§13 : Dimension finie

§ 13 : Dimension finie
1. Notions de base, de coordonnées et de dimension
1.1 Sous-espace engendré par un famille de vecteurs
Notation 1. Dans tout le chapitre, K désigne R ou C, n et p sont des entiers naturels non nuls.
Définition 1 (rappel). Soit E un K-espace vectoriel, et (u1 , . . . , un ) une famille de vecteurs de K.
On dit que (u1 , . . . , un ) engendre E, ou encore que (u1 , . . . , un ) est une famille génératrice ou un système
générateur de E, si et seulement si
∀v ∈ E, ∃(λ1 , . . . , λn ) ∈ Kn : v = λ1 u1 + · · · + λn un
ce qui revient à dire : E = Vect(u1 , . . . , un ) = {λ1 u1 + · · · + λn un : (λ1 , . . . , λn ) ∈ Kn }.
Notation 2. Par convention, si n = 0, Vect(∅) = {0E }.
On note également Ku = Vect(u). (l’espace engendré par un vecteur est formé de ses multiples).
Exemple 1. Donner une famille génératrice de F = {(a, b, a + b) : (a, b) ∈ R2 }.
Soit G = Vect(cos2 , sin2 , cos × sin}. Les fonctions x 7→ 2, x 7→ cos(x)}, et x 7→ cos(2x)} appartiennent-elles à G ?
1.2 Famille libre de vecteurs
Définition 2. Soit F = (u1 , . . . , un ) une famille de n vecteurs d’un K-espace vectoriel E. La famille est
libre si et seulement si toute combinaison linéaire nulle de ses vecteurs a des coefficients tous nuls :
∀(λ1 , . . . , λn ) ∈ Kn , λ1 u1 + · · · + λn un = 0E =⇒ λ1 = · · · = λn = 0
Cela signifie que l’équation d’inconnues λ1 , . . . , λn : λ1 u1 + · · · + λn un = 0E a pour seule solution (0, . . . , 0).
Une famille qui non libre est dite liée. Deux vecteurs liés sont colinéaires, trois vecteurs liés sont coplanaires.
Exemple 2 (Espace). Lesquelles des familles suivantes sont libres dans R3 ? Interpréter.
     
     
  √ 
   
1
0
0
1
4
7
1
0
2
√1
1 0 , 1 , 0
2 2 , 5 , 8
3  2 ,  2 
4 2 , 0
√
0
0
1
3
6
9
3
0
4
8
5
 
1
2
3
Exemple 3 (Fonctions). Montrer que la famille (cos2 , sin2 , cos sin) est une famille libre de l’espace vectoriel
des fonctions définies sur R et à valeurs réelles.
1.3 Bases et coordonnées
Définition 3. Soit B = (u1 , . . . , un ) une famille ordonnée de n vecteurs d’un K-espace vectoriel E. La
famille B est une base de E si et seulement si elle est à la fois libre et génératrice.
Lorsqu’un espace vectoriel possède une base finie, il est dit de dimension finie. (1)
Exemple 4. On considère le K-espace vectoriel Kn . La famille B = (e1 , . . . , en ) composée des vecteurs ei dont
toutes les composantes sont nulles, sauf la composante i qui vaut 1, est une base de Kn , appelée base canonique
de Kn .
 
 
 
1
0
0
Par exemple, la base canonique de R3 est formée des vecteurs e1 = 0 , e2 = 1 , e3 = 0
0
0
1
(1). Une famille infinie est libre lorsque toute ses sous-familles finies sont libres. Elle est génératrice lorsque tout vecteur est
combinaison linéaire finie de ses membres. C’est une base lorsqu’elle est libre et génératrice.
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1/6
Exemple 5 (Plan). Parmi ces familles de vecteurs, lesquelles sont libres ? Génératrices ? Forment une base ?
(( ) ( ))
(( ) ( ))
(( ) ( ) ( ))
(( ))
1
1
−1
0
1
3
5
1
1
2
3
4
,
,
,
,
−1
2
4
0
2
4
6
1
Proposition 1. Coordonnées
La famille B = (u1 , . . . , un ) est une base d’un K-espace vectoriel E si et seulement
∀y ∈ E, ∃!(λ1 , . . . , λn ) ∈ Kn , y = λ1 u1 + · · · + λn un .
Cela signifie que chaque vecteur de E est s’écrit de manière unique comme une combinaison linéaire de
vecteurs de la base. Les coefficients (λ1 , . . . , λn ) sont les coordonnées du vecteur y dans la base B.
La matrice colonne formée des coordonnées (λ1 , . . . , λn ) du vecteur y dans la base B est notée MatB (y).
En particulier, l’application CB de E dans Kn , qui à un vecteur u associe MatB (u)
Démonstration. L’existence d’une solution (λ1 , . . . , λn ) ∈ Kn à l’équation y = λ1 u1 + · · · + λn un vient du fait
que B est génératrice. Si (µ1 , . . . , µn ) vérifie également y = µ1 u1 + · · · + µn un , la différence des deux équations
0E = (λ1 − µ1 )u1 + · · · + (λn − µn )un implique λ1 − µ1 = 0, . . . , λn − µn = 0 par liberté de B. Ainsi la solution
est unique.
□
( )
1
Exemple 6. u =
. Préciser la matrice MatB (u) des coordonnées de u dans la base B de l’exemple 5 1 .
−7
Exemple 7. Soit B = {cos2 , sin2 , cos × sin} et G = Vect(B). Pourquoi B est–elle une base de G ?
Calculer MatB (1), MatB (x 7→ cos(2x)) et MatB (x 7→ sin(2x)).
Exemple 8. Montrer que L ∈ L(E, F) est un isomorphisme si et seulement si l’image d’une base est une base.
1.4 Matrice d’une application linéaire
Définition 4. Soient :
⋆ E un K-espace vectoriel de dimension p, muni d’une base B = (e1 , . . . , ep ).
⋆ F un K-espace vectoriel de dimension n, muni d’une base B ′ = (e1′ , . . . , en′ ).
La matrice dans la base B au départ et B ′ à l’arrivée d’une application linéaire f de E dans F, est la matrice
′
(aij ) ∈ Mnp (K), dont la j-ème colonne est le vecteur [f(ej )]B des composantes de f(ej ) dans la base B ′ :
∀j ∈ J1 ; pK, f(ej ) = a1j e1′ + · · · + anj en′
On notera cette matrice MatB,B ′ (f) ou simplement MatB (f) lorsque f est un endomorphisme et B = B ′ .
Remarque 1. La matrice de f dans la base B au départ et B ′ à l’arrivée se présente ainsi :
e1′
e2′

f(e1 ) f(e2 ) . . .
a11
a21
..
.






 ai1

 ..
 .
′
en
an1
..
.
ei′
..
.
f(ej ) . . .
f(ep )
a12
a22
..
.
...
...
a1j
a2j
..
.
...
...
a1p
a2p
..
.
ai2
..
.
...
aij
..
.
...
aip
..
.
an2
...
anj
...
anp











Proposition 2. Soit E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions finies.
Soit f une application linéaire de E dans F et u un vecteur de E.
On note B une base de E et B ′ une base de F.
Alors MatB ′ (f(u)) = MatB,B ′ (f) × MatB (u).
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Kp
MatB,B ′ (f)×
Kn
⟨−1⟩
CB
CB ′
E
f
F
2/6
Démonstration. On adopte les notations de la remarque 1 Soit u ∈ E.




p
p
p
p
n
n
∑
∑
∑
∑
∑
∑

uj ej  =
uj f(ej ) =
uj
aij ej′ =
aij uj  ej′ .
f(u) = f 
j=1
j=1
Le coefficient de
ej′
j=1
i=1
i=1
j=1
(
)
dans la décomposition de f(u) dans la base B ′ est bien MatB,B ′ (f)MatB (u) j .
□
Exemple 9. . Soit un C-espace vectoriel E muni d’une base B = (e1 , e2 ).
On définit l’endomorphisme f par f(e1 ) = e1 + 2e2 et f(e2 ) = e1 . Soit u le vecteur u = e1 + e2
Déterminer la M matrice de f dans la base B et le vecteur colonne X des coordonnées de u dans cette base.
Comment interpréter le produit MX ?
Exemple 10 (Fonctions). . Soit, comme dans l’exemple 7, la famille B = {cos2 , sin2 , cos sin} et G = Vect(B).
On définit l’application D sur G par ∀f ∈ G, D(g) = g ′ .
1 Calculer l’image par D de la base B de G et en déduire que D est un endomorphisme de G.
2
Donner la matrice de M de l’endomorphisme D dans la base B.
3
Étudier le noyau et l’image de cette matrice. En déduire le noyau et l’image de D.
1.5 Dimension
Proposition 3. Dimension
Soit B = (u1 , . . . , un ) une base d’un K-espace vectoriel E. Alors :
⋆ il n’existe pas de famille libre à plus de n éléments.
⋆ il n’existe pas de famille génératrice de moins de n éléments
⋆ toute base a exactement n éléments.
Ce nombre n est appelé la dimension de E et noté dim(E).
Démonstration. Soient n + 1 vecteurs de E : v1 , . . . , vn+1 . En considérant les coordonnées suivant chaque ui de
l’équation λ1 v1 + · · · + λn+1 vn+1 = 0E , on obtient un système de n + 1 équations à n inconnues, qui contient
au maximum n pivots, donc un paramètre au moins : il n’y pas unicité des solutions, la famille n’est pas libre.
De même, avec n − 1 vecteurs de E : v1 , . . . , vn−1 : les composantes suivant les ui de l’équation y = λ1 v1 + · · · +
λn−1 vn−1 , donnent un système de n équations à n − 1 inconnues, qui contient au maximum n − 1 pivots, donc
au moins une ligne de zéros : les y ne satisfaisant pas l’équation associée ne peuvent se décomposer suivant les
vi , la famille n’est donc pas génératrice.
Une famille libre n’a pas plus de n éléments, une famille génératrice pas moins de n, donc une base en a n. □
Notation 3. Par convention, la dimension de l’espace vectoriel nul est nulle : dim({0}) = 0.
Un espace vectoriel E est une droite vectorielle si dim E = 1, un plan vectoriel si dim E = 2.
En cas d’ambiguïté, on précise le corps de référence en indice de dim : dimC C = 1 et dimR C = 2.
Exemple 11. Dimension de Kn , M3,2 (R), Rn [X] = Vect(1, X, . . . , Xn ), et G défini dans l’exemple 7 ?
2. Propriétés des bases
2.1 Caractérisation d’une base
Proposition 4. Reconnaître une base
Soit B
⋆ B
⋆ B
⋆ B
une famille d’un espace vectoriel de dimension n. Les propositions suivantes sont équivalentes :
est une base.
est une famille libre à n éléments.
est une famille génératrice à n éléments.
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3/6
Démonstration. Soit B ′ une base de E. On note B = (u1 , . . . , un ). Les composantes suivant B ′ de l’équation
y = λ1 u1 + · · · + λn un mènent à un système de n équations à n inconnues. Dans les deux dernières situations,
ce système admet n pivots exactement (car l’équation 0 = λ1 u1 + · · · + λn un admet une solution unique si B
libre, et l’équation initiale admet au moins une solution si B génératrice). Ainsi, le système admet une unique
solution : B est une base. La réciproque est vraie d’après la proposition 3
□
Exemple 12. Justifier rapidement (sans pivot) que la base B de l’exemple 5
1
est une base de R2 .
2.2 Théorème de sélection - complétion d’une base
Proposition 5 (Sélection - complétion).
De toute famille génératrice d’un espace vectoriel de dimension finie E, on peut extraire une base.
Toute famille libre d’un espace vectoriel de dimension finie E peut être complétée en une base.
Démonstration. Soit (u1 , . . . , un ) une famille génératrice de E : pour tout y ∈ E l’équation admet au moins
une solution. On résout λ1 u1 + · · · + λn un = y par la méthode du pivot : la famille P constituée des vecteurs
correspondants aux colonnes à pivot est une base (génératrice : en choisissant les paramètres égaux à 0 on
obtient y ∈ Vect(P) et libre : le système admet une unique solution : autant de pivots que de colonnes).
Si E est de dimension finie p et (u1 , . . . , un ) est une famille libre, soit n = p et c’est une base, soit n < p et en
prenant un+1 ∈ E \ Vect(u1 , . . . , un ) on complète la famille en une famille libre de n + 1 vecteurs. En répétant
l’opération n − p fois on obtient une famille libre à p éléments, donc une base.
□
Remarque 2. Cela implique en particulier que tout espace vectoriel de dimension finie possède une base.
Pour compléter une famille libre (u1 , . . . , uk ) en une base de E de dimension finie, on considère une base
(e1 , . . . , en ) de E et on résout α1 u1 + · · · + αk uk + λ1 e1 + · · · + λn en = 0 en commençant par prendre les
k premiers pivots dans les k premières colonnes. Les colonnes à pivot forment une base contenant la famille
initiale.
3. Utilisation de la dimension
3.1 Dimension et sous-espaces vectoriels
Proposition 6.
Soit F un sous-espace vectoriel d’un K-espace vectoriel E.
⋆ dim(F) ⩽ dim(E)
⋆ si dim F = dim E alors F = E
Démonstration. Une base B de F est une famille libre à dim E, que l’on peut compléter en une base de E. Donc
dim(F) ⩽ dim(E). Si une base de F a dim(E) éléments, c’est une famille libre à dim(E) éléments, donc une base
de E. Ainsi, F = Vect(B) = E.
□
Proposition 7. Formule de Grassmann
Soient F et G deux sous espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel E.
Alors dim(F + G) = dim(F) + dim(G) − dim(F ∩ G). En particulier, dim(F ⊕ G) = dim(F) + dim(G).
Démonstration. L’idée est de compléter une base de F ∩ G d’une part en une base de F, et d’autre part en une
base de G. On montre alors que les dim(F) + dim(G) − dim(F ∩ G) considérés forment une base de F + G. □
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4/6
3.2 Dimension et applications linéaires
Théorème 8. « du rang »
Soit L ∈ L(E, F) une application linéaire entre deux K espaces vectoriels E et F de dimension finie. Alors
dim(E) = dim(Ker(L)) + dim(Im(L))
La dimension rg(L) = dim(Im(L)) est appelée le rang de L.
Démonstration. Soit E ′ un supplémentaire de Ker(L) dans E : E = E ′ ⊕ Ker(L). On considère L ′ : E ′ → Im(L)
la restriction de L à E ′ . On démontre qu’il s’agit d’un isomorphisme et on utilise la formule de Grassmann. □
Exemple 13. Soit L ∈ L(E, F). Interpréter en terme d’injectivité, surjectivité de L les égalités :
1
dim(F) = rg(L) ?
2
dim(E) = rg(L) ?
3
dim(E) = dim(F) = rg(L) ?
En déduire une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe un isomorphisme de Rn dans Rm .
4. Propriétés des matrices d’une application linéaire
4.1 Composition et réciproque
Proposition 9 (Composition). E, F et G sont des K-espaces vectoriels
MatB,B ′ (f)×
MatB ′ ,B ′′ (g)×
Kp
Kn
Km
de dimensions finies.
⋆ E est de dimension p, muni d’une base B =.
MatB ′ ,B ′′ (g)MatB,B ′ (f)×
⟨−1⟩
⋆ F est de dimension n, muni d’une base B ′ .
CB
CB ′′
′′
g
◦
f
⋆ G est de dimension m, muni d’une base B .
Soient f ∈ L(E, F), g ∈ L(F, G) et u ∈ E . On a alors :
E
F
G
g
f
MatB,B ′′ (g ◦ f) = MatB,B ′ (g)MatB ′ ,B ′′ (f)
Proposition 10. E et F sont deux espaces vectoriels de dimensions finies.
⋆ E est muni d’une base B.
⋆ F est muni d’une base B ′ .
(
)−1
Soit L un isomorphisme de E dans F. Alors MatB ′ ,B (L⟨−1⟩ ) = MatB,B ′ (L)
K
(MatB,B ′ (f))−1 ×
Kn
p
⟨−1⟩
CB ′
CB
Démonstration. Le produit des deux matrices, en utilisant la proposition précédente,
donne l’identité.
□
E
f⟨−1⟩
F
4.2 Changement de base
Tous les résultats de cette section viennent de la proposition 9.
Définition 5. Soient E un K-espace-vectoriel de dimension finie n.
E est muni de deux bases B = (e1 , . . . , en ) et B = (e1′ , . . . , en′ )
On appelle matrice de passage de la base B vers la base B ′ la matrice dont
′
les colonnes sont (les coordonnées
)−1dans la base B des vecteurs de la base B .
.
On a encore P = MatB,B ′ (Id)
e1
e2
..
.
en
e1′
e2′
...
a11
 a21

 ..
 .
a12
a22
..
.
...
...

a1n
a2n 

.. 
. 
an1
an2
...
ann

en′
Proposition 11. Formules de passage
Soit E un K-espace vectoriel de dimension p, et B = (e1 , . . . , ep ), B ′ = (e1′ , . . . , ep′ ) deux bases de E.
Soit P la matrice de passage de la base B vers la base B ′ . Alors :
−1
1 ∀u ∈ E, Mat(u) ′ = Mat ′
MatB (u)
B
B ,B (Id)MatB (u) = P
(
)−1
2 Mat(Id) ′
: P−1 est la matrice de passage de B ′ vers B
B ,B = MatB,B ′ (Id)
3
Si f est un endomorphisme de E : MatB ′ (f) = P−1 MatB (f)P.
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Notation 4. B La terminologie peut-être trompeuse : pour obtenir les coordonnées de u dans la base B ′ ,
on multiplie les coordonnées de u dans la base B par la matrice de passage de B ′ vers B !
( )
(
)
x
x+y
2
2
Exemple 14. Soit L : R −→ R ,
7→
.
y
2x + 2y
Soit B la base de R2 introduite dans l’exemple 5 1 .
1 Donner la matrice A de l’application L dans la base canonique, puis la matrice A ′ de L dans la base B.
2
3
Donner la matrice de passage P de la base canonique vers la base B de l’exemple 5
′
1
.
∗
Exprimer A en fonction de P et A et en déduire A pour n ∈ N .
n
Remarque 3. Plus généralement, si E et F sont deux espaces vectoriels de dimensions finies, si l’espace E est
muni de deux bases E et E ′ , si l’espace F est muni de deux bases F et F ′ , et si f est une application linéaire de
E dans F : MatE ′ ,F ′ (f) = Mat−1
F ,F ′ (Id)MatE,F (f)MatE,E ′ (Id).
Bilan du § 13
Prérequis
1
Maîtriser le chapitre §12 Espaces vectoriels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□
2
Maîtriser le chapitre §10 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □
3
Rudiments de calcul dans les complexes : §3 Complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □
Objectifs prioritaires
1
connaître la définition d’un sous-espace engendré par une famille de vecteurs (1.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □
2
connaître la définition d’une famille libre de vecteurs (1.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □
3
connaître la définition d’une base, de la dimension d’un espace vectoriel (1.3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□
(a) savoir refaire les exemples 2 et 5 (Kn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □
connaître le lien entre dimension, famille libre, génératrice, et base (proposition 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .□
4
5
connaître la formule de Grassmann et le lien entre dimension et sev (proposition 7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . □
6
savoir compléter une base d’un sev en une base d’un ev (théorème 5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □
7
connaître le théorème du rang (3.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □
8
savoir passer d’un vecteur à ses coordonnées dans une base (section 1.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □
9
savoir former la matrice d’une application linéaire et connaître ses propriétés (section 1.4) . . . . . . . . . . . □
(a) exemple 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □
10
(b) exercices 5, 11 et 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □
savoir travailler dans des bases différentes (section 4.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □
(a) bien comprendre l’exemple 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □
(b) exercices 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □
Objectifs secondaires
1
savoir résoudre des exercices de synthèse plus abstraits (exercices 1 et 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □
2
matrices d’applications linéaires dans un cadre abstrait : exemples 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □
Approfondissement
1
savoir démontrer des propriétés abstraites : exercice 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □
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6/6
TD du § 13
Exercice 1. Polynômes de Lagrange
On note Cn [X] le C–espace vectoriel des polynômes à coefficients complexes, de degré inférieur où égal à n.
Soient n + 1 nombres complexes deux à deux distincts α0 , . . . , αn .
Pour tout k ∈ {0, . . . , n}, on définit le polynôme de Lagrange Lk par Lk (X) =
∏ X − αi
.
αk − αi
i̸=k
1
2
3
4
5
Donner la base canonique et la dimension de Cn [X].
Dans cette question seulement, n = 2 et α0 = 0, α1 = 1, α2 = 3. Écrire les trois polynômes de Lagrange
L0 , L1 , L2 . Donner un polynôme P de C2 [X] tel que P(0) = 1, P(1) = −3 et P(3) = 0.
Vérifier que ∀k ∈ {0, . . . , n}, Lk ∈ Cn [X].
Montrer que B = {L0 , . . . , Ln } est une famille libre de Cn [X]. En déduire que B est une base de Cn [X].
En déduire que deux polynômes de degrés inférieur où égal à n qui coïncident en n + 1 valeurs de la
variable sont égaux.
Exercice 2. Étude 
d’un
endomorphisme de l’espace

 
 


x
y−z
 x

Soit a ∈ R et Ea = y ∈ R3 , x + y + z = a et L : R3 → R3 , y 7→  z − x .


z
z
x−y
1
2
3
4
5
Donner une condition nécessaire et suffisante sur a pour que Ea soit un sous-espace vectoriel de R3 .
Démontrer que L est un endomorphisme de R3 .
Déterminer une base de Ker(L), en déduire le rang de L. L’application L est-elle injective ? surjective ?
Vérifier que Im(L) ⊂ E0 , puis que Im(L) = E0 .
Montrer que Im(L) ⊕ Ker(L) = R3 .
Exercice 3. Espace des exponentielles-polynômes de degrés 2
Soit E l’ensemble des fonctions R → R, x 7→ (ax2 + bx + c) ex où a, b, c sont réels.
1
2
3
4
5
Montrer que E est un sous espace-vectoriel de l’espace F(R, R) des fonctions de R dans R.
Déterminer une base B de l’espace vectoriel E.
Soit L l’application définie par L(f) = f ′ pour f ∈ E. Vérifier que L est un endomorphisme.
Donner la matrice A de l’endomorphisme L dans la base B. Déterminer A−1 .
Trouver une primitive de x 7→ (x2 + x + 1)ex .
Exercice 4. Endomorphisme d’un( espace
) de polynômes
Soit f : R4 [X] −→ R4 [X], P(X) 7→ f P(X) = P(X) − XP ′ (X).
1
2
3
4
Vérifier
Donner
Donner
Donner
ATS 2014
que f est un endomorphisme de R4 [X].
la matrice de f dans une base au choix, que l’on précisera.
une base du noyau de f.
la dimension et une base de l’image de f.
Exercice 5. Endomorphisme

3 1
Soit la matrice A = −1 1
1 1
de 
l’espace donné par 
sa matrice

 
 
−3
1
1
1
1  et les vecteurs ε1 1, ε2 −1 et ε3 0.
−1
1
0
1
On note B = (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 et B ′ = (ε1 , ε2 , ε3 ).
Enfin, f est l’endomorphisme de R3 dont la matrice est A dans la base canonique.
1
2
3
Vérifier que B ′ est une base de R3 .
Écrire la matrice de f dans la base B ′ .
Donner une base de l’image et du noyau de f.
Exercice 6. Endomorphisme de carré nul
Soit E un K-espace vectoriel, et L un endomorphisme de E. Montrer : Im(L) ⊂ Ker(L) ⇐⇒ L ◦ L = 0.
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[23 janvier 2016]
ATS 2015-2016, TD du § 13
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Exercice 7. Endomorphisme
 
et changement
 de base
x
3x + y − z
1
Soit f : R3 → R3 , y 7→ −x + 5y − 3z.
2
z
4y − 2z
1
2
3
Montrer quef est
de 
R3 , et préciser sa matrice A dans la base canonique C de R3 .
 un endomorphisme
 

0
1
1
Soient e1 = 1, e2 = 0 et e3 = 1. Montrer que B2 = (e1 , e2 , e3 ) est une base de R3 .
1
1
0
Déterminer la matrice B de l’application linéaire f dans la base B2 .
Exercice 8. Composées d’un endomorphisme du plan
Soit B = (e1 , e2 ) une base d’un C-espace vectoriel E.
Soient u = e1 + e2 , v = −e1 + e2 , et l’endomorphisme L de matrice dans la base B : A =
1
2
3
(
)
2 −1
.
−1 2
Montrer que B ′ = (u, v) est une base de E.
Donner la matrice A ′ de l’endomorphisme L dans la base B.
En déduire L ◦ · · · ◦ L(e1 ). (n compositions)
Exercice 9. Système différentiel linéaire
2 guidé
( )
( )
{ d’ordre
x ′ (t) = −7x(t) − 9y(t)
−1
3
On considère le système différentiel (S)
et les vecteurs u
et v
.
1
−2
y ′ (t) =
6x(t) + 8y(t)
1
2
3
4
Pour t réel on note X(t) le vecteur de R2 de composantes x(t) et y(t).
Montrer que X ′ (t) = AX(t) où A est une matrice de M2 (R) à préciser.
On note φ l’endomorphisme canoniquement associé à A.
Calculer φ(u) et φ(v). En déduire la matrice D de φ dans la base (u, v).
Soit P la matrice de passage de la base canonique vers la base (u, v).
Démontrer que X ′ = AX ⇐⇒ Y ′ = DY où Y = P−1 X.
Résoudre Y ′ = DY et trouver les composantes x̃(t) et ỹ(t) de Y.
Résoudre le système différentiel (S).
Exercice 10. Étude 
d’un
projecteur


 
 
 
x
x
1
0
0
Soient φ : R3 → R3 , y 7→ −x + 2y − 2z, et les vecteurs e1 = −1, e2 = 2, e3 = −2.
z
−x + y − z
−1
1
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Démontrer que φ est un endomorphisme de R3 .
Déterminer une base du noyau de φ. L’application φ est-elle un automorphisme ?
Déduire de ce qui précède la dimension de Imφ. L’endomorphisme φ est-il surjectif ?
Démontrer que : Imφ = Vect(e1 , e2 , e3 ).
Déduire de ce qui précède une base de Imφ, et une description de Imφ par des équations linéaires.
Démontrer que R3 = Imφ ⊕ Kerφ. (le noyau et l’image de φ sont des espaces supplémentaires).
Prouver que Ker(φ − IdR3 ) = Imφ. (on rappelle que IdR3 : R3 → R3 , u 7→ u)
Montrer que ∀u ∈ Imφ, φ(u) = u. Calculer ensuite, pour tout (u, v) ∈ Imφ × Kerφ, φ(u + v).
En déduire que φ ◦ φ = φ : on dit que φ est un projecteur sur Imφ parallèlement à Kerφ.
Exercice 11. Endomorphisme donné par l’image d’une base
Soit B = (e1 , e2 , e3 ) une base de R3 et f l’application linéaire définie par :

 f(e1 ) = e1 + 2e2 − e3
f(e2 ) = 2e1 + 7e2 + 3e3

f(e3 ) = 3e2 + 5e3
1
2
3
ATS 2010
Donner la matrice de f dans la base B.
Déterminer l’image et le noyau de f.
Montrer que Im(f) et Ker(f) sont supplémentaires.
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[23 janvier 2016]
ATS 2015-2016, TD du § 13
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