquel la suite est définie :
Cette  réelle (indépendante de ) est appelée la raison de la suite et on la note souvent .
 utiliser la définition en montrant qu’il existe un réel non nul  tel que  , pour tout entier
naturel  tel que 
Remarque : Cette 2ème méthode est à préférer car elle permet de s’affranchir de la vérification .
 montrer qu’il existe deux nombres réels  et  tels que pour tout entier naturel  :  où 
désigne la raison de la suite
Suites géométriques
Exercices corrigés
Exercice 1 (2 questions) Niveau : facile
Correction de l’exercice 1

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1)
Soit la suite  définie pour tout entier  par :
 Méthode 1 :
Pour tout entier naturel , . En effet,  est nul si et seulement si   ou  .
Or, ,   et  
Pour tout entier naturel , on a donc :
Le rapport 
 est constant donc  est une suite géométrique de raison  et de 1er terme .
 Méthode 2 :
Pour tout entier naturel ,
 est une suite géométrique de raison  et de premier terme   .
 Méthode 3 :
Pour tout entier naturel ,
 est clairement de la forme  avec 
 .
 est une suite géométrique de raison  et de premier terme 
.
Remarque : Pour la suite de cet exercice, il sera fait le choix d’une méthode parmi les trois.
2)
Soit la suite  définie pour tout entier  par :
Pour tout entier naturel ,
 est une suite géométrique de raison  et de premier terme  .
Remarque :  et ,   et  .
Ne pas confondre 
et 

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3)
Soit la suite  définie pour tout entier  par :
Pour tout entier ,
Dès lors, soit on reconnait l’écriture d’une suite arithmétique de raison  et de premier terme ,
soit on utilise l’une des méthodes vues précédemment.
Remarque :  n’est pas géométrique puisque pour tout entier naturel  (
), le rapport de deux termes consécutifs de la suite n’est pas constant :
4)
Soit la suite  définie pour tout entier  par :
Pour tout entier ,
 est une suite géométrique de raison  et de premier terme  .
Soit une suite géométrique  de raison  telle que  et  . Déterminer .
Rappel : Terme d’une suite géométrique
Soit  une suite géométrique de raison  définie pour tout entier naturel  où  désigne le rang à
partir duquel la suite est définie.
Alors, pour tout entier naturel  tel que , on a : 
 Commençons par déterminer la raison de la suite.
Exercice 2 (1 question) Niveau : facile
Correction de l’exercice 2

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 est une suite géométrique de raison  telle que  et  . Donc :
Or,    ou 
Remarque : On peut également résoudre l’équation  en utilisant la touche 
 de la calculatrice. En
fait, il convient de saisir 
 et UNE BONNE CALCULATRICE affiche  et . Ces résultats signifient que
 et  sont les racines sixièmes. Malheureusement, la plupart des calculatrices limitent l’affichage à un seul
résultat :  !
Autre remarque - Vérification des raisons trouvées :
 et 
La suite  est donc une suite géométrique de raison  ou de raison .
 Déterminons désormais le terme .
Remarque : Un tel résultat montre encore une fois clairement les limites d’une calculatrice, incapable d’écrire
la valeur exacte de  !
Déterminer l’entier naturel  tel que :  .
On donne : .
Or, on reconnaît ici l’écriture de la somme de termes d’une suite géométrique  de raison  et de
premier terme . En effet :
 avec
On a alors pour tout entier naturel  : .
Autrement dit, le terme général de  est :    .
Exercice 3 (1 question) Niveau : facile
Correction de l’exercice 3

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Rappel : Somme des termes d’une suite géométrique
Soit  une suite géométrique de raison . Alors la somme  des termes consécutifs de cette suite est
donnée par la formule :
Autrement dit, avec  où  désigne le rang à partir duquel la suite  est définie :
Remarque : si ,  
Ainsi,
Donc, pour tout entier naturel  :
L’entier naturel  satisfait l’équation  donc    pour .
Résoudre dans  l’équation .
 Méthode 1 : Résolution à l’aide des résultats sur les suites géométriques
Soit l’expression .
On reconnaît ici l’écriture de la somme de termes d’une suite géométrique  de raison  et de premier
terme .
En effet,  avec   (pour tout entier naturel 
non nul). On a bien :  ;  ;  ; etc.
Dès lors, on déduit de l’écriture d’une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique de premier terme
 et de raison  que, pour tout  :
Exercice 4 (1 question) Niveau : facile
Correction de l’exercice 4