Ouverts fondamentaux pour le groupe modulaire

Séminaire Henri Cartan
H ENRI C ARTAN
Ouverts fondamentaux pour le groupe modulaire
Séminaire Henri Cartan, tome 10, no 1 (1957-1958), exp. no 3, p. 1-12
<http://www.numdam.org/item?id=SHC_1957-1958__10_1_A3_0>
© Séminaire Henri Cartan
(Secrétariat mathématique, Paris), 1957-1958, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la collection « Séminaire Henri Cartan » implique l’accord avec
les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation
commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute
copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
Séminaire H. CARTAN,
3-01
E.N.S., 1957/58.
25 novembre 1957
OUVERTS FONDAMENTAUX POUR LE GROUPE MODULAIRE
par Henri CARTAN
1. Opérations
,
du groupe
symplectique
dans
l’espace
de
Siegel.
précédent, avec quelques nodificatiom
reprend en partie la fin de
Jans
notations ; on délire notamment que le groupe symplectique spère à gauohe
On
dans
l’espace
Siegel, conformément
de
GL(2n , 20
est le sous-groupe des matrices
symplectique
Le groupe
habi-tudes.
aux
qui conservent la forme bilinéaire alternée
1
o
J
forme dont la matrice
est
’
symplectique
~ .
{
B-1 ~n
est
Utilisant les minuscules latines pour
La condition
qui exprime
M
que
est
~/
0
les matrices à
désigner
n
et
lignes
n
co-
-
~’"’’-~.
.
lonnes,
Alors
(1)
se
traduit par
(M) =
det
que
1
si
M
l’est ; donc les relations (2)
remplaçant M par tM) :
tique,
en
est
On s’intéresse
maximal
K =
(précisons
(l ) ~
sont
De
équivalentes
plus!
aux
si
symplec-
est
M
suivantes
(obtenues
a t b = b t a,
(2~)
court
symplectique.
G).
quotient
au
du groupe
G =
Sp(n , R~
0(2n , R~ ~ formé des matrices orthogonales
quotient G/K se compose des classes à gauche MK ,
Sp(n ,
que
ce
Pour que
la relation
par le sous-groupe
M
JM =
appartienne à K ~ il
MJ (qui exprime que
symplectiques
et
où
faut et il suffit que l’on
M
est
compact
M
par-
ait,
linéaire-commplexe pour
1"-
outre
complexe définie par J
structure
où
satisfont
b
et
a
qui expriment que
a +
conditions
aux
U(n) .
s ’identifie à
K
est unitaire. Ainsi
ib
de la forme
On trouve ainsi les M
sur
.---...---,-...-___.~.._____~
-.
À
£il OE
chaque
sitive
non
M
et
que
qui est symplectique, symétrique et po-
associons M
dégénérée;
hi
pour que
aient même
M’
et
scient dans la même classe à
Fi’
gauche
il faut et il suffit
image,
suivant
K ;
comme
toute
ma-
symplectique (ce
qui se voit en réduisant P à la forme diagonale par une transformation symplectique) , on voit que l’espa,ce homogène G/K se réalise comme l’espace des matrices
P symplectiques et symétriques positives; G opère à gauche dans cet espace par
) Mp tM ~
(M , p)
Dire qu’une P symétrique est symplectique, revient à dire que (PJ)2 = 12n .
trice
symplectique positive
Donc
PJ
défini t
est alors
une
structure complexe
(complexe)
n ,
conjugués
(4 )
Si
et
sont dans
y
On a
5>
P-1(x ,
Jx , y>
=
P
si
c V
x
x é
V
sous-espace vectoriel de dimension
Ainsi
mension
G/K
n
=
-
x
V ,
y é
l’intersection de
en
(4) ;
12n ,
alors
P est
nons-nous une
et de
(5 ) exprime
=
que
son
conjugué
0 . Définissons
l’espace
matrice inversible à
n
L
sauf que
lignes
n
é V ,
x
est
/
satis-
de
V’
est réduite à
une
matrice réelle
et
0 .
»
0,;
0 ,
et
des sous-espaces vectoriels de di-
qui satisfont à (5 ) . Pour définir
application C-linéaire L : en --%
V ,
x
pour
symétrique
Pest
C2n
est déterminée par
0
égale
P-1
symplectique.
s’identifie maintenant à
de
V
J(x, Z)
doit avoir
iJx , z> >
V ;
V’ ,
est
identiquement nulle;
puisque
G V , x ù 0 ; d’où finalement
pour
un
y)
et
0
fl V’ ,
(PJ)2
iÎ(x ,
symétrique
donc est
pour
R2n
et
ix
> 0
par la condition
Puisque
la forme bilinéaire
-
V
de
étant défini par
V
x)
Réciproquement, soit
faisant à (5 ) . Alors
car
V ,
iJ(x, y) ,
à la forme a,lternée
)0 ,
(complexes)
l ’autre,
=
C2n
complexifié
Le
l’un de
M
avec
sur
OE V y*+% PJX
x
x
M
est de la forme
directe de deux sous-espaces vectoriels
somme
de dimension
P
et
est l’une des matrices attachées à
peut
n
P ,
être
un
remplacée
don-
tel sous-espace
ayant
V
pour
pa.r
Lk,
où
V ,
iwage ;
k
est
L
une
colonnes. On voit immédiatement que si
la matrice
ML
est l’une des matrices
L
attachées à
Les
MP
Explicitens,
(complexes)
à
en
n
L
sous
et
n
colonnes ; (6)
lignes
(6 ’ ) exprime
deuxiène relation
G
en .
d0t
Q
L~
pour
Il
en
ux
et
résulte que
ux
(L) 1 0 ,
risée par
forme (uv) B /j
écrivant
herni tien des veoteurs
x
(5) donnent,
les conditions nécessai-
et suffisantes
res
La
conditions
det
(v) /
qui
est
u
,
et
devient
0
partie imaginaire du produi t scalaire
est> 0 , quel que soit le vecteu: non nul
et
vx
ù
0
x
pour
à0,
0 . Donc la classe de la matrice
une
étant des matrices
v
que la
vx
£
la
natrice complexe
autrement dit
L
( uv) est
=
(6)
Les relations
z .
on
caracté-
deviennent
définitive, l’espace homogène G/K s’identifie à l’espace de Siegel Sn ,
formé des matrices complexes sysmétriques z (à n lignes et n colonnes) telles
0 . Explicitons les opérations de G
si M est une maque
n
trice
M transforme L en ML , donc opère
on a vu que
En
symplectique (ac bd) ,
et
sur
u
v
comme
Dor,
sur z =
uv-1 ,
suit :
M
opère
par
et les
Il est facile
P
matrices
En
séparant
On voit
en
d’expliciter la correspondance entre les points
symplectiques, symétriques et positives. D’après (4),
le réel et
tenps
l’imaginaire,
et
que la natrice
P
en
posant
z
symplectique
=
x +
et
iy ,
on a
on
la
trouve
plus générale
a
( /s- b bB )
la forme
cd
ad2014
db ,
=
est une telle
En
les éléments de
( ab)
_~
*
a
ne
tb ,
=
c
ac
=
indépendantes) ;
sont pas toutes
ba .
P
si
la matrice
stabilité
qui opèrent identiquement dans Sn ;
est le groupe de
z
égale
du
point
ce
~~’ ~
à
J lé SOUS-
Cherchpns
=
z
sont les matrices
telles que
b
exige
1
=
n
une
formé de
(remplacer
(3
=
tout
a" ’ec
A == -
on a
~
définissent
et
12n
JB z
par
z , donc
-12n
~
A
étant
un
est de la forme
a
les
opérations
fidèle du quotient de
représentation
de
G
scalaire
/B *1
G
,
=
réel) ;
et
(le
plus
puisque
~)
dans
_~y
n
par le sous-groupe à 2 élé-
c
de
Par la transformation de
J-)
2;
1 . En
Autre modèle pour
2.
symétriques éÔ 0 ,
associée est
z
correspond
12n
G
de
G
doit commuter
a
conditions
la matrice
P
sont
~
Ceci
a
à
?É
compact
(ces
n
cl
et
a
1
=
matrice,
particulier,
groupe
où
Siegel.
Cayley
complexes et symétriques w ,
telles que ww
ensemble qui est évidemment un ouvert borné de
Le groupe symplectique se transforme dans un groupe transitif d’automorphismes de
se
transférée dans l’ensemble des
n-matrices
’ .
cet
ouvert,
où
a
et
à savoir
b
sont des matrices
Le groupe de stabilité du point
Sous cette
(~ i i ,
Partie
forme,
ce
complexes satisfaisant
w
=
"domaine borné
0
à
est
homogène" aV2_Í t
été
indiqué
par E. CARTAN
Il résulte d’un théorème général de
2, p. 1293 ? "Type
la théorie des espaces symétriques (loc~ cit, ) que ce domaine n’admet pas d’autre
automorphisme que ceux du groupe précédent. On peut d’ailleurs le vérifier : c’est
un donaine cerclé (i.e. stable par les homothéties de rapport
ei03B8 ), et l’on sait
1,
vol.
que tout automorphisme d’un domaine cerclé borné, qui laisse fixe l’ origine, est une
transformation linéaire sur les variables complexes ; il reste seulement à vérifier,
par un c alcul
stable
élémentaire,
que les seules transformations linéaires
qui laissent
(12).
ont la forme
5n ,
on voit qu’il n’admet pas
l’espace de Siegel
phisme analytique-complexe que ceux définis par la forculc (9).
Revenant à
d’autre automor-
3. Invariants différentiels.
On
va
chercher dans
G =
groupe
~~z
on a
$ ,
Sp(n , R) .Un
t
et
Etant
donné
1 ,1
sont celles de
z
w
x a-
des
expressions différentielles
calcul immédiat montre que si
désignant
les différentielles de
les matrices
où
z
d
c
ib
for~~e
est la natrice unitaire la
et
(az + b)(cz
z’)
qui transforment
~
a ~
=
est
dans le
point
La formule
plus
différentielle
est aussi égal à
(~
(quadratique hermitienne)
des covecteurs
On
Ceci prouve que la for-
re
G . Elle
invariante par le groupe
nulle, ce qui exige 03B4z
tien défini positif, invariant
est
,
déduit
et le second
me
d ~ ~1 ,
i
,
.
z
indique alors comment la transformation considérée applique l’espace
tangents au point z sur l’espace des covecleurs tangents au point
en
+
b
(a
,
z’
invariantes par le
=
ne
0 . Donc
par
peut être nulle
que si la forme
l’expression (15) définit
G . On
va
voir e
cc
dsz
un
est
ds2 hermikählérien.
Pour
cela,
on
considère la forme quadratique extérieure 03A9 associée
au
ds2 ,
à savoir
1 ( ~ y )00FF 1 _ - ~ (y 1 ) ~
Or
Il s ’ensuit que
àÉà
(x..
)
ij
et
Si
x
=
=
de sorte que
ds2
0 : le
y~~
yJij. ,
=
est bien kählérien.
on a
n(n+1) 2,
élevant 03A9 àà la puissance extérieure d’ordre
extérieure
en
G
est invariante par
trouvée
ainsi
4.
produit extérieur).
un
près .
est bien définiun facteur constant
produit des éléments
(enp o sant toujours
volune invariant est le
et de
voit que la forme
l’élément de volume invariant
dans
sait,
comme on
(le symbole TT désigne
on
de
par
=
x +
K
=
avons
G i lequel!
On voit que cet élément de
de volume euclidien de
z
Nous
l’espace
de
x
iy).
Sous-groupes remarguables.
Dans
Sp(n , R) ,
G ==
considérera,
on
outre
0(2n , R) ,
Sp(n ,
les
sous-
groupes suivantss
des
T : sous-groupe
par
T
I
n
Z ~
H
c
0 p
=
bd)
les
transformations de n
définies
T
possède
un
sous-groupe
invariant U , formé
des matrices
S .
n
0
tels que
c
sont les suivantes
Le groupe
1
.
),
z
+
est
symétrique ;
Où
s
s .
Le groupe
T
Est
les transformations de
direct
produit
crcisé de
U
U
sont les translations
et du sous-groupe
famé dos transformations
.
Pour que deux
matrices
.a bB j et
d
c’
il faut et il suffit que
~c
droite suivant
U i
b’)
c
=
appartiennent
d
=
d= .
à la même classe à
Le groupe
"bB
j
a
a
modulaire
à éléments entiers . Il
JT définit
éléments
d
=
possède
z’
Si
les sous-groupes suivants :
~ a(z +
a
est unimodulaire à coefficients
entiers,
sont à coefficients entiers)
les transformations
définit les translations
H ~ 0393
formé des matrices
G
cor:pose du sous-groupe de
se
est transformé de
z
~
z
définit les "homothéties"
z
par
où
z
z
~
une
+
az
est
s
(en effet,,
entiers
à
symétrique
et
a
symétrique entière ;
s,
s
ta ,
où -
a
est unimodulaire entière.
F’ ~
transfornation de
on
a,
d’après
(14) :
5. Définition d’une famille d’ouverts fondamentaux.
A
chaque nombre réel
suit : étant donné
y -1
x ,. et nettons
raents
z
di > 0),
et
u > 0
=
x +
v
iy ,.
notons
uno
matrice
satisfaisant
p.
aux
triangulaire
~
0
au sens
"(u)
strict,
se
avec
que
assez
pour le groupe
nodulaire JT’ *
l’Exposé 2,
1) :
p.
pour tout
si
une
il n’existe
..-
est une matrice
symétrique
diagonale (à élé-
cest-à-dire
compose des
=
z
x +
iy
l’exposé
les notations de
~
Pour
(a)
(b)
connue
2014u
7-8). Alors, par définition,
inégalités (en nonbre fini) :
(Les inégalités (ii) expriment
1, P. 8).
défini
les éléments de la matrice
d
--
(cf. Exposé 1,
xjk
la forme
sous
.~~u )
associons l’ouvert
u
>
matrice
qu’un
grande
D’une façon
0 , la mesure
symplectique
nombre fini de
-
..-
.-.
l’ouvert
est
précise (cf.
appartient
M. 6 f telles
1
est
à
que
i
*
fondamental
(M)
de
finie ;
0393 (notation
~
ouvert
les conditions ’
invariante de
M
un
de
l’Exposé 2,
rencontre
p.
1)
(c )
si
~(u )
1~
les
.r
est
y0
u
(a)
L’assertion
image
On
~. (u )
(b).
phisme
de
Snn
G
Le groupe
Soit
sur
associe la matrice
des matrices
l’espace
opère
sur Gn
l’ouvert de
Gn ,
image
est le groupe des natrices
(paragraphe 1)
a vu
=
l’espace
2n
iy ~ Sn,
x +
=
que
Observens d’ abord
à coefficients rationnels. On
et
est réunion des transformés de
inégalités (i ) f (ii )! (iii) entraînent
l’espace
y’" ) est bornée ; donc cette
dans
tiques
chaque
Dans
Siegel
est presque évidente : les
de?
démontrer
z
de
volune euclidien fini.
si un
va
grande l’ espace
~ JT’ .
effet que
en
assez
P-1
symplecl’application qui? à
que
(10’ est un
symplectiques, symétriques et ~0.
définie par
par
(u)
de
(y .
par
réelles, symétriques et 7>0 à 2n lignes
ouverts S’ (v) (notation de l’Exposé 1, p. 8).
de toutes les matrices
colonnes, considérons
les
Soit 03C0 la matrice unimodulaire
où
(e )..
Ô...
Kronecker). On a
inégalités (i), (ii), (iii) expriment
=
facilement que les
trice
définie par
P"~
pour
un
v ~ 0
M.S’
L’asscrtion
(10~)
(v) :
(b)
de
On voit
=
la
que si
ma-
Or si
I~I
~ .~ 3
il n’existe
entiers) telles que
Siegel (cf. Exposé I ~ p. 8).
à coefficients
cela résulte du théorème de
en
u).
sculcnent de
(unirodulairc
de l’énoncé
t03C0
=
satisfait à
(dépendant
convenable
qu’un nombre fini de
rencontre
(symbole
résulte.
Il reste à prouver l’ assertion
(c)
’
de l’énoncé. Elle
va
résulter d’une suite de
propositions.
z ~ Sn ,
PROPOSITION 1, .- Etant donné
il existe
det(In mz) det(Im Moz)
Diaprés (16 ~ ~
sous-groupe
T
~
ne
f .
La
dépend
proposition
1
un
Mo
~0393
tel que
pour toute
que de la classe à droite de
résulte a lors évidemment de la
.
M
& JT’ .
M
suivant le
PROPOSITION 2. - Pour tout ~ >
T ~ 0393 , jouissant
suivant
de
il
0,
n’y
qu’un nonbre fini
a
de classes
la propriété que
à droite
M
pour les
d’une
telle classe.
Pour prouver la
on
réduite
grâce
peut choisir l~î
au sens
e..u
proposition 2,
observe d’abord quo, dans
on
de manière que la matrice
de Minkowski :
car
si
on
groupe des homothéties
entière ;
qui,
choix convenable de
pour
un
On voit alors que la
si
désigne
y’
In
proposition 2 résultera
a u s ens
et
(3
d
De
au sens
de
1 nous dit alors
provisoirement ce
que chaque point
r6nplacé
qui
Sn
peut,
on
où
a
est
par
(le Minkowski.
M
=
b
/~
(c
B
d
)~0393
telles que
-....-.._:.
03B1> o . Alors
Minkowski, et (que
de valeurs.
peuvent prendre qu’un nombre fini
Nous admettons
ta ,
az’
soit
du
étant donné, considérons les
LEMME. - z ~ Snn
soit réduite
z’ ~
=
1
par
est
~
--1
z’
z’ , y’-1
a , est réduite
Mz
instant
1
remplacer
unimodulaire
!
(Ln(Mz) ~1
positive
un
pose pour
classe suivant
chaque
établi plus loin. La
sera
est congru,
modulo 0393 ,
à
un
proposition
point
z
tel
que
Observons que,
d’après (14),
la
On
a
effet,
on
applique (17’ )
alors
cz
+
Cela
éta.nt,
d
~17~ entraÍne :
unimodulaire entière
de
Minkovski,
z
par
z * s
sans
s
/,
O
un z
qqe
(17)
matrice
et p;=r suite
satisiaisant à
convenable),
cesse
on
j ~,~ 1 a
où
dans le
=
considérons
à
,
PROPOSITION 3. - La relation
En
condition (17) équivaut
peut
(17) .
Rcr. i>laç ant
supposer que
(Im
z
par
az
a (a
est réduite
d’être vérifiée. 0n peut ensuite,
symétrique réelle,
Îkl.
(17’ ) entraînez
à coefficients entiers
en
au sens
remplaçant
convenables),
faire
partie réelle
sorte que la
en
du
x
ceci ne modifie pas (Im z)-1 , et (17) reste vérifiée.
S
PROPOSITION 4. - Tout point de
l’ensemble Xn
("domaine
nouveau
satisfasse à
|xjk|
0393 ,
point
est con nodulo
n
fondamental" de
1/2 ;
On a donc prouvé la
z
Siegel) défini
à
un
de
z
par les conditions
sui--
vantes :
det(Im z )
1o
det
2°
(Im
3°
|xjk |
z)
est réduite
1/2, où x
pour toute
au sens
=
M
e.-T ;
Minkowski ;
désigne la partie réelle
de
(c)
théorème. Il suffit
de montrer que les conditions 1~~ 2~ et 3~ de la proposition 4 entraînent les conditions (i), (ii), (iii) du théorème, dès aue u > 0 est assez grand. Or on sait (ExNous
maintenant
sommes
de prouver l’assertion
en mesure
du
SI (il) pour un u convenable,
que (Im
autrement dit : 2~ entraîne (ii). Il est trivial que 3~ entraîne (i) pour u ~ 1/2.
Enfin~ 1~ et 3~ entraînent ((1" après la proposition 3 )
posé 1 )
et
que la condition 2°
d
comme
~y ) ,
=
(ii~. ~
nn
nn
implique
est
vérifiée lorsque
Ainsi la démonstration du théorème est
le lemme
~
qui
1’ aide de
Soient
en
a
~14 ~?
admis.
on
iz
c. 1
et
u..
~0~
d.
entiers ) ;
lorsque d ~ 0 est à
que
nais
fini
est
.
lignes
;o , Lorsque
nombre
un
est minoré par
à éléments
duite
gy’"
Y;
les i-ièmes
sont minorés par
cy t c
â cela
Ms
diagonaux de
termes du second nombre est
les
3 ~
"
près qu’il
z~t
=
J
Im
z
=
reste à établir
Im
y ~
zt
~
y’ ,
vérifie que
les éléments
u..
notant
été
achevée,
u
un
et pour
>0
nombre
c =
on a
des matrices
M
parcourt
fixe
’>0
C) ~
et
d ; chacun des deux
le sous-groupe dise ret
donne) :
J~ ~
car,
y
étant
lorsque c ~ 0 (puisque
est minoré par un nombre
c
est
(une
fixe
c
éléments entiers. Si maintenant
fois
on
z
suppose que
y’-1
> 0
fixe
est ré-
produit des u.. est majoré par un nombre fixe, puieest majoré ;
par hypothèse. De là résulte que chacun des u..
ceci implique, d’après (18), que
c. et d. 1. ne peuvent prendre qu’un nombre
de valeurs (car dès que l’une des composantes de
c3 est assez grande, ci y
au sens
grand ;
de
Minkowski,
et si les
le
composantes de
cl
rcstent
bornées,
et que l’une
au
moins des
conposantes
de
est
d. j-
(c. 2014
grande,
d. -*- )y" (x
x +
est
+
grand).
Le lemme est donc démontré.
6. Les groupes
considérons
Sur l’espace
J(x , y) du n~
leurs entières
F~
rf
et
1, considérons
sur
/B ~
un
que ^
soit le’ lattice des
Supposons
par le
donc que
F
Cr~
le groupe des matrices réelles
non
dégénérée F(x , y) ,
/B
à
va-
qui conservent
On
en
élémentaires~ qu’on peut choisir
points à coordonnées entières, et
forme,
et
la forme
J
ait cette
une
que
base de manière
F
prenne la
que /B
soit le lattice des
points entiers ;
changement de variables
devient à
la forme
F
le groupe
symplectique
nouveau
G
diagonale ayant
du groupe
soient à
éléme nts les entiers
pour
symplectique formé
Il résulte des considérations
générales
1).
ouvert fondamental
c’était le
Mais il
(pour
cas pour
de
G..
devient donc
au
sous-groupe discret.
M
telles
(103B41n0 0 3B.4) ,Ainsi
où 03B4
(ac b.
039303B4
et
s’appellera
l’Exposé
2
que 0394
M
0394-1
0393f ,
ait
désigne
il
ses
la matrice
devient le sous-groupe
que les matrices
telles 1
un
groupe paramodulaire.
qu’un tel
groupe paramo-
c ’est-à-dire satisfait à la condition
dulaire est minkowskien dans
page
paragraphe 1,
des matrices
éléments entiers. Un tel groupe
(M) (Exposé 2,
du
R) . Quant
symplectiquos
==
devient le groupe des matrices
éléments entiers, en notant A la matrice
corme
de la forme alternée
canonique
forme
un
lieu
forme alternée
le sous-groupe des matrices transformant
théorie des diviseurs
au
une
Soit
par la
039303B4
/B ~ et,
lattice
le
ne
qu’on général il existe
considéré) dans lequel y
semble pas
groupe 039303B4
le groupe modulaire.
dans
soit
J")
bornée
1
3-12
BIBLIOGRAPHIE
[1]
CARTAN
(Elie). -
3parties
en
Oeuvres
6 volumes.
complètes. - Paris, Gauthier-Villars, 1952-1955.
[2]
SIEGEL (C.L.). - Einfünhrung in die Theorie der Modulfunkti onen n-ten
Math. Annalen, t. 116, 1939, p. 617-657.
[3]
SIEGEL
(C.L.). Symplectic Geometry,
Amer.
J.,
t.
65, 1943,
p. 1-86.
Grades,