Serveur d`exercices Sciences.ch

EXERCICES DE
T
TO OP PO OL LO OG GI IE E
(version 2.0 du 28.02.2010)

Sciences.ch Topologie
Serveur d'exercices 2/22
EXERCICE 1.
Niveau : Deuxième Cycle.
Auteur : Ruben Ricchiuto (09.08.04, [email protected])
Mots Clés :Théorème de Baire et cardinal de 
Énoncé :
Donner une preuve topologique du fait que n'est pas dénombrable en utilisant le théorème
de Baire rappelé ci-dessous. 
Théorème (Baire): Si X est un espace métrique complet ou localement compact, alors pour
toute suite de fermés d'intérieurs vide (
n
Fn
F
) nous avons :
n
nF
.
Solution :
est complet (de fait il est aussi localement compact) nous pouvons donc utiliser le théorème
de Baire. Supposons dénombrable, 01 { , ,...}xx . Nous avons {}
n
n
x
 et les
singletons sont fermés et d'intérieur vide donc par Baire
 ce qui est absurde.

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Serveur d'exercices 3/22
EXERCICE 2.
Niveau : Deuxième Cycle
Auteur : Ruben Ricchiuto (09.08.04, [email protected])
Mots Clés :Topologie de Zariski sur 
Énoncé :
Dans , nous considèrons la famille  |\ est fini {}AA  .
1. Démontrer que  est une topologie (de Zariski).
2. Démontrer que tout ouvert de est un ouvert de  muni de la topologie usuelle.
(,)
3. Démontrer que (, n'est pas métrisable (il n'existe pas de distance sur  qui induit la
topologie ). )
Solutions :
1. . Si , ,|\ estUV A A fini alors \( ) \ \UV U V est fini
donc UV . Si
i
I
U est une famille d'éléments de
|\ est finiAA alors
est fini, donc
\
II
U \
i
Ui
IU
i
. Ceci prouve que est une topologie sur . 
2. Si
|\ est finiUA A alors est fini donc fermé dans muni de la
topologie usuelle.
\U
3. Par suite U est ouvert. (, n'est pas métrisable car deux ouverts non-vides s'intersectent
toujours. )

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Serveur d'exercices 4/22
EXERCICE 3.
Niveau : Deuxième Cycle
Auteur : Ruben Ricchiuto (09.08.04, [email protected])
Mots Clés : Topologie compacte-ouverte
Énoncé :
Soit ,
X
Y deux espaces topologiques. Nous définissons comme étant l'ensemble
des applications continues de (,)CO X Y
X
YK
[,K:
. Si est un compact de X et  un ouvert de Y on note
l'ensemble des applications continues ]
f
X)
(, )CO X Y
(,):CO X g CO CO
Y
, ]K
telles que . Nous
munissons de la topologie engendrée par les [ appelée "compacte-ouverte".
(fK
1. Vérifier que si : est une application continue alors
(,)X Z définie par g
gY Z
(,)X Y 
 est continue.
2. Démontrer que si X est compact et Y un espace métrique alors la topologie de
(,)X Y est la topologie de la convergence uniforme. CO
CO CO
Solution :
1. Pour montrer que ( , ) est continue, il suffit de prouver que l'image réciproque
d'un ouvert du type [ , ]K de ( , )X Z est un ouvert de ( , )X Y . Or
CO X g
1(,) [ [,] )| [(),]CO X g K K g K
1
[, ()]Kg
,] C (,)|O X Y g (,CO X Y
.
2. Nous rappelons que la topologie de la convergence uniforme est induite par la distance
définie par
, (,),(,) sup ((),())|
f
gCOXY fg dfxgx xX    où d est la
distance sur Y. Le fait que X soit compact nous assure que
sup ( ( ),dfx
(,),CO X Y
( ))|
gx x X . Pour répondre à la question, il suffit de montrer que
pour tout compact K de X et pour tout ouvert  de Y, [,]K est un ouvert de
et que réciproquement toute boule B ouverte de Y(,),CO X est
ouverte pour la topologie compacte-ouverte. Soit [,]fK
. ()
f
K est compact et
contenu dans . Notons ( )r
f
K l'ensemble des points y de Y tels que
inf ( , )|dyy ( )y fK r . Il existe 0
 tel que . En effet,  étant
ouvert, pour tout ()
il existe 0
y
r tel que (où (, )
y
( )fK
yfK(, )
y
Byr 
B
yr est la
boule ouverte de rayon y
r centrée en y). ( )
f
K étant compact, il existe un nombre fini
1,..., n
y
y de points de ()
f
K tels que . Posons
1..
() (, /2)
iy
i
in
fK Byr
min /
yi2| 1..rin
, si ( )
y
fK alors il existe y( ) tel que yfK ( , )dy  et
il existe
1.. tel que ( , /2)
jy
j
jn yByr
, ) ( , ) /2
jjyy
jj
yy dyy r r
. Donc
(, ) (dyy d
  et par suite y
 car ) . ( ,
jy
j
By r

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Serveur d'exercices 5/22
Ainsi . Pour finir, [,]K ( )fK
(,)Bf  car
(,) (Bf ,) )) ,() ()g fg gx x Kgx fK ,((),(x Xdfx
gK [,]. Donc [ , ]K est un ouvert de 
X Y(,),CO . Montrons à présent que
toute boule B ouverte de
(,),X YCO est ouverte pour la topologie compacte-
ouverte. Soit
f
B , alors il existe un 0r tel que (,]
B
fr B où (,]
B
fr est la
boule fermée de rayon r centrée en f. Pour tout
x
X , notons ( ( ), /3)
xd
B
Bfxr Y
et 1()
x
x
KfB  (
x
K est compact). Pour tout
x
X , 1()
x
x
fB  et donc
1()
x
xX
X
fB . Les 1()
x
f
B
 étant ouverts, par compacité de X on en déduit,
1
1()
n
x
i
i
X
fB . Posons 1[,]
n
x
x
ii
i
UK ( ( ), /2)
xi
iBfx r où
. U est un ouvert de
la topologie compacte-ouverte et
f
U
car ()
x
xx
iii
fK B. De plus si hU et
x
X, il existe un 1
j
n tel que 1()
x
j
x
fB  et par suite ()
x
j
hx donc
r
. Ceci entraîne que
(()
, ())dhx fx
(, )hf r
((), (x fx)) ( ( ), ())
jj
d f x f x /2 /3r r dh 
 c'est-à-dire (,]
f
UBfr B . Par conséquent, B est un ouvert de la
topologie compacte-ouverte.