Probabilités conditionnelles

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Table des matières
I
Activités de découverte
1
Activité . . . . . . . .
2
Formule générale . .
3
Exemples . . . . . . .
a)
Expérience 1 .
b)
Expérience 2 :
c)
Expérience 3 :
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1
1
1
2
2
2
2
II Arbre pondéré
1
Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a)
Expérience 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3
3
III Formule des probabilités totales
1
Définition et propriété préliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Formule des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
4
4
IV Événements indépendants
4
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Probabilités conditionnelles
I Activités de découverte
1 Activité
On veut savoir si le fait de fumer joue un rôle aggravant dans une maladie, la probacytose. On a
effectué une étude statistique sur une population de 20 000 personnes. Voici les chiffres obtenus :
– 400 personnes sont à la fois fumeurs et malades
– 600 personnes sont non fumeurs et malades
– 4 600 personnes sont fumeurs et sains
– 14 400 personnes sont non fumeurs et sains
1. Placer ces données dans un tableau à double entrée
2. On choisit une personne au hasard de cette population.
On appelle M l’événement « La personne est malade » et F l’événement « La personne est un
fumeur »
Quelle est la probabilité que :
Cette personne soit un fumeur ? Un non fumeur ? Malade ? Saine
On choisit une personne au hasard parmi les fumeurs, quelle est la probabilité qu’elle soit malade ?
On choisit une personne au hasard parmi les non fumeurs, quelle est la probabilité qu’elle soit
malade ?
On va définir p M (F) qui se lira « probabilité de F sachant M ». Pour cela, on imagine une nouvelle expérience, celle dont les issues possibles sont celles réalisant M et parmi celles ci, les issues
..........
= ..........
favorables à F. Donc p M (F) =
..........
Calculer de même p M (F) = ..............................
2 Formule générale
A et B sont deux événements d’un même univers Ω.
Lorsqu’il y a équiprobabilité on peut écrire
p A (B) =
nombre d’issues de A ∩ B
nombre d’issues de A
=
nombre d’issues de A ∩ B
nombre d’issues de Ω
×
nombre d’issues de Ω
nombre d’issues de A
=
...................
.............
Définition
Soit A un événement de probabilité non nulle et B un événement quelconque du même
univers.
On appelle probabilité conditionnelle de B sachant A , le quotient
p A (B) =
Lycée du golfe
p(A ∩ B)
.
p(A)
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3 Exemples
a) Expérience 1
On revient sur l’étude statistique concernant une population de 20000 personnes
Malades
Sains
Fumeurs
400
4600
Non fumeurs
600
14400
Calculer p F (M) et p F (M).
b) Expérience 2 :
Dans un jeu de 32 cartes, on extrait au hasard une carte.
Déterminer la probabilité que la carte tirée soit une dame, sachant que c’est une figure.
Déterminer la probabilité que la carte tirée soit le roi de carreau, sachant qu’elle est rouge.
c) Expérience 3 :
Une urne contient trois boules rouges et deux boules vertes
Un jeu consiste à tirer deux boules au hasard successivement et sans remise
On gagne si la deuxième boule tirée est rouge
1. Blaise tire une première boule : elle est rouge. Est-il en droit de se réjouir ?
2. Simon tire une première boule : elle est verte. Est-il en doit de se réjouir ?
R1 : « la 1ère boule tirée est rouge »
R2 : « la 2ème boule tirée est rouge »
Calcul de p R1 (R2 ) :
On a tiré une boule rouge dans l’urne, il reste alors 4 boules et parmi elles 2 rouges donc
p R1 (R2 ) =
2 1
=
4 2
Calcul de p R1 (R2 ) :
On a tiré une boule verte dans l’urne, il reste alors ........... boules et parmi elles ............ rouges donc
p R1 (R2 ) =
..........
............
II Arbre pondéré
On peut représenter une épreuve par un arbre de probabilité, en indiquant sur les branches de
premier niveau les probabilités de A et A , puis sur les branches de deuxième niveau les probabilités
conditionnelles.
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1 Exemples
a) Expérience 3
1. Faire un arbre de probabilité correspondant à l’expérience 3 du paragraphe I.
2. Calculer la probabilité de l’événement E : « tirer une boule rouge puis une boule verte »
3. Comment à l’aide de l’arbre pourrait-on calculer la probabilité de l’événement F : « tirer deux
boules de couleurs différentes »
F=A ∪ B où A = R1 ∩ R2 et B = R1 ∩ R2
A et B sont incompatibles donc p(A ∪ B) = p(A) + p(B)
Propriété
On retiendra les propriétés des arbres de probabilité :
– La somme des probabilités affectées aux branches issues d’un même noeud est 1 ;
– Un chemin AB correspond à l’événement A∩B et P(A∩B) est le produit des probabilités
affectées à chacune des branches qui le constituent ;
– La probabilité d’un événement correspondant à plusieurs chemins de l’arbre est la somme
des probabilités de ces chemins.
– Ne pas confondre p(A ∩ B) et p A (B).
III Formule des probabilités totales
1 Définition et propriété préliminaire
Soit les événements B, B1 ,B2 et B3 qui vérifient :
– B = B1 ∪ B2 ∪ B3
– Si i 6= j alors Bi et B j sont incompatibles c’est à dire Bi ∩ B j = ;
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On dit alors que B1 ,B2 et B3 forment une partition de B
Dans ces conditions p(B) = p(B1 ) + p(B2 ) + p(B3 )
2 Formule des probabilités totales
Propriété
Si les événements B1 ,B2 et B3 forment une partition de l’univers et A est un événement alors
p(A) = p(A ∩ B1 ) + p(A ∩ B2 ) + p(A ∩ B3 )
p(A) = p(B1 ) × p B1 (A) + p(B2 ) × p B2 (A) + p(B3 ) × p B3 (A)
Remarque : Si B est un événement quelconque, les événements B et B forme une partition de
l’univers.
3 Exercice
Au pays des Mathix, le docteur Gynéco, malgré les progrès de l’échographie, fait des erreurs sur le
sexe des enfants à naitre.
Il se trompe une fois sur vingt si c’est un garçon et une fois sur dix si c’est une fille.
Il vient de dire à Madame Bertrand qu’elle attendait une fille.
Quelle est la probabilité que ce soit vrai ?
On utilisera un arbre et les notations suivantes : F : « l’enfant à naître est une fille » G : « l’enfant à
naître est un garçon » A : « le docteur annonce un garçon » B : « le docteur annonce une fille ».
IV
Événements indépendants
Intuitivement : deux événements sont indépendants (en probabilité) si la réalisation de l’un des
deux événements n’influence pas les chances que l’autre se réalise.
Propriété
Soit p une loi de probabilité sur un univers Ω ,
Etant donné deux événements A et B de probabilités non nulles, il y a équivalence entre les
égalités suivantes :
p A (B) = p(B)
p B (A) = p(A)
p(A ∩ B) = p(A) × p(B).
Définition
Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si p(A ∩ B) = p(A) × p(B)
Remarque :
Ne pas confondre « incompatibles» et «indépendants ».
Deux événements incompatibles ne sont jamais indépendants.
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Exemples
Indépendance de couleurs et de numéros 1 , 2 , 3 , 1 , 2 et 1
On extrait au hasard un jeton d’un sac contenant les six jetons représentés ci-dessus. On note :
– R l’événement : «le jeton est rouge » ;
– U l’événement : « le numéro est 1 » ;
– D l’événement : « le numéro est 2 ».
Les événements R et U sont-ils indépendants ? Et les événements R et D ?
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