fiche n°8

Racines carrées
Exemple s :
22
=
2× 2
= 2.
32
=
3× 3
= 3 etc.
Exemple
52
= 5 mais attention
−32
=
32
= 3. En effet une racine est toujours
positive.
Exemples :
2×3
=
2× 3
et
2
3
=
2
3
Exercices types
Développer avec des racines et des égalités remarquables :
23
2
=
22
+
2× 2×3
+
32
= 2 +
6 2
+ 9 = 11 +
6 2
3 573 5−7
=
3 52
–
72
= 45 – 49 = - 4 .
Développer avec des racines carrées en utilisant la distributivité :
9−2 2 3 75
=
9×3 7
+
9×5
–
2 2×3 7
–
2 2×5
=
27 7
+ 45 –
6 14
–
10 2
Simplifier une expression avec des racines :
E =
5 37 48− 300
Le principe est d'exprimer
chaque racine en
3
comme ci-contre.
Pour
a0
on a :
a2
= a.
Pour
a0
on a :
a0
,
a2
= a et
a× a
= a.
Pour
a0
et b > 0 on a
a×b
=
a× b
a
b
=
a
b
48
=
16×3
=
16× 3
=
4 3
300
=
100×3
=
100× 3
=
10 3
Ainsi E =
5 3
+
7×4 3
–
10 3
=
5 3
+
28 3
–
10 3
E =
528−10 3
=
23 3
(Tout comme en calcul littéral on additionne entre
eux les termes de même nature donc ici les racines de 3 entre elles.)
Trigonométrie :
Exercice type 1 : On me donne un angle et un côté dans un triangle rectangle, je peux
alors calculer les deux côtés manquants.
Exercice type 2 : On me donne deux côtés dans un triangle rectangle,je peux alors
calculer les deux angles aigus du triangle rectangle.
Trois formules à savoir que l'on peut retrouver grâce au moyen mnémotechnique suivant :
CAH SOH TOA Cosinus =
côté adjacent à l ' angle
hypoténuse
Sinus =
côté opposé à l ' angle
hypoténuse
Tangente =
côté opposé à l ' angle
côté adjacent à l ' angle
Dans le triangle ABC rectangle en A on a :
cos ABC 
=
adj
hyp
=
AB
BC
ainsi
cos 37 °
=
3,5
BC
d'où BC =
3,5
cos37 °
et donc
BC≈4,4 cm
Remarque : on peut également calculer AC avec la formule de la
tangente. on trouve : AC =
3,5×tan37 °
.
Dans le triangle EFG rectangle en F on a :
sin  FEG= opp
hyp =FG EG
ainsi
sin  FEG= 2,6
4,3
d'où
FEG
=
arcsin 2,6
4,3 
d'où
FEG≈37°
Remarque : on peut calculer
FGE
avec la formule du cosinus ou en
faisant 90 – 37° puisque
FEG
et
FGE
sont complémentaires.
(Ils font 90° à eux deux)
Racines carrées et Trigonométrie