Suites géométriques Exercices corrigés

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Suites géométriques
Exercices corrigés
Sont abordés dans cette fiche :





Exercice 1 : reconnaissance d’une suite géométrique, raison et premier terme
Exercice 2 : calcul d’une raison et calcul des termes d’une suite géométrique
Exercice 3 : somme de termes d’une suite géométrique
Exercice 4 : calcul d’une somme et résolution d’une équation polynômiale
Exercice 5 : résolution de problème
Exercice 1 (2 questions)
Niveau : facile
Déterminer si les suites suivantes sont géométriques et préciser la raison et le premier terme de chaque suite
géométrique.
1)
2)
(
3)
4)
)
(
(
)
(
)
)
Correction de l’exercice 1
Rappel : Définition d’une suite géométrique
Une suite (
) est une suite géométrique lorsqu’on passe de chaque terme au suivant en multipliant toujours
par le même nombre non nul , appelé raison de la suite. On a :
.
Point méthode : Comment montrer qu’une suite est géométrique ?
Pour prouver qu’une suite est géométrique, plusieurs méthodes sont envisageables :

s’assurer que
n’est jamais nul et montrer que, pour tout entier naturel
tel que
où
désigne le rang à partir duquel la suite est définie :
Cette

réelle (indépendante de ) est appelée la raison de la suite et on la note souvent .
utiliser la définition en montrant qu’il existe un réel non nul
naturel
tel que
, pour tout entier
tel que
Remarque : Cette 2ème méthode est à préférer car elle permet de s’affranchir de la vérification

montrer qu’il existe deux nombres réels
et
tels que pour tout entier naturel
:
.
où
désigne la raison de la suite
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1)

Soit la suite (
) définie pour tout entier
par :
Méthode 1 :
Pour tout entier naturel ,
Or,
,
. En effet,
est nul si et seulement si
ou
.
et
Pour tout entier naturel , on a donc :
(
est constant donc (
Le rapport

)
(
)
) est une suite géométrique de raison
et de 1er terme
.
Méthode 2 :
Pour tout entier naturel ,
(
) est une suite géométrique de raison

et de premier terme
Méthode 3 :
.
(
Ne pas confondre
et
Pour tout entier naturel ,
(
(
(
) est clairement de la forme
(
) est une suite géométrique de raison
avec {
)
)
)
.
et de premier terme
.
Remarque : Pour la suite de cet exercice, il sera fait le choix d’une méthode parmi les trois.
2)
Soit la suite (
) définie pour tout entier
par :
(
)
(
(
)
Pour tout entier naturel ,
(
(
)
(
)
(
)
(
) est une suite géométrique de raison
Remarque :
-
, et
,
)
)
et de premier terme
et
(
)
.
.
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Soit la suite (
3)
Pour tout entier
(
)
) définie pour tout entier
(
par :
)
(
,
(
)
(
(
))(
)
(
)
Dès lors, soit on reconnait l’écriture d’une suite arithmétique de raison
soit on utilise l’une des méthodes vues précédemment.
Remarque : (
)
et de premier terme
) n’est pas géométrique puisque pour tout entier naturel
,
(
), le rapport de deux termes consécutifs de la suite n’est pas constant :
Soit la suite (
4)
Pour tout entier
(
(
(
)
) définie pour tout entier
(
par :
)
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
) est une suite géométrique de raison
et de premier terme
(
)
.
Exercice 2 (1 question)
Soit une suite géométrique (
Niveau : facile
) de raison
telle que
et
. Déterminer
.
Correction de l’exercice 2
Rappel : Terme d’une suite géométrique
Soit (
) une suite géométrique de raison
définie pour tout entier naturel
où
désigne le rang à
partir duquel la suite est définie.
Alors, pour tout entier naturel

tel que
, on a :
Commençons par déterminer la raison de la suite.
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(
) est une suite géométrique de raison
telle que
et
. Donc :
ou
Or,
Remarque : On peut également résoudre l’équation
en utilisant la touche √ de la calculatrice. En
fait, il convient de saisir √ et UNE BONNE CALCULATRICE affiche et
. Ces résultats signifient que
et
sont les racines sixièmes. Malheureusement, la plupart des calculatrices limitent l’affichage à un seul
résultat : !
Autre remarque - Vérification des raisons trouvées :
et (
La suite (

)
(
)
(
)
) est donc une suite géométrique de raison
Déterminons désormais le terme
(
)
(
)
ou de raison
(
)
(
)
.
.
(
(
)
)
Remarque : Un tel résultat montre encore une fois clairement les limites d’une calculatrice, incapable d’écrire
la valeur exacte de
!
Exercice 3 (1 question)
Déterminer l’entier naturel
Niveau : facile
tel que :
.
Correction de l’exercice 3
On donne :
.
Or, on reconnaît ici l’écriture de la somme de termes d’une suite géométrique (
premier terme
. En effet :
) de raison
et de
avec
{
On a alors pour tout entier naturel
:
Autrement dit, le terme général de (
.
) est :
.
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Rappel : Somme des termes d’une suite géométrique
Soit (
) une suite géométrique de raison
. Alors la somme
des termes consécutifs de cette suite est
donnée par la formule :
Autrement dit, avec
désigne le rang à partir duquel la suite (
où
Remarque : si
(
,
) est définie :
)
Ainsi,
(
Donc, pour tout entier naturel
:
(
L’entier naturel
)
satisfait l’équation
)
donc
pour
Exercice 4 (1 question)
Résoudre dans
*
.
Niveau : facile
+ l’équation
.
Correction de l’exercice 4

Méthode 1 : Résolution à l’aide des résultats sur les suites géométriques
Soit l’expression
.
On reconnaît ici l’écriture de la somme de termes d’une suite géométrique (
terme
.
En effet,
non nul). On a bien :
;
(
)
avec
;
) de raison
et de premier
(pour tout entier naturel
; etc.
Dès lors, on déduit de l’écriture d’une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique de premier terme
* +:
et de raison
que, pour tout
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(
)
(
(
( ) )(
(
)(
)
(
)(
(
(
) )
(
)(
)
)
)(
)(
)
(
)(
)(
)(
)
)
Ainsi,
*
car, pout tout
+,
(
réel,
)(
et
L’équation

)(
)
{
{
.
admet donc deux solutions réelles :
et .
Méthode 2 : Résolution par regroupement et factorisations successives
*
+,
(
)
(car
(
,
L’équation
)
,
et
(
)
)(
(
)
)
admet donc deux solutions réelles :
ou
et .
Remarque : Cette 2ème méthode est à préférer, certes car elle est plus rapide, mais surtout car elle permet de
* +.
résoudre dans et pas uniquement dans
Exercice 5 (1 question)
Niveau : moyen
Un forgeron frappe, sans discontinuer, toutes les secondes, un fer à cheval d’épaisseur 1 cm, de sorte à le rendre
deux fois moins épais. A chaque coup, l’épaisseur du métal diminue de 1 %. Quel est le temps minimal
nécessaire au forgeron pour qu’il mène à bien son projet ?
Correction de l’exercice 5
Soit
l’épaisseur de la pièce métallique après
coups, exprimée en cm.
Avant que le forgeron ne frappe le fer à cheval, c’est-à-dire avant le premier coup, on a :
Après le premier coup, l’épaisseur
de la pièce est telle que
.
a diminué de 1 %.
Autrement dit,
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De même,
Et, de manière générale, en désignant
Comme
,(
l’épaisseur, en cm, de la pièce après
) est une suite géométrique de raison
Ainsi, pour tout entier naturel ,
coups :
et de premier terme
.
.
Le forgeron cherche à diminuer au moins de moitié l’épaisseur initiale de la pièce. En d’autres termes, il
souhaite que son épaisseur soit inférieure ou égale à 0,5 cm.
Il convient par conséquent de résoudre l’équation
Procédons par encadrements successifs (arrondis à
qui satisfait l’inéquation.
(ou bien
).
près) pour trouver la valeur de
(
) minimale
Il faut par conséquent au minimum 69 secondes au forgeron pour diminuer de moitié l’épaisseur du fer à
cheval.
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