Espaces vectoriels normés : continuité

Espaces vectoriels norm´es : continuit´e
MP Lyc´ee Clemenceau
Table des mati`eres
I Etude locale 2
II Etude globale 3
1) G´en´eralit´es .................................................. 3
2) Cas particulier : les applications lin´eaires ................................. 5
III Connexit´e 5
IV Dimension finie 6
1

Etude locale MP 2016-17 2
I Etude locale
On consid`ere deux espaces vectoriels norm´es (E, k k) et (F, N).
D´efinition I - 1 : Limite en un point
Soit Aune partie non vide de E. Soient fune application d´efinie sur A`a valeurs dans Fet aun point
adh´erent `a A.
On dit que fadmet une limite en as’il existe `∈Ftel que, pour tout voisinage Vde `il existe un
voisinage Ude atel que ∀x∈ U ∩ A,f(x)∈ V.
On peut aussi dire que l’image r´eciproque de tout voisinage de `est un voisinage de adans A∪ {a}(c’est
`a dire un voisinage relatif `a A∪ {a}de a).
Cela peut encore s’´ecrire :
∀ε > 0,∃r > 0 tel que ∀x∈Akx−ak< r ⇒N(f(x)−`)< ε
D´efinition I - 2 : G´en´eralisation
1) Soit fune application d´efinie sur E.
On dit que fadmet une limite en l’infini s’il existe `∈Ftel que
∀ε > 0,∃R > 0/kxk> R ⇒N(f(x)−`)< ε
2) Soit fune application d´efinie sur [a0,+∞[ (resp. ]−∞, a]).
On dit que fadmet une limite en +∞(resp. −∞) s’il existe `∈Ftel que
∀ε > 0,∃R > 0/ x > R (resp. x<R)⇒N(f(x)−`)< ε
3) Soient fune application sur A⊂Edans IR et aun point adh´erent `a A.
On dit que fadmet +∞(resp. −∞) comme limite en asi
∀R∈IR,∃r > 0 tel que ∀x∈Akx−ak< r ⇒f(x)> R (resp. f(x)< R)
Proposition I - 1 : Caract´erisation s´equentielle
Soient fune application de A⊂Edans Fet a∈A.
fadmet pour limite `en asi et seulement si pour toute suite (un)n∈IN d’´el´ements de Aconvergeant vers
a, la suite (f(un))n∈IN converge vers `.
Proposition I - 2 : Application dans un produit fini d’espaces vectoriels norm´es
Soit ((Fi, Ni))i∈[[1,p]] une famille finie d’espaces vectoriels norm´es , on pose F=Fi×.. ×Epmuni de
la norme produit. Soit fune application de A⊂Edans F. On note f= (fi)i∈[[1,p]], avec ∀i∈[[1, p]]
fi:A→Fi.
Soit a∈A.fadmet une limite en asi et seulement si ∀i∈[[1, p]] fiadmet une limite en a.

Etude globale MP 2016-17 3
Proposition I - 3 : Op´erations alg´ebriques sur les limites.
Soient (E, k k) et (F, N ) deux espaces vectoriels norm´es , A⊂E.
Soit a∈A. On consid`ere fet gdeux applications d´efinies sur Aadmettant une limite en a. On note `1
et `2les limites respectives.
On a alors :
? f +gadmet une limite en aqui est `1+`2.
?pour λ∈K, l’application λf admet une limite qui est λ`1.
?si fet gsont `a valeurs dans K, l’application fg admet une limite qui est `1`2.
On a donc : l’ensemble des applications de A⊂Edans Fadmettant une limite en a∈Aest un espace
vectoriel. Si de plus F=Kalors c’est une K-alg`ebre.
Proposition I - 4 : Compos´ees
Soient (E, k k), (F, N ) et (G, NG) trois espaces vectoriels norm´es .
On consid`ere les applications fde A⊂Edans Fet gde B⊂Fdans G, composables, c’est-`a-dire
f(A)⊂B.
Soit a∈A. On suppose que fadmet une limite `en A.
On a alors que `∈B.
Si de plus gadmet une limite en `alors l’application g◦fadmet une limite en aet lim
x→ag◦f= lim
y→`g.
D´efinition I - 3 : Continuit´e en a∈A
Soit fune application de A⊂Edans F. Soit a∈A. Si fadmet une limite en aalors celle-ci est f(a) et
on dit alors que fest continue en a.
Propri´et´e I - 1 : Caract´erisation s´equentielle
Soient fune application de A⊂Edans Fet a∈A.
fest continue en asi et seulement si pour toute suite (un)n∈IN d’´el´ements de Aconvergeant vers a, la
suite (f(un))n∈IN converge vers f(a).
Propri´et´e I - 2 : Op´erations
Espace des applications continues.
L’ensemble des applications d´efinies sur Acontinues en aest un espace vectoriel.
Si l’espace d’arriv´e est Kalors c’est une Kalg`ebre.
Propri´et´e I - 3 : Compos´ee
Soient deux applications continues fet gcomposables. Si fest continue en aet gest continue en f(a)
alors g◦fest continue en a.
II Etude globale
1) G´en´eralit´es
Proposition II - 1 :
Soit Aun ensemble non vide et Fun espace vectoriel de dimension finie, l’ensemble des applications
born´ees de Adans Fest un sous espace vectoriel de FAet si kk est la norme sur F, l’application
N∞:f→supAkfkest une norme sur B(A, F )

1) G´en´eralit´es MP 2016-17 4
D´efinition II - 1 : Continuit´e sur A
On dit qu’une application d´efinie sur Aest continue si elle est continue en tout point de A.
Proposition II - 2 : Applications `a valeurs dans K
L’ensemble des fonctions continues `a valeurs r´eelles ou complexes est une alg`ebre.
Proposition II - 3 : Densit´e
Soient f:B⊂E→Fet g:B⊂E→Fdeux applications continues. Si il existe A⊂Btel que les deux
applications sont identiques sur Aet tel que Asoit dense dans B, alors fet gsont identiques sur B.
Proposition II - 4 : Ouvert et ferm´e
Soit fune application continue de Edans F. On a alors
a) L’image r´eciproque d’un ouvert de Fest un ouvert de E
b) L’image r´eciproque d’un ferm´e de Fest un ferm´e de E
D´efinition II - 2 : Uniforme continuit´e
Soit fune application d´efinie sur A⊂E. On dit que fest uniform´ement continue sur Asi
∀ε > 0∃δ > 0 tel que ∀(x, y)∈A2kx−ykE< δ ⇒ kf(x)−f(y)kF< ε
D´efinition II - 3 : Applications lipschitzienne
Soit f:A⊂E→Fet k∈IR∗
+. On dit que fest k-lipschitzienne si
∀(x, y)∈A2kf(x)−f(y)kF6kkx−ykE
Propri´et´e II - 1 : Uniforme continuit´e et application lipschitzienne
Les applications lipschitziennes sont uniform´ement continues.
Th´eor`eme II - 1 : de Heine
Les applications continues sur un compact sont uniform´ement continues
Th´eor`eme II - 2 :
Soit fune application continue de A⊂Edans F. Pour tout compact inclus dans A, l’image de ce compact
est un compact de F.
Proposition II - 5 : Application : existence des extr´ema pour une fonction `a valeurs r´eelles.
Si fest une fonction continue d´efinie sur un compact Kde E`a valeurs r´eelles, alors f(K) est
un compact de la droite r´eelle. C’est `a dire que fest born´ee et atteint ses bornes.

2) Cas particulier : les applications lin´eaires MP 2016-17 5
2) Cas particulier : les applications lin´eaires
Th´eor`eme II - 3 :
Soit f∈L(E, F ).
On a ´equivalence entre les assertions suivantes :
a) f est continue
b) f est continue en 0
c) f est born´ee sur Bf(0,1)
d) ∃k∈IR tel que kf(x)k ≤ k. kxk
e) fest lipschitzienne.
f) fest uniform´ement continue
Notation 1. L’ensemble des applications lin´eaires continues de Edans Fest not´e Lc(E, F )
Th´eor`eme II - 4 : Applications multilin´eaires
Les applications multilin´eaires sont continues si et seulement si ∃k∈IR∗
+, tel que ku(x1, x2, .., xp)k6
kkx1k kx2k.. kxpk
III Connexit´e
D´efinition III - 1 : Chemin entre deux points
Soit aet bdeux ´el´ements de E. On appelle chemin continu joignant aet bl’image de toute application
continue fde [0,1] telle que f(0) = aet f(1) = b.
On dit que c’est un chemin de A(partie de Econtenant aet b) si son image est dans A.
Propri´et´e III - 1 : Relation d’´equivalence
La relation binaire d´efinie par aRb”il existe un chemin continu joignant a`a b, est une relation
d’´equivalence sur E.
Si Aest une partie de E, il en va de mˆeme pour la relation donn´ee par les chemins continus de A. Les
classes d’´equivalence pour cette relation sont appel´ees composantes connexes par arcs de A.
D´efinition III - 2 : Partie connexe par arcs
Soit A une partie non vide d’un espace vectoriel norm´e E. On dit que Aest connexe par arcs si, pour
tout couple (a, b) de points de A, il existe un chemin continu dans Ajoignant a`a b, c’est-`a-dire si Aest
l’unique composante connexe par arcs de A.
Proposition III - 1 : Parties connexes par arcs de IR
Les parties connexes par arcs de IR sont les intervalles
Proposition III - 2 : Image par une application continue
L’image par une application continue d’un connexe par arcs est connexe par arcs