Système 2 équations à 2 inconnues

Cours 3ème – Chapitre X
2014
SYSTEMES DE DEUX EQUATIONS A DEUX
INCONNUES
I - Définitions
Une équation du premier degré à deux inconnues est une égalité dans laquelle un couple de deux lettres
désigne deux inconnues.
Une solution d'une équation à deux inconnues est un couple de nombres qui vérifie l'égalité.
Exemple :
2x − 3y = − 2 est une équation dont le couple d'inconnues est (x ; y).
Le couple (5 ; 4) est une solution de cette équation, en effet : 2 × 5 − 3 × 4 = − 2.
Le couple (−
− 1 ; 0) est également une solution de cette équation, en effet : 2 × (−
− 1) − 3 × 0 = − 2.
En revanche, le couple (1 ; − 2) n’est pas une solution de cette équation, en effet :
− 2) = 8 ≠ − 2.
2 × 1 − 3 × (−
ATTENTION à l'ordre des nombres dans un couple !
En effet, le couple (5 ; 4) est différent du couple (4 ; 5).
Un système de deux équations à deux inconnues x et y est de la forme :
(S)
ax + by = c
(E1)
a'x + b'y = c'
(E2)
où a, b, c, a’, b’ et c’ sont des nombres donnés.
Un couple de nombres est solution d’un système lorsqu'il vérifie les deux équations de ce système
simultanément.
Résoudre un système d’équations, c’est trouver tous les couples solutions du système.
M. LAMPSON, Collège Jean Renoir à Montier-En-Der
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Exemple :
(S)
2x − 3y = − 2
(E1)
− 5x + 2y = − 17 (E2)
est un système de deux équations à deux inconnues
x et y.
Pour x = 5 et y = 4, on a :
2 × 5 − 3 × 4 = 10 – 12 = – 2. Donc le couple (5 ; 4) est solution de l’équation (E1).
− 5 × 5 + 2 × 4 = − 25 + 8 = – 17. Donc le couple (5 ; 4) est solution de l’équation (E2).
Ainsi le couple (5 ; 4) est solution des deux équations, il est donc solution du système (S).
En revanche le couple (− 1 ; 0) est solution de l’équation (E1) mais n'est pas solution de l’équation (E2),
donc il n'est pas solution du système (S).
II Interprétation graphique
A chaque couple (x ; y) solution de l’équation ax + by = c, on peut associer un point de coordonnées
(x ; y). L’ensemble de ces points est une droite. On obtient une équation de cette droite en exprimant y
en fonction de x (vu dans le chapitre précédent).
Exemple :
(S)
2x − 3y = − 2
(E1)
− 5x + 2y = − 17 (E2)
• Dans l'équation (E1), exprimons y en fonction de x :
2x − 3y = − 2
J'utilise la bonne vieille règle d'addition.
− 3y = − 2x − 2
2
2
y= x+
3
3
J'utilise la bonne vieille règle de multiplication
2
2
On trace la droite (d1) qui représente la fonction affine : x a x + .
3
3
• Dans l'équation (E2), exprimons y en fonction de x :
y=
On trace la droite (d2) qui représente la fonction affine : x a
5
17
x–
ou encore y = 2,5x – 8,5.
2
2
5
17
x–
.
2
2
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La solution du système correspond au coordonnées du point A, qui est le point d'intersection des droites
(d1) et (d2).
(d2)
(d1)
Graphiquement, on lit A (5 ; 4).
Vérification :
• 2x − 3y = 2 × 5 − 3 × 4 = − 2
Donc l’équation (E1) est vérifiée.
• − 5x + 2y = − 5 × 5 + 2 × 4 = − 17 Donc l’équation (E2) est vérifiée.
Cas particulier:
Lorsque les deux droites tracées sont parallèles, le système n'admettra aucune solution.
Lorsque les deux droites tracées sont confondus, le système admettra une infinité de solutions.
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III Méthodes de résolution
UTILISATION LA CALCULATRICE p.115
(attention aux anciennes pour les touches)
1. Par substitution
On utilisera de préférence cette méthode lorsque l’une des inconnues a pour coefficient « 1 » ou « − 1 ».
Cette méthode consiste à substituer (remplacer) une inconnue par son expression en fonction de l’autre, de
façon à obtenir une équation à une inconnue.
Exemple :
(S)
3x − y = − 18
(E1)
2x + 5y = 5
(E2)
A l’aide de l’équation (E1), on exprime y en fonction de x, on a : y = 3x + 18 .
On remplace y par 3x + 18 dans l’équation (E2), on obtient alors une équation d'inconnue x :
2x + 5(3x + 18) = 5
2x + 15x + 90 = 5
17x + 90 = 5
17x = 5 − 90
17x = − 85
x =−5
Maintenant, on remplace x par − 5 dans l'expression 3x + 18 et on en déduit la valeur de y :
y = 3 × (− 5) + 18 = − 15 + 18 = 3.
Le couple (− 5 ; 3) est donc l’unique solution du système.
Vérification : 3 × (− 5) − 3 = − 15 − 3 = − 18
2 × (− 5) + 5× 3 = − 10 + 15 = 5
2. Par combinaison
L’équation (E1) est vérifiée.
L’équation (E2) est vérifiée.
Appelée aussi par élimination d'une inconnue
On utilise cette méthode dans tous les autres cas.
Cette méthode consiste à multiplier une (ou les deux) équation(s) par un nombre, de façon à ce que,
lorsqu’on additionne ou on soustrait les deux équations, une des deux inconnues disparaisse.
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Exemple :
(S)
4x − 2y = 7
(E1)
3x + 4y = 19
(E2)
On veut le même coefficient dans les
deux équations pour l’une des deux
inconnues.
On multiplie les deux membres de l’équation (E1) par 2 et on a :
(S)
8x − 4y = 14
(E'1)
3x + 4y = 19
(E2)
On additionne membre à membre les deux équations, puis on calcule x : 11x = 33
x=3
Pour calculer y, on remplace x par 3 dans l’une des équations :
4 × 3 – 2y = 7
-2y = 7 – 12
-2y = -5
y=
5
= 2,5
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Le couple (3 ; 2,5) est donc l’unique solution du système.
Vérification : 4x – 2y = 4 × 3 – 2 × 2,5 = 12 – 5 = 7
3x + 4y = 3 × 3 + 4 × 2,5 = 9 + 10 = 19
L’équation (E1) est vérifiée.
L’équation (E2) est vérifiée.
Remarque: Parfois il sera nécessaire de multiplier par des nombres différents les deux équations pour
éliminer une inconnue.
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