Suites géométriques Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : reconnaissance d’une suite géométrique, raison et premier terme Exercice 2 : calcul d’une raison et calcul des termes d’une suite géométrique Exercice 3 : somme de termes d’une suite géométrique Exercice 4 : calcul d’une somme et résolution d’une équation polynômiale Exercice 5 : résolution de problème Exercice 1 (2 questions) Niveau : facile Déterminer si les suites suivantes sont géométriques et préciser la raison et le premier terme de chaque suite géométrique. 1) 2) ( 3) 4) ) ( ( ) ( ) ) Correction de l’exercice 1 Rappel : Définition d’une suite géométrique Une suite ( ) est une suite géométrique lorsqu’on passe de chaque terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre non nul , appelé raison de la suite. On a : . Point méthode : Comment montrer qu’une suite est géométrique ? Pour prouver qu’une suite est géométrique, plusieurs méthodes sont envisageables : s’assurer que n’est jamais nul et montrer que, pour tout entier naturel tel que où désigne le rang à partir duquel la suite est définie : Cette réelle (indépendante de ) est appelée la raison de la suite et on la note souvent . utiliser la définition en montrant qu’il existe un réel non nul naturel tel que , pour tout entier tel que Remarque : Cette 2ème méthode est à préférer car elle permet de s’affranchir de la vérification montrer qu’il existe deux nombres réels et tels que pour tout entier naturel : . où désigne la raison de la suite Suites géométriques – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 1 1) Soit la suite ( ) définie pour tout entier par : Méthode 1 : Pour tout entier naturel , Or, , . En effet, est nul si et seulement si ou . et Pour tout entier naturel , on a donc : ( est constant donc ( Le rapport ) ( ) ) est une suite géométrique de raison et de 1er terme . Méthode 2 : Pour tout entier naturel , ( ) est une suite géométrique de raison et de premier terme Méthode 3 : . ( Ne pas confondre et Pour tout entier naturel , ( ( ( ) est clairement de la forme ( ) est une suite géométrique de raison avec { ) ) ) . et de premier terme . Remarque : Pour la suite de cet exercice, il sera fait le choix d’une méthode parmi les trois. 2) Soit la suite ( ) définie pour tout entier par : ( ) ( ( ) Pour tout entier naturel , ( ( ) ( ) ( ) ( ) est une suite géométrique de raison Remarque : - , et , ) ) et de premier terme et ( ) . . Suites géométriques – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 2 Soit la suite ( 3) Pour tout entier ( ) ) définie pour tout entier ( par : ) ( , ( ) ( ( ))( ) ( ) Dès lors, soit on reconnait l’écriture d’une suite arithmétique de raison soit on utilise l’une des méthodes vues précédemment. Remarque : ( ) et de premier terme ) n’est pas géométrique puisque pour tout entier naturel , ( ), le rapport de deux termes consécutifs de la suite n’est pas constant : Soit la suite ( 4) Pour tout entier ( ( ( ) ) définie pour tout entier ( par : ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ) est une suite géométrique de raison et de premier terme ( ) . Exercice 2 (1 question) Soit une suite géométrique ( Niveau : facile ) de raison telle que et . Déterminer . Correction de l’exercice 2 Rappel : Terme d’une suite géométrique Soit ( ) une suite géométrique de raison définie pour tout entier naturel où désigne le rang à partir duquel la suite est définie. Alors, pour tout entier naturel tel que , on a : Commençons par déterminer la raison de la suite. Suites géométriques – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 3 ( ) est une suite géométrique de raison telle que et . Donc : ou Or, Remarque : On peut également résoudre l’équation en utilisant la touche √ de la calculatrice. En fait, il convient de saisir √ et UNE BONNE CALCULATRICE affiche et . Ces résultats signifient que et sont les racines sixièmes. Malheureusement, la plupart des calculatrices limitent l’affichage à un seul résultat : ! Autre remarque - Vérification des raisons trouvées : et ( La suite ( ) ( ) ( ) ) est donc une suite géométrique de raison Déterminons désormais le terme ( ) ( ) ou de raison ( ) ( ) . . ( ( ) ) Remarque : Un tel résultat montre encore une fois clairement les limites d’une calculatrice, incapable d’écrire la valeur exacte de ! Exercice 3 (1 question) Déterminer l’entier naturel Niveau : facile tel que : . Correction de l’exercice 3 On donne : . Or, on reconnaît ici l’écriture de la somme de termes d’une suite géométrique ( premier terme . En effet : ) de raison et de avec { On a alors pour tout entier naturel : Autrement dit, le terme général de ( . ) est : . Suites géométriques – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 4 Rappel : Somme des termes d’une suite géométrique Soit ( ) une suite géométrique de raison . Alors la somme des termes consécutifs de cette suite est donnée par la formule : Autrement dit, avec désigne le rang à partir duquel la suite ( où Remarque : si ( , ) est définie : ) Ainsi, ( Donc, pour tout entier naturel : ( L’entier naturel ) satisfait l’équation ) donc pour Exercice 4 (1 question) Résoudre dans * . Niveau : facile + l’équation . Correction de l’exercice 4 Méthode 1 : Résolution à l’aide des résultats sur les suites géométriques Soit l’expression . On reconnaît ici l’écriture de la somme de termes d’une suite géométrique ( terme . En effet, non nul). On a bien : ; ( ) avec ; ) de raison et de premier (pour tout entier naturel ; etc. Dès lors, on déduit de l’écriture d’une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique de premier terme * +: et de raison que, pour tout Suites géométriques – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 5 ( ) ( ( ( ) )( ( )( ) ( )( ( ( ) ) ( )( ) ) )( )( ) ( )( )( )( ) ) Ainsi, * car, pout tout +, ( réel, )( et L’équation )( ) { { . admet donc deux solutions réelles : et . Méthode 2 : Résolution par regroupement et factorisations successives * +, ( ) (car ( , L’équation ) , et ( ) )( ( ) ) admet donc deux solutions réelles : ou et . Remarque : Cette 2ème méthode est à préférer, certes car elle est plus rapide, mais surtout car elle permet de * +. résoudre dans et pas uniquement dans Exercice 5 (1 question) Niveau : moyen Un forgeron frappe, sans discontinuer, toutes les secondes, un fer à cheval d’épaisseur 1 cm, de sorte à le rendre deux fois moins épais. A chaque coup, l’épaisseur du métal diminue de 1 %. Quel est le temps minimal nécessaire au forgeron pour qu’il mène à bien son projet ? Correction de l’exercice 5 Soit l’épaisseur de la pièce métallique après coups, exprimée en cm. Avant que le forgeron ne frappe le fer à cheval, c’est-à-dire avant le premier coup, on a : Après le premier coup, l’épaisseur de la pièce est telle que . a diminué de 1 %. Autrement dit, Suites géométriques – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 6 De même, Et, de manière générale, en désignant Comme ,( l’épaisseur, en cm, de la pièce après ) est une suite géométrique de raison Ainsi, pour tout entier naturel , coups : et de premier terme . . Le forgeron cherche à diminuer au moins de moitié l’épaisseur initiale de la pièce. En d’autres termes, il souhaite que son épaisseur soit inférieure ou égale à 0,5 cm. Il convient par conséquent de résoudre l’équation Procédons par encadrements successifs (arrondis à qui satisfait l’inéquation. (ou bien ). près) pour trouver la valeur de ( ) minimale Il faut par conséquent au minimum 69 secondes au forgeron pour diminuer de moitié l’épaisseur du fer à cheval. Suites géométriques – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 7