Probabilités conditionnelles

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Table des matières
I Activités de découverte 1
1 Activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Formule générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
a) Expérience 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
b) Expérience 2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
c) Expérience 3 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
II Arbre pondéré 2
1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
a) Expérience 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
III Formule des probabilités totales 3
1 Définition et propriété préliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Formule des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
IV Événements indépendants 4

Probabilités conditionnelles
I Activités de découverte
1 Activité
On veut savoir si le fait de fumer joue un rôle aggravant dans une maladie, la probacytose. On a
effectué une étude statistique sur une population de 20 000 personnes. Voici les chiffres obtenus :
– 400 personnes sont à la fois fumeurs et malades
– 600 personnes sont non fumeurs et malades
– 4 600 personnes sont fumeurs et sains
– 14 400 personnes sont non fumeurs et sains
1. Placer ces données dans un tableau à double entrée
2. On choisit une personne au hasard de cette population.
On appelle M l’événement « La personne est malade » et F l’événement « La personne est un
fumeur »
Quelle est la probabilité que :
Cette personne soit un fumeur ? Un non fumeur ? Malade ? Saine
On choisit une personne au hasard parmi les fumeurs, quelle est la probabilité qu’elle soit ma-
lade ?
On choisit une personne au hasard parmi les non fumeurs, quelle est la probabilité qu’elle soit
malade ?
On va définir pM(F) qui se lira « probabilité de F sachant M ». Pour cela, on imagine une nou-
velle expérience, celle dont les issues possibles sont celles réalisant M et parmi celles ci, les issues
favorables à F. Donc pM(F) =..........
.......... =..........
Calculer de même pM(F) =..............................
2 Formule générale
A et B sont deux événements d’un même univers Ω.
Lorsqu’il y a équiprobabilité on peut écrire
pA(B) =
nombre d’issues de A∩B
nombre d’issues de A=
nombre d’issues de A∩B
nombre d’issues de Ω×
nombre d’issues de Ω
nombre d’issues de A=................... .............
Soit A un événement de probabilité non nulle et B un événement quelconque du même
univers.
On appelle probabilité conditionnelle de B sachant A , le quotient
pA(B) =p(A ∩B)
p(A) .
Définition
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3 Exemples
a) Expérience 1
On revient sur l’étude statistique concernant une population de 20000 personnes
Malades Sains
Fumeurs 400 4600
Non fumeurs 600 14400
Calculer pF(M) et pF(M).
b) Expérience 2 :
Dans un jeu de 32 cartes, on extrait au hasard une carte.
Déterminer la probabilité que la carte tirée soit une dame, sachant que c’est une figure.
Déterminer la probabilité que la carte tirée soit le roi de carreau, sachant qu’elle est rouge.
c) Expérience 3 :
Une urne contient trois boules rouges et deux boules vertes
Un jeu consiste à tirer deux boules au hasard successivement et sans remise
On gagne si la deuxième boule tirée est rouge
1. Blaise tire une première boule : elle est rouge. Est-il en droit de se réjouir ?
2. Simon tire une première boule : elle est verte. Est-il en doit de se réjouir ?
R1: « la 1ère boule tirée est rouge »
R2: « la 2ème boule tirée est rouge »
Calcul de pR1(R2) :
On a tiré une boule rouge dans l’urne, il reste alors 4 boules et parmi elles 2 rouges donc
pR1(R2)=2
4=1 2
Calcul de pR1(R2) :
On a tiré une boule verte dans l’urne, il reste alors ........... boules et parmi elles ............ rouges donc
pR1(R2)=..........
............
II Arbre pondéré
On peut représenter une épreuve par un arbre de probabilité, en indiquant sur les branches de
premier niveau les probabilités de A et A , puis sur les branches de deuxième niveau les probabilités
conditionnelles.
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1 Exemples
a) Expérience 3
1. Faire un arbre de probabilité correspondant à l’expérience 3 du paragraphe I.
2. Calculer la probabilité de l’événement E : « tirer une boule rouge puis une boule verte »
3. Comment à l’aide de l’arbre pourrait-on calculer la probabilité de l’événement F : « tirer deux
boules de couleurs différentes »
F=A ∪B où A =R1∩R2et B =R1∩R2
A et B sont incompatibles donc p(A ∪B) =p(A) +p(B)
On retiendra les propriétés des arbres de probabilité :
– La somme des probabilités affectées aux branches issues d’un même noeud est 1 ;
– Un chemin AB correspond à l’événement A∩B et P(A∩B) est le produit des probabilités
affectées à chacune des branches qui le constituent ;
– La probabilité d’un événement correspondant à plusieurs chemins de l’arbre est la somme
des probabilités de ces chemins.
– Ne pas confondre p(A ∩B) et pA(B).
Propriété
III Formule des probabilités totales
1 Définition et propriété préliminaire
Soit les événements B, B1,B2et B3qui vérifient :
– B =B1∪B2∪B3
– Si i6= jalors Biet Bjsont incompatibles c’est à dire Bi∩Bj= ;
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On dit alors que B1,B2et B3forment une partition de B
Dans ces conditions p(B) =p(B1)+p(B2)+p(B3)
2 Formule des probabilités totales
Si les événements B1,B2et B3forment une partition de l’univers et A est un événement alors
p(A) =p(A ∩B1)+p(A ∩B2)+p(A ∩B3)
p(A) =p(B1)×pB1(A) +p(B2)×pB2(A) +p(B3)×pB3(A)
Propriété
Remarque : Si B est un événement quelconque, les événements B et B forme une partition de
l’univers.
3 Exercice
Au pays des Mathix, le docteur Gynéco, malgré les progrès de l’échographie, fait des erreurs sur le
sexe des enfants à naitre.
Il se trompe une fois sur vingt si c’est un garçon et une fois sur dix si c’est une fille.
Il vient de dire à Madame Bertrand qu’elle attendait une fille.
Quelle est la probabilité que ce soit vrai ?
On utilisera un arbre et les notations suivantes : F : « l’enfant à naître est une fille » G : « l’enfant à
naître est un garçon » A : « le docteur annonce un garçon » B : « le docteur annonce une fille ».
IV Événements indépendants
Intuitivement : deux événements sont indépendants (en probabilité) si la réalisation de l’un des
deux événements n’influence pas les chances que l’autre se réalise.
Soit pune loi de probabilité sur un univers Ω,
Etant donné deux événements A et B de probabilités non nulles, il y a équivalence entre les
égalités suivantes :
pA(B) =p(B) pB(A) =p(A) p(A ∩B) =p(A) ×p(B).
Propriété
Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si p(A ∩B) =p(A) ×p(B)
Définition
Remarque :
Ne pas confondre « incompatibles» et «indépendants ».
Deux événements incompatibles ne sont jamais indépendants.
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